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プラレールで作る
論理回路
プログラマのための数学LT会 2!
東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系
赤間 仁志
@lin_calc
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自己紹介スライド
● 赤間 仁志
○ 東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系
● セキュリティ・キャンプ全国大会 2014 卒業生
○ セキュアなシステムを作ろうクラス OSECPU-VMゼミ
● 明日親知らずを抜きます
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概要
プラレールで
論理計算
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fig. 某社オフィスに構築された半加算器 (1bitの加算回路）
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背景
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プラレール
● タカラトミーが販売する鉄道模型のおもちゃ
● 対象年齢は3歳以上
● いろいろなレールがある
○ …...ので，意図せずに計算が可能となった
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先行研究
● むにむに教授 ，プラレールとレゴで論理演算。 (2014)
○ https://www.youtube.com/watch?v=SqwVAE_RMTk
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問題提起
● 先行研究では，レゴの助力を得てプラレールで計算をする
● 純粋なプラレールでどこまで計算ができるか？
結論：任意の論理関数を表現できる（予想）
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プラレール論理計算の原理
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● 分岐レールにはポイントがある
○ ポイントの向きで分岐
● 向きでゼロとイチを表現できる
● 入出力，および変数として使用
○ 読み書き可能
真偽値の表現 （ターンアウトレール）
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真偽値の読み出し = 分岐
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真偽値の書き込み = ポイントを蹴る
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計算の流れ
1. 論理関数を表現するレイアウトを組む
2. 入力に相当するポイントを人間が切り替える
3. スタート位置から電車を走らせる
4. 電車の動きで，出力に相当するポイントが切り替わる
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例：ORゲート X = A or B
input output
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例：ANDゲート X = A and B
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例：XOR
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なぜXORだけ複雑になるのか？
● そもそもXORってどんな演算だろうか
● XORの ”気持ち” を解析しよう
ということで，
● 論理関数を別の形で表して考える
● Binary decision diagramを導入
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Binary decision diagram (BDD)
● 論理関数 ( {0, 1}^n → {0, 1} ) を表すデータ構造
● 応用範囲がとても広い
○ 論理回路合成
○ 充足可能性問題 (SAT)
○ シンボリックモデル検査 など
● 偶然にもプラレールに応用できた
● 変数の順序を定めると構造は一意
0 1
z
x
y
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0 1
z
x
y
1. いちばん上からスタート
2. その変数が0なら破線を，
1なら実線をたどってゆく
3. 終端が関数の値
BDDの意味 f(x, y, z) = x and (y or z)
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● x = 1, y = 0, z = 1 を代入
1. x = 1なので実線をたどる
2. y = 0なので破線をたどる
3. z = 1なので実線をたどる
4. 終端ノード1にたどり着く
計算の例
0 1
z
x
y
f(x, y, z) = x and (y or z)
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Binary Decision Diagram (BDD) の特徴
● 2つのBDD (A, B) 同士の論理演算（and, orなど）が効率的
○ ノードの数を各々 |A|, |B|とすると O(|A| |B|) 時間
● ある論理関数に対して，もっともノード数の少ないBDDが一意に存在
○ ただし変数の順序は固定されているとする
○ BDDをもっともノードが小さくなるよう簡約する操作は O(|A| log |A|)
○ 2つのBDDが同じ論理関数を表すか比較することも簡単
● 他にもたくさんいいところがある
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BDDとプラレールの対応
x
x
0 1
0
1
≒
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0 1
z
x
y
0 1
≒
＿人人人人人人人＿
＞ 完全に一致 ＜
￣Y^Y^Y^Y^Y^Y￣ x
y
z
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AND OR XOR
0 1
A
B
0 1
A
B
0 1
A
B
B
Bが2つある！
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プラレール回路でXORが素朴に作れない理由
● 入力Bの分岐レールはレイアウト上にひとつしか存在しない
● ので，入力Bから異なる分岐先に接続することはできない
→ 0
→ 1
→ 1
→ 0
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プラレールで素朴に記述できるための条件
● 論理関数 Φ : {0, 1}^n → {0, 1} がプラレールで素朴に記述できる
if and only if
● Φに対応する(既約な)BDDが同じ変数のノードを2つ以上持たない
プラレールの性質を，数学的なデータ構造の特徴で表すことができた
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過去の展示
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半加算器 ver. 1.0.0
● OSC 2016/Tokyo Fall
○ 2016年11月
● 3.5m * 2.5mほど
● 計算は約2分かかる
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半加算器 ver. 2.1.1
● OSC 2017/Tokyo Spring
○ 2017年3月
● -31%の小型化
● 2.5m四方に入る
● 計算時間は変わらず
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2進数カウンタ
● 自動ターンアウトレールのトグル動作を利用し，2進数カウンタを制作
● Developer Summit 2017にて展示
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参考文献
・むにむに教授 ，プラレールとレゴで論理演算。
https://www.youtube.com/watch?v=SqwVAE_RMTk
・プラレールで半加算器を設計した話
https://cybozushiki.cybozu.co.jp/articles/m001205.html
・Huth, Michael, and Mark Ryan. Logic in Computer Science: Modelling and
reasoning about systems. Cambridge university press, 2004.
・画像：いらすとや
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まとめと告知
● プラレールは論理計算ができる
● Binary decision diagramをプラレールのレイアウトと対応させた
○ 面白いデータ構造なので興味を持ってもらえると嬉しいです
● 結局，プラレールでXORはどうやって作ったのか？
○ 続きはWebで！ 「プラレール 半加算器」で検索
● 9/9, 10のOSC 2017 Tokyo/Fallで新作を展示します！
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