introduction to graph theory

Ab55f7551d7e4e4b2ea07e60dec4279e?s=47 ohto
April 15, 2019

introduction to graph theory

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April 15, 2019
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  1. グラフ理論入門? 2019/4/18 おおとや

  2. 数学とのであい 小学生のころ – 0/0が不定なことを説明して嫌われる – オイラー方程式に感動する – 相対性理論やりたくてベクトル解析... 厨二病にかかる –

    グラフ理論とであう – 未解決問題とであう – 数学沼におちる 2 / 27
  3. 数学沼 1.先人の歩んだ道を辿る 2.先人の歩んだ道とは別の道を探る 3.前人未到の荒野を開拓する 4.死屍累々の未解決問題に取り憑かれる 3 / 27

  4. グラフとは 頂点と辺によって構成される 4 / 27 A 型 0 型 B

    型 AB 型 0 10 20 30 40 50 どっち?
  5. グラフとは 頂点と辺によって構成される 5 / 27 A 型 0 型 B

    型 AB 型 0 10 20 30 40 50 こっち
  6. グラフとは 頂点と辺の集合として表せる 6 / 27 1 2 3 4 5

    6 G = (V, E) V = {1,2,3,4,5,6,7} E = { {1,2}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,5}, {4,5}, {4,6}, {4,7}, {5,6}, {5,7}, {6,7} } 辺 頂点 7
  7. グラフとは 頂点ラベルを入れ替えて同型となるものは 同じグラフ(一般には区別しない) 7 / 27 1 2 3 4

    5 6 a b c d e f g 同型なグラフ 7
  8. 重み付きグラフ 辺(や頂点)に値が振られているもの 8 / 27 重み 1 2 2 3

    3 4 2 4 2 5 3 3
  9. 有向グラフ 辺に向きがついているもの 9 / 27 無向グラフ 有向グラフ

  10. シンプルグラフ グラフといえば、シンプルグラフ 10 / 27 ループ 多重辺 頂点が有限 連結グラフ ループなし

    多重辺なし 向きなし 重みなし
  11. グラフ 特にことわりがなければ、 シンプルグラフを扱う 11 / 27

  12. 位数、辺数 位数(頂点数): |G| = |V|、辺数: ||G|| = |E| 位数が有限: 有限グラフ

    位数が無限: 無限グラフ 位数が 0: 空グラフ 12 / 27 1 2 3 4 5 7 6 |G| = 7 ||G|| = 12
  13. 接続、隣接、独立 頂点に辺が「接続」する 2頂点が「隣接」する 2頂点、2辺が「独立」 13 / 27 1 2 3

    4 5 6 頂点1に辺{1,2}が接続 頂点2,3 が隣接 頂点1,3 は独立 7
  14. 次数 頂点に接続している辺の数 平均次数 d(G) := Σd(v)/|V| 最小次数 δ(G) := min{d(v)}

    最大次数 Δ(G) := max{d(v)} 14 / 27 1 2 3 4 5 6 d(1) = 2 d(2) = 4 d(3) = 2 d(4) = 5 d(5) = 5 d(6) = 3 d(7) = 3 7
  15. 正則グラフ すべての頂点における次数が同じ 15 / 27 2 1 3 5 6

    4 次数が全て3 3-正則グラフ
  16. 部分グラフ グラフに含まれる頂点集合 V'⊂V と、 V' に接続する辺 E'⊂E で構成される グラフ G'

    = (V',E') 16 / 27 1 2 3 4 5 6 7
  17. 誘導部分グラフ グラフに含まれる頂点集合 V'⊂V と、 V' に接続するすべての辺 E'⊂E で構成される グラフ G'

    = (V',E') 17 / 27 1 2 3 4 5 6 7
  18. 全域部分グラフ グラフのすべての頂点集合 V に接続する 辺 E'⊂E で構成されるグラフ G' = (V,E')

    18 / 27 1 2 3 4 5 6 7
  19. 完全グラフ、クリーク 完全グラフ: すべての頂点が「隣接」 クリーク: サブグラフが完全グラフ 19 / 27 1 2

    3 4 5 6 a b d c 完全グラフ クリーク K 4 7
  20. 補グラフ 辺が無い頂点の組に辺を持たせたグラフG =(V,E) 頂点数は同じとなる 20 / 27 1 2 3

    4 5 6 7
  21. 道と閉路 隣接する頂点列を順次結んでいったものは道 閉路: 道の開始頂点と終了頂点を結ぶ辺を追加 最小閉路: 内周、最大閉路: 外周 21 / 27

    1 2 3 4 5 6 道: 1, 2, 5, 6, 4 閉路: 1, 2, 5, 6, 4, 1 7
  22. 連結 グラフGの任意の頂点間v 1 , v 2 に道があるとき、 グラフGは連結 22 /

    27 1 2 3 4 5 6 頂点1,9には道がない 連結グラフではない 8 9 10 7
  23. 切断点 グラフから頂点vを削除することで グラフが分離するとき、頂点vは切断点となる k個の頂点を削除してグラフが分離するとき、 連結度はkとなる 23 / 27 1 2

    3 4 5 7 6 頂点7,8は切断点 辺{7,8}は橋 8 9 10
  24. 木と林 無閉路グラフ(閉路を含まないグラフ)は木 分離した複数の木があるグラフは林 24 / 27 1 2 3 4

    5 7 6 8 次数1の頂点: 葉
  25. 2部グラフ 2つの頂点集合 Va, Vb があり、 各々の頂点集合内には辺が無く、 Va, Vb 間に辺があるグラフ 25

    / 27 Vb Va
  26. 完全2部グラフ 2つの頂点集合 Va, Vb があり、 各々の頂点集合内には辺が無く、 Va, Vb 間のすべての頂点間に辺があるグラフ 26

    / 27 Vb Va K 3,3 = K2 3
  27. オイラー閉路 すべての辺を一度だけ通る閉路 オイラー閉路がある⇔次数が全て偶数 27 / 27 1 2 3 4

    5 7 6 d(1) = 2 d(2) = 4 d(3) = 2 d(4) = 5 d(5) = 5 d(6) = 3 d(7) = 3 オイラー閉路はない