Scalaで圏論ﾁｮｯﾄ学ぶ

by ravineport

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4DBMBͰݍ࿦ŧŔŕŪֶͿ 4DBMBؔ੢4VNNJU 'SJOHFגࣜձࣾ ୩ޱ ܚҰ࿠ 1

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ࣗݾ঺հ ୩ޱ ܚҰ࿠ Fringe81גࣜձࣾ 新卒2年⽬サーバサイドエンジニア・広告プロダクトでScala書いてます・数学をやっていた⼈ではありません・Haskellもわかりません⼈⽣初登壇！ 2 twitter: @ravineport

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ݍ࿦ΛֶͿϞνϕʔγϣϯ 3 • Scalaに慣れてきたので、関数型ライブラリ（Scalaz, Cats）を触ってみる ??? よくわかんないけど⼀旦使うことはできるっぽいからいいか・・・（とはいえ⼼にモヤモヤは残る）圏論っていうのから来てるらしいぞ

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ݍ࿦ΛֶͿϞνϕʔγϣϯ 4 関数型ライブラリ・Scalaz ・Cats etc… 圏論・圏・関⼿・⾃然変換 etc… 確かに使っている使うよくわからない世界でも⾒え隠れしている圏論学んでみよう！

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ݍ࿦ɺ৺ંΕ͕ͪ໰୊ • ΠϯλʔωοτͰௐ΂Δʢ೉͍͠ʣ 5 • 本で学ぶ（やっぱり難しい）⼼が折れそうになりながらもなんとなく圏論の雰囲気は掴むことができた気がするので、ここまでの学びを共有したいと思います

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ࠓ೔ͷΰʔϧ 6 関数型プログラミングのライブラリ・Scalaz ・Cats etc… 圏論・圏・関⼿・⾃然変換 etc… 概念を使っている使う⾒え隠れしても怖くない！ﾁｮｯﾄわかる！ ※ エンジニアのよく⾔う「完全に理解した」→ 「全然わからん」 →「ﾁｮｯﾄわかる」の「ﾁｮｯﾄわかる」ではなく⽂字通りの「ﾁｮｯﾄわかる」がゴールです

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ࠓ೔ͷΰʔϧʢ΋͏গ͠۩ମྫʹʣ • ݍ࿦ͰͷϞφυͷงғؾ͕Θ্͔ͬͨͰɺ ϓϩάϥϛϯάͰͲ͏׆͔͞Ε͍ͯΔͷ͔ΛͳΜͱͳ͘ײ͡Δ • ݁Ռɺݍ࿦ͷงғؾ΋Θ͔Δ • ݍ • ؔख • ࣗવม׵ • ͳΜͱͳ͘Θ͔Δ͕ΰʔϧͳͷͰɺͦ͜·Ͱਖ਼֬ͳ࿩͸͠ͳ͍ʢͰ͖ͳ͍ʣ 7

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༐ؾΛग़ͯ͠ͱΓ͋͑ͣϞφυͷఆٛΛݟͯΈΔ 8 Wikipediaより

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࠷௿ݶ஌Βͳ͍ͱ͍͚ͳ͍ͱ͜Ζ 9 • 各種記号 • 圏 • 関⼿ • ⾃然変換

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ݍ࿦ͷجຊͱͳΔେ੾ͳ֓೦ • ݍʢDBUFHPSZʣ • ؔखʢGVODUPSʣ • ࣗવม׵ʢOBUVSBMUSBOTGPSNBUJPOʣ 10 参考⽂献：・圏論の道案内〜⽮印でえがく数学の世界〜・Category Theory for Programmers ・もう諦めない圏論⼊⾨

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ݍʢDBUFHPSZʣ 11 対象（object）と射（arrow, morphism）からなるある種のシステム圏の概念のイメージ図対象Aから対象Bへの射f: 圏を構成するためには満たすべきいくつかの規則がある fの域 dom(f) = A fの余域 cod(f) = B

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ݍΛߏ੒͢ΔͨΊͷنଇ̍ɿ߹੒ 12 対象：オフィス、居酒屋、家射：移動の仕⽅オフィス居酒屋家ｆｇ「オフィスから居酒屋への射f」と「居酒屋から家への射ｇ」から「オフィスから家への射」が得られる対象：⼈射：友⼈関係 Aさん Bさん Cさんｆｇ定義できない

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ݍΛߏ੒͢ΔͨΊͷنଇ̎ɿ݁߹཯ 13 のような任意のf, g, hについてが成り⽴つこと図で表すと合成する順番を⼊れ替えても結果は同じ「域と余域がそれぞれ等しい射は互いに等しい」が成り⽴っている図 ↑可換図式という

