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Multiresolution Dynamic Mode Decomposition

Multiresolution Dynamic Mode Decomposition

Multiresolution DMDの話

mocobt

May 02, 2021
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Transcript

  1. Multiresolution Dynamic Mode Decomposition 1 Multiresolution Dynamic Mode Decomposition About

    ある信号のmicro な特徴とmacro な特徴を捉えることをMultiresolution analysis MRA と呼ぶ。 従来のMRA はWavelet ベースの⼿法や窓関数を⽤いたフーリエ変換により、時間的な特 徴もしくは空間的な特徴を取り除くことで実現されるため、時空間的な特徴を得ること ができない。 この記事で解説するmultiresolution DMD (mrDMD を⽤いれば、時空間的な特徴を捉 えつつMRA を実現できる。 mrDMD に触れる前に、その理論の基礎となるガボール変換、Wavelet 変換について述 べる。 時間- 周波数解析とガボール変換 フーリエ変換を⽤いれば時間連続な信号を解析できるが、短い時間に多種多様な周波数 が存在する場合には対象の信号から正しい周波数を得ることができない。
  2. Multiresolution Dynamic Mode Decomposition 2 また、フーリエ変換は全時間区間で積分するため、信号が時間変化する場合に対応でき ない。 この課題に対し、ガボールは以下のkernel を提案した。 ここでフーリエkernel

    に対する新しい項⽬ は時間と周波数の両⽅を局所 化することを意図して導⼊された。 このkernel を⽤いたガボール変換( 短時間フーリエ変換 SIFT として知られる) は以下で 定義される。 ここでバーは関数の複素共役を表す。 関数 はある時刻における窓上の信号を局所化する時間フィルタとしての役割 を持つ。 このフィルタリングを以下の図に⽰す。 この図では、ある時刻 において⻑さ の窓関数を⽤いている。 ウェーブレットとMRA g (τ) = t,ω e g(τ − iωτ t) eiωτ g(τ − t) G [f](t,ω) = (t,ω) = f ~ g f(τ) (τ − ∫ −∞ ∞ g ˉ t)e dτ = −iωτ (f, ) g ˉt,ω g(τ − t) τ a
  3. Multiresolution Dynamic Mode Decomposition 3 ガボール変換のように短時間窓を⽤いて並進(translation) とスケーリング(scaling) を⾏ えば、異なる解像度でMRA を実現できる。

    例えば、低周波成分は時間的に変化しないため、⼤きさが無限⼤の窓関数を⽤いてもそ の周波数は抽出できる。 対象の信号の周波数が⾼周波になればなるほど、窓の⼤きさをscaling すれば対応でき る。 この原理はwavelet theory( ウェーブレット理論) と呼ばれる。 wavelet は⼩さい波を意味し、窓の幅をどんどん⼩さくしていくことに由来する。 ウェーブレット解析ではあるmother wavelet を以下のようにtranslation or scaling する。 ただし とする。 定義より、 はscaling を、 はtranslation を表していることがわかる。 Mother wavelet がMexican hat wavelet である場合に を変化させた場合の変化を 以下に⽰す。 Mexican hat wavelet From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigation Jump to search In mathematics and numerical analysis, the Ricker wavelet is the negative normalized second derivative of https://en.wikipedia.org/wiki/Mexican_hat_wavelet ψ ψ (t) = a,b ψ( ) a,b ∈ a 1 a t − b R a =  0 a b ψ a,b
  4. Multiresolution Dynamic Mode Decomposition 4 Wavelet 理論に基づけば、フーリエ変換のような積分変換は以下のように⼀般化でき る。 ここで、 は変換のkernel

    とする。 例えば、フーリエ変換の場合は、 とすれば良い。 Mother wavelet をkernel として捉えれば、連続ウェーブレット変換(continuous wavelet transform; CWT は以下のように定義できる。 最後に、ガボール変換とウェーブレット変換の概念図を以下に⽰す。 (Tf)(ω) = K(t,ω)f(t)dt ∫ t K(t,ω) K(t,ω) = exp(−iωt) W [f](a,b) = ψ (f,ψ ) = a,b f(t) (t)dt ∫ −∞ ∞ ψ ˉ a,b
  5. Multiresolution Dynamic Mode Decomposition 5 図における箱はWavelet 変換を表す。 Time series: ある時間幅ではすべての周波数の信号が存在

    Fourier: ある周波数がすべての時間に存在 Gabor: ある時間幅にはある周波数の信号が存在 Wavelet: ある時間幅にはある周波数の信号が存在し、⾼周波になると時間解像度 が上がる mrDMD の直感的な概念 mrDMD は遅いmode( 対応する固有値が⼩さいmode) と速いmode( 対応する固有値が⼤ きいmode) を切り分けることを⽬的として設計されたDMD の拡張版である。
  6. Multiresolution Dynamic Mode Decomposition 6 直感的には、低周波数もしくは時間変化しない信号を徐々にsnapshot から取り除いて DMD をすることで実現される。 この概略図を以下に⽰す。

    mrDMD では、 まず、 個の全snapshot に対してDMD を適⽤して、最も⼩さい周波数のmode を取得 する。m
  7. Multiresolution Dynamic Mode Decomposition 7 その後、そのmode を取り払い、 個ずつにsnapshot を分け、各snapshot にDMD

