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Koopman Analysis

Koopman Analysis

Koopman theoryの応用よりの話

mocobt

May 02, 2021
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  1. Koopman Analysis 1 Koopman Analysis About Koopman operator ( クープマン演算⼦)

    は、⼒学系の観測量(observable) の時間発展を表す infinite-dimensional linear operator( 無限次元線形作⽤素) である。 Koopman operator が扱う観測量は関数であり、その関数ベクトルはヒルベルト空間を形成する。 DMD により無限次元であるKoopman Operator の固有値と固有ベクトルを有限次元で近似でき る。 これをKoopman Mode Decomposition KMD; クープマンモード分解) と呼び、⾮線形な振る舞い をする複雑な時系列データを、複数の単⼀周波数信号群へ分解できる。 Koopman operator 連続時間⼒学系でのKoopman operator の定義 [ 定義] Koopman operator 連続的な時間変化をする系 を考える。ここで は滑らかな 次元多様体 上の状態である。 Koopman operator とは、すべての観測量 に対し、以下のように働く無限次元 線形作⽤素である。 = dt dx f(x) x ∈ M n M K g : M → C
  2. Koopman Analysis 2 上の定義に基づけば、 が成り⽴つ( は関数の合成) 。 無限次元だと扱いにくいので、 の固有ベクトルを有限個だけ⽤いて⾮線形⼒学系の時間発展を 近似することが多い。

    離散時間⼒学系へのKoopman operator の導⼊ 離散時間⼒学系へKoopman operator を導⼊するため、 時刻 における状態 を未来の状態 へ射影する関数 を考える。 この関数 を⽤いて、 として、 ( ただし、 ) とする。 離散時間⼒学系でのKoopman operator は前述の定義から を満たし、 以下が成り⽴つ。 よって、連続時間⼒学系から離散時間⼒学系へKoopman operator は容易に導⼊できる。 現実の問題は離散時間⼒学系で解くことが多いため、 以下では離散時間⼒学系でのKoopman operator を と略記することにする。 Koopman operator の特性 Koopman operator は⼒学系の時間発展を表すため、 が成り⽴つ。 が線形であることは容易に⽰すことができる。 [ 証明] 観測量の関数空間を として、 、 、 について、 □ g(x) = dt d K g(x) = ∇g(x) ⋅ f(x) K g = g ∘ f ∘ K t0 x(t ) ∈ 0 M x(t + 0 t) ∈ M F : t M → M F (x(t )) = t 0 x(t + 0 t) = x(t ) + 0 f(x(τ))dτ ∫ t0 t +t 0 Ft x = k+1 F (x ) t k x = k x(kt) k ∈ N K t K g = t g ∘ Ft K g(x ) = t k g(F (x )) = t k g(x ) k+1 K t K K g(x ) = k g(F (x )) = t k−1 (K g)(x ) = k−1 (K g)(x ) = 2 k−2 ⋯ = (K g)(x ) k 0 K G g ,g ∈ 1 2 G c ,c ∈ 1 2 C x ∈ M K (c g + 1 1 c g )(x) = 2 2 c g (F (x)) + 1 1 t c g (F (x)) = 2 2 t c K g (x) + 1 1 c K g (x) 2 2
  3. Koopman Analysis 3 Koopman operator の固有値問題 Koopman operator のスペクトル分解を⾏えば、対象の⼒学系を簡潔に表すことができる。 そこで、以下の固有値問題

    を考える。なお、 を th Koopman eigenvalue (k 次クープマン固有値) 、 を th Koopman eigenfunction (k 次クープマン固有関数) と呼ぶ。 観測量のベクトル が複数のKoopman 固有関数 を⽤いて以下のように展開可能であるとする。 ここで、 は 次Koopman 固有関数 に対応する展開係数のベクト ルとし、 は観測量の要素数とする。 なお、 を th Koopman mode( 次クープマンモード) と呼ぶ。 このとき、 に対してKoopman operator を適⽤する( 観測量の次timestep の結果を得る) と、 が成り⽴つ。 これより、次timestep の観測量はKoopman 固有値を⽤いた単純な掛け算から得られるとわかる。 Koopman 固有値 はKoopman 固有関数の周波数と減衰率を意味し、 Koopman モード は各Koopman 固有関数が出⼒の各成分へ与える影響を表す。 観測量の関数 をKoopman 固有関数で張られる不変部分空間(invariant subspace) に制限すれば、 Koopman operator に相当する有限の線形演算⼦ を得ることができる。 K φ = k λ φ (k = k k 1,2,...) λ ∈ k C k φ ∈ k G \{0} k g φ g(x) = [g (x),g (x),...,g (x)] = 1 2 p T φ (x)v k=1 ∑ ∞ k k v = k [v ,v ,...,v ] ∈ k1 k2 kp T Cp k φk p vk k k g(x) K K g(x) = K φ (x)v = k=1 ∑ ∞ k k K φ (x)v = k=1 ∑ ∞ k k λ φ (x)v k=1 ∑ ∞ k k k λk vk g K Kt
  4. Koopman Analysis 4 まとめると、 : ある⼒学系の時間発展を⽰す⾮線形演算⼦ : ⼒学系から得られたデータ に⾮線形変換を施して を得る演算⼦