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ݍΛߏ੒͢ΔͨΊͷنଇ̏ɿ߃౳ࣹ 14 どんな対象Aに対して、恒等射（identity）と呼ばれる特別な射1A がただ1つ存在し、余域をAとする任意の射f、域をAとする任意の射gに対して 1A ◦f = f および g◦1A = gが成り⽴つ。⾔い換えるとが可換（単位律という）オフィス居酒屋家ｆｇ恒等射 = 何もしない射 1居酒屋 1家 1オフィス恒等射 = 移動しないという移動の仕⽅

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ݍͷఆٛ·ͱΊ • ʮର৅ʯͱʮࣹʯ • ʮҬʯʮ༨Ҭʯ͕ఆΊΒΕΔ • ʮ߹੒ʯ͕ఆΊΒΕΔ 15 fの域 dom(f) = A fの余域 cod(f) = B • 「結合律」が成り⽴つ • 「単位律」が成り⽴つ

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4DBMBͷੈքͩͱ • ର৅ɿܕ • ࣹɿؔ਺ 16 イメージ図もう少し簡潔にすると https://qiita.com/norkron/items/f90d851daf05a2efa567

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࠷௿ݶ஌Βͳ͍ͱ͍͚ͳ͍ͱ͜Ζ 17 • 各種記号 • 圏 • 関⼿ • ⾃然変換

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ݍͷ࣍͸ɾɾɾ 18 圏の間の関係性、対応付けを考えることができそう圏圏D ？圏Cの対象aは、圏Dの対象aʼに対応付けできて圏Cの射fは、圏Dの射fʼに対応付けできて・・・みたいな

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ݍ ͱݍ ͷରԠ෇͚ 19 D • 圏には合成という構造があるので、それを保つ対応付けをしたい • 対象と射の関係を保ちたいこれが関⼿

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圏 D ؔखʢGVODUPSʣ 20 圏からへの関⼿とは , の任意の対象と射に対して、の対象と射をそれぞれただ⼀つ定める対応付けまた、以下を満たすとなる任意の射に対して圏の任意の対象について圏 1( = 1*(() 圏圏D dom = cod() 圏D ∘ = () ∘ ()

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圏 D ؔखʢGVODUPSʣ 21 圏からへの関⼿とは , の任意の対象と射に対して、の対象と射をそれぞれただ⼀つ定める対応付けまた、以下を満たすとなる任意の射に対して圏の任意の対象について圏 1( = 1*(() 圏圏D dom = cod() 圏D ∘ = () ∘ () 先に合成してから移す＝移してから合成する対象aの恒等射を移すと対象a (圏C)を移した対象aʼ (圏D)の恒等射と同じ

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࠷௿ݶ஌Βͳ͍ͱ͍͚ͳ͍ͱ͜Ζ 22 • 各種記号 • 圏 • 関⼿ • ⾃然変換

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࠷௿ݶ஌Βͳ͍ͱ͍͚ͳ͍ͱ͜Ζ 23 • 各種記号 • 圏 • 関⼿ • ⾃然変換⾃分⾃⾝への関⼿ :⾃⼰関⼿

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ݍ ͔Βݍ ʹෳ਺ͷؔख͕͋Δ৔߹ 24 D との関係を考えられそう圏圏それが⾃然変換の考え

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ࣗવม׵ 25 圏圏が関⼿から関⼿への⾃然変換とはは圏の各対象に対して、射を対応させる圏の任意の対象 , および任意の射に対して → b ∘ ( = ; ∘ () が成り⽴つ

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ࣗવม׵ 26 圏圏が関⼿から関⼿への⾃然変換とはは圏の各対象に対して、射を対応させる圏の任意の対象 , および任意の射に対して → b ∘ ( = ; ∘ () が成り⽴つ

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ࣗવม׵ 27 圏圏が関⼿から関⼿への⾃然変換とはは圏の各対象に対して、射を対応させる圏の任意の対象 , および任意の射に対して → b ∘ ( = ; ∘ () が成り⽴つ

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࠷௿ݶ஌Βͳ͍ͱ͍͚ͳ͍ͱ͜Ζ 28 • 各種記号 • 圏 • 関⼿ • ⾃然変換雰囲気を理解する下地は整った・・・！

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վΊͯϞφυͷఆٛ 29 圏のモナドは関⼿ ∘ = ∘ ∘ = ∘ = A ⾃然変換⾃然変換（は圏の恒等関⼿）から成り以下の条件を満たす結合律：単位律：

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݁߹཯ͱ୯Ґ཯Λల։ͯ͠ΈΔ 30 圏のモナドは関⼿ ∘ = ∘ ∘ = ∘ = A ⾃然変換⾃然変換以下の条件を満たす結合律：単位律：（は圏の恒等関⼿）から成り

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݁߹཯ 31 関⼿ ∘ = ∘ ⾃然変換⾃然変換後ろ2つを潰す前2つを潰す潰す順番に依らない

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Ϟφυͷఆٛ 32 圏のモナドは関⼿ ∘ = ∘ ∘ = ∘ = A ⾃然変換⾃然変換（は圏の恒等関⼿）から成り以下の条件を満たす結合律：単位律：