    を 適⽤する。 この操作を繰り返していくことで、時空間的な特徴を得つつMRA を実現できる。 この分割部分を定式化すると、DMD による信号近似式は以下のように表せる。 ここで は 個のsnapshot で計算したDMD mode を表す。 上式最右辺の第⼀項は遅いmode の和を表し、第⼆項はそれ以外を表す。 この第⼆項は以下のように⾏列形式で表せる。 mrDMD では、あるStep で分割した結果得られた⾼周波成分を次Step でさらに低周波成 分と⾼周波成分に分割することから、この⾏列 はさらに以下の形式に書き直せ る。 ただし、右辺の は初めの 個のsnapshot から作成し、 は残りの 個 のsnapshot から作成する。 以上の操作を繰り返していくと、mrDMD による信号近似式は以下のように表せる。 m/2 x (t) = mrDM D b ϕ exp(ω t) k=1 ∑ m k (1) k (1) k = b ϕ exp(ω t) + k=1 ∑ m1 k (1) k (1) k b ϕ exp(ω t) k=m1 ∑ m k (1) k (1) k ϕ k (1) m X = m/2 b ϕ exp(ω t) k=m +1 1 ∑ m k (1) k (1) k Xm/2 X = m/2 X + m/2 (1) X m/2 (2) X m/2 (1) m/2 X m/2 (2) m/2 x (t) = mrDM D b ϕ exp(ω t) + k=1 ∑ m1 k (1) k (1) k (1) b ϕ exp(ω t) k=1 ∑ m2 k (2) k (2) k (2) + b ϕ exp(ω t) + k=1 ∑ m3 k (3) k (3) k (3) ...
  8. Multiresolution Dynamic Mode Decomposition 8 ここで、 および は 回⽬のDMD で得られた固有ベクトル及び固有値、

    は各時間間隔における初期振幅、 はあるレベル での遅いmode の個数とする。 mrDMD による信号近似式の離散化 以上のmrDMD の信号近似式ではレベルの上限が無限になっており計算できない。 そのため、あるレベルで打ち切ることにする。 : レベルのindex. はその上限。 : 各レベルの時間間隔の幅の数。 : 各レベルのmode 数 として、ある指⽰関数 とすると、 と表せる。 この概念図を以下に⽰す。 ϕ k (l) ω k (l) l b k (l) mk k ∈ N l = 1,2,...,L L ∈ N j = 1,2,...,J J = 2(l−1) k = 1,2,...,mL f (t) = l,j 1 if t ∈ [t ,t ] else 0 j j+1 x (t) = mrDM D f (t)b ϕ exp(ω t) l=1 ∑ L j=1 ∑ J k=1 ∑ mL l,j k (l,j) k (l,j) k (l,j)
  9. Multiresolution Dynamic Mode Decomposition 9 mrDMD のAlgorithm mrDMD は以下のAlgorithm により計算される。

    ⼊⼒はDMD と同様にデータ⾏列 とし、 出⼒は各レベルでの固有値、固有ベクトルである。 1. レベル , 時間間隔 における窓でのデータ⾏列 を構成する 2. のSVD を計算する ここで、 は複素共役を表し、 とし、 はtrancation したrank とする。 このとき、左特異値ベクトル⾏列 をPOD modes と呼ぶ。 X,X (= ′ Y) l j X, X′ X X = UΣV∗ ∗ U ∈ C ,Σ ∈ n×r C ,V ∈ r×r Cm×r r U
  10. Multiresolution Dynamic Mode Decomposition 10 3. ⾏列 をPOD modes により射影し、

    を得る 4. の固有値分解を⾏う ここで の各列は固有値ベクトルで、 は対⻆成分に対応する固有値 を持つ対⻆⾏ 列とする。 5. 遅い固有値を集める 適当な閾値 を与え、 となるものを集め、レベル での遅いmodes を作 成する。 6. から の固有値分解を再構成する の固有値は で得られ、 の固有ベクトルDMD modes) は以下 の列で 得られる。 1.6. までのStep を 回⾏う 7. Sampling window( 時間幅) を半分に分け、レベル で同様の計 算を⾏う A = (l,j) X VΣ U ′ −1 ∗ U A ~(l,j) = A ~ (l,j) U A U = ∗ (l,j) U X VΣ ∗ ′ −1 A ~(l,j) W = A ~ (l,j) WΛ W Λ λk ρ ∈ R ∣∣λ ∣∣ < k ρ l W, Λ A(l,j) A(l,j) Λ A(l,j) Φ(l,j) Φ = (l,j) X VΣ W ′ −1 j l + 1