    : ⾮線形変換を施された の時間発展を⽰す線形演算⼦ となる。 を得ることがそこそこ難しいことが多く、この変換⾃体を学習する⽅法もある。 Learning Koopman Invariant Subspaces for Dynamic Mode Decomposition ただ、Application によっては とすることもあるので、あまり深く考えなくてよいかも... Koopman Mode Decomposition (KMD) KMD の解き⽅ Koopman operator を求めるための⼿段は多くある。 アーノルディ型アルゴリズム: 空間sample 数やsnapshot 数の⼤⼩によらず、精度良く導出可 能 Ft g x g(x) Kt g(x) g g(x) = x
  5. Koopman Analysis 5 DMD 空間sample 数が時間sample 数より⼤きい時系列データに対して、精度良く導出可能 ベクトルプロー⼆解析: アーノルディ型と同様 A

    prony approximation of Koopman Mode Decomposition - IEEE Conference Publication IEEE Xplore, delivering full text access to the world's highest quality technical literature in engineering and technology. | IEEE Xplore https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/7403326 本稿では、DMD を⽤いた⼿法を解説する。 KMD とDMD の関係 が既知として、DMD を⽤いて、Koopman 固有関数とKoopman 固有値を得る問題を考える。 今、観測量 ( ただし ) が与えられているとする。 次に、 ⼒学系より得られた状態変数 に を適⽤して得られる を列に持つ⾏列 を構成 し、 時刻 だけ時間発展させて1 timestep だけ進めて) ⾏列 を構成する。 DMD を⽤いると、 を最⼩化する を得ることができる。 このとき、以下の定理が成り⽴つ。 [ 定理] Koopman mode decomposition とDMD をKoopman operator のKoopman 固有関数とし、対応するKoopman 固有値を とする。 このとき、 である、すなわち、 where が成り⽴つと仮定する。 この仮定のもとで、 ( ただし は値域) であるとき、 は の左固有ベクトルで、 は対応する固有値である。すなわち、 g g = [g ,g ,...,g ] 1 2 p T g : i M → C xk g y = k g(x ) k Y Δt Y′ ∣∣Y − ′ A Y∣∣ Y F A (= Y Y Y ) ′ † φk K λk φ ∈ k span{g } (j = j 1,2,...,p) φ (x) = k w g (x) + 1 1 w g (x) + 2 2 ⋯ + w g (x) = p p w ⋅ g w = [w ,w ,...,w ] ∈ 1 2 p T Cp w ∈ R(Y) R w AY λk A = w ~ ∗ Y λk w ~ ∗
  6. Koopman Analysis 6 が成り⽴つ。 この定理は、Koopman 固有値がDMD の固有値と⼀致することを⽰している。 そのため、観測量をうまく選べば、有限次元⾮線形⼒学系のsnapshot を取るだけでその⼒学系を 線形無限次元系として再パラメータ化することができることを⽰している。

    DMD を⽤いたKMD の⼿順  状態変数 から、観測量のデータ⾏列 を⽣成する。 ここで、 の各列をそれぞれ とする。 2. を求めるために、DMD を⽤いる。 途中で を低ランク近似した場合に求めた を と表すことにする。 ( 及び ) の固有値及び固有ベクトルはKoopman 固有値、Koopman mode を近似する。 ( 有限次元なのであくまで近似) 3. DMD によりKoopman mode を近似する固有ベクトル⾏列を求める ここで は固有値問題 から得られ、 とする。 4. 観測量の空間における未来の状態を以下で求める ↑ は の積分結果になっている。 ここで、 とし、 は を要素に持つベクトルとする。 5. 観測量の空間から状態空間へ戻す が⾮線形で複雑な変換の場合、この逆変換を求めることが難しくなってしまう。 補⾜ ヒルベルト空間 内積空間(inner product space): 内積が定義できるベクトル空間 X,X′ Y,Y′ Y = [g(x ),g(x ),...,g(x )] 1 2 m−1 Y = ′ [g(x ),g(x ),...,g(x )] ′ 1 ′ 2 ′ m−1 Y,Y′ y = k g(x ),y = k ′ k g(x ) k ′ A = Y Y Y ′ † Y AY A ~ Y AY A ~ Y Φ = Y Y VΣ W ′ −1 W W = A ~ Y WΛ Y ≈ UΣV∗ y(t) = Φ diag(exp(ωt))b Y = dt dy K y(t) b = Φ y y1 † 1 ω ω = k ln(λ )/Δt k y = k g(x ) → k x = k g (y ) −1 k g
  7. Koopman Analysis 7 ヒルベルト空間: 完備性を持つ内積空間 がヒルベルト空間であるとき、 任意のベクトル の和 と、 任意の複素数

    による任意のベクトル のスカラー倍 が定まっていて、 任意のベクトル の内積 が定まっていて、 の任意のコーシー列 に対 してある点 が存在して、 となる。 Ref: http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/class/H25tanimura-quantum3.pdf http://wwwa.pikara.ne.jp/yoshifumi/SA/SA1.pdf Reference Dynamic Mode Decomposition | Society for Industrial and Applied Mathematics Data-driven dynamical systems is a burgeoning field-it connects how measurements of nonlinear dynamical systems and/or complex systems can be used with well-established methods in dynamical systems theory. This is a critically important new direction https://epubs.siam.org/doi/book/10.1137/1.9781611974508 https://www.jstage.jst.go.jp/article/isciesci/61/5/61_175/_pdf/-char/ja H ψ ,ψ ∈ 1 2 H ψ + 1 ψ ∈ 2 H c ∈ C ψ ∈ H cψ ∈ K ψ,χ ∈ H (ψ,χ) ∈ C H {x } n x ∈ H x → n x