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ϞφυͬͯϓϩάϥϛϯάͰͳΜͷ໾ʹཱͭͷʁ 33 計算効果（の⼀部）をモナドで扱うことができる計算過程で発⽣する計算以外の部分のこと ex. データベースの検索の失敗 • ⼊⼒された⼈名を電話帳で検索して電話番号を返すプログラムは、存在しない⼈名が⼊⼒されると失敗する • 引いてきた電話番号を別のプログラムに使おうとすると問題は連鎖する

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ϞφυͬͯϓϩάϥϛϯάͰͳΜͷ໾ʹཱͭͷʁ 34 計算効果（の⼀部）をモナドで扱うことができる計算過程で発⽣する計算以外の部分のこと ex. データベースの検索の失敗 • ⼊⼒された⼈名を電話帳で検索して電話番号を返すプログラムは、存在しない⼈名が⼊⼒されると失敗する • 引いてきた電話番号を別のプログラムに使おうとすると問題は連鎖する「値」から「値」への計算に集中したいけど、実際は「失敗かもしれない値」から「失敗かもしれない値」へのプログラムにしないといけない

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ϞφυͬͯϓϩάϥϛϯάͰͳΜͷ໾ʹཱͭͷʁ 35 計算効果（の⼀部）をモナドで扱うことができる計算過程で発⽣する計算以外の部分のこと ex. データベースの検索の失敗 • ⼊⼒された⼈名を電話帳で検索して電話番号を返すプログラムは、存在しない⼈名が⼊⼒されると失敗する • 引いてきた電話番号を別のプログラムに使おうとすると問題は連鎖する「値」から「値」への計算に集中したいけど、実際は「失敗かもしれない値」から「失敗かもしれない値」へのプログラムにしないといけない Moggi教授「いくつかの計算効果はモナドとして捉えられる」

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ࣦഊ͢Δ͔΋͠Εͳ͍ϓϩάϥϜΛѻ͏ 36 この計算効果に対応するのがMaybe モナド Maybe モナド：プログラム：型Aを受け取って、成功したら型Bを返す ← 関⼿（ScalaならOption型）射型Aの値a、型Bの値bとして aを受け取って成功すれば f(a) = Some(a)、失敗すればf(a) = None プログラム：射

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ࣦഊ͢Δ͔΋͠Εͳ͍ϓϩάϥϜΛѻ͏ 37 この計算効果に対応するのがMaybe モナド Maybe モナド：プログラム：型Aを受け取って、成功したら型Bを返す ← 関⼿（ScalaならOption型）射型Aの値a、型Bの値bとして aを受け取って成功すれば f(a) = Some(a)、失敗すればf(a) = None プログラム：射とを連結すると・・・ a None 失敗成功 b None 失敗成功 c なんかややこしい

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Ϟφυͷ׆༂ 38 Q. なぜややこしいのか？の出⼒との⼊⼒が合っていないから A. モナド () は関⼿なので、を考えることができてさらにモナドの性質からでも

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͍ͧ͢͝Ϟφυʂͦͷ 39 Q. なぜややこしいのか？の出⼒との⼊⼒が合っていないから A. モナド () は関⼿なので、を考えることができてさらにモナドの性質からでもこの拡張をモナドがやってくれる！

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͍ͧ͢͝Ϟφυʂͦͷ 40 Q. なぜややこしいのか？の出⼒との⼊⼒が合っていないから A. モナド () は関⼿なので、を考えることができてさらにモナドの性質からでもこの拡張をモナドがやってくれる！ Some(b)かつが成功したときにのみ型Cの値が返る⾃然変換が「すべて成功した場合」と「1つでも失敗した場合」にまとめてくれる！

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4DBMBͰϞφυΛݟͯΈΔ 41 scala-hamsters/hamsters のMonad.scala

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4DBMBͰϞφυΛݟͯΈΔ 42 scala-hamsters/hamsters のMonad.scala ⾃然変換

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4DBMBͰϞφυΛݟͯΈΔ 43 scala-hamsters/hamsters のMonad.scala ⾃然変換 f: A => Box[B]を渡せば、Box[A] => Box[B]という関数をにしてくれる感があるをに潰してもいる flatMap！

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·ͱΊ • ݍ࿦ͷجຊతͳ֓೦Λͳ͕Ίͨ • ݍ • ؔख • ࣗવม׵ • Ϟφυͱ͸ͳʹ͔ɺͳΜͷ໾ʹཱͭͷ͔ • ܭࢉޮՌΛ͍͍ײ͡ʹѻ͑Δʂ 44 関数型プログラミングのライブラリ・Scalaz ・Cats etc… 圏論・圏・関⼿・⾃然変換 etc… 概念を使っている使う⾒え隠れしても怖くない！ﾁｮｯﾄわかる！