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連立方程式 ～加減法～ 学習対象者：連立方程式を学習した方 大人塾 1
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加減法で解く連立方程式 連立方程式には加減法と代入法とい う二つの解き方がありますが、どち らを使っても構いません。 ただ、加減法の方が慣れてしまえば 比較的簡単に回答できます。 加減法は、そろえて消すというもの ですが、テトリスなどのゲームに似 ていますので、ゲーム感覚で習得し ましょう。 大人塾 2
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 大人塾 3
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例題1 大人塾 4 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 加減法のポイントは、「係数」をそろえることです。どういうこ とでしょうか? 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 係数って Xとかについている 数字よね？
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例題1 大人塾 5 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 2つの式の「 𝑥 の係数」に注目してください。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1
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例題1 大人塾 6 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 上の式の 𝑥 の係数は、見えていないだけで、「1」ですね。 下の式の 𝑥 の係数は、「2」と書かれています。 21𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1
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例題1 大人塾 7 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 加減法では、この２つの係数をそろえることを考えます。 (符号±はそろえなくても大丈夫です。) 21𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 ここで、上の係数の１を下の係数２と同じにします。 どうすればよいでしょうか？ 大人塾 8 21𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1
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例題1 大人塾 9 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 上の式の両辺を2倍してみましょう 2 × (1𝑥 + 𝑦) = 2 × 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 上の式の両辺を2倍してみましょう 大人塾 10 2𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 − 3𝑦 = 1
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 ここで、改めて上と下の 𝑥 の係数に注目してみましょう。 どちらも 2 となりそろっています。これで準備が出来ました。 大人塾 11 2𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 − 3𝑦 = 1
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 係数がそろったら、上の式から下の式を引きます。 大人塾 12 2𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 − 3𝑦 = 1
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 下のような筆算を用意します。 大人塾 13 2𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 − 3𝑦 = 1 －
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 まず、「＝」をそのまま下ろします。 大人塾 14 2𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 − 3𝑦 = 1 － = 5
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 には、上の式と下の式の右辺のひき算、つまり「6 − 1」の計 算結果を書きます。 大人塾 15 2𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 − 3𝑦 = 1 － = 5
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 の部分には、上の式と下の式の左辺のひき算、 つまり「(2𝑥 + 2𝑦) − (2𝑥 − 3𝑦) 」の計算結果を書き入れます。 大人塾 16 2𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 − 3𝑦 = 1 － = 5
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 2𝑥 + 2𝑦 − 2𝑥 − 3𝑦 = 5𝑦、よって 5𝑦 を書き入れます。 大人塾 17 X の係数をそろえたから 引いたら消えるのね！ 2𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 − 3𝑦 = 1 － 5𝑦 = 5
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 ここで、「5𝑦 = 5」という簡単な１次方程式が出てきました。 大人塾 18 2𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 − 3𝑦 = 1 － 5𝑦 = 5
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 この「5𝑦 = 5」を解けば、 𝑦 = 1 という数字が出てきました。 これが 𝑦 の答えになります。 大人塾 19 2𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 − 3𝑦 = 1 － 5𝑦 = 5 5𝑦 = 1
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 𝑦 の答えが出てきたら、今度は問題そのものに戻ります。 大人塾 20
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 計算して出てきた 𝑦 = 1 を、問題のどちらかの式に代入します。 今回は「𝑥 + 𝑦 = 3」に代入してみましょう。 （2𝑥 − 3𝑦 = 1に代入しても構いません） 大人塾 21 22𝑥 + 𝑦 = 3
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 解いていくと、𝑥 の値を求めることが出来ます。 よって、この 𝑥 = 2 というのが、𝑥 の答えとなります。 大人塾 22 22𝑥 + 𝑦 = 3 22𝑥 + 1 = 3 22212 + 2𝑥 = 3 − 1 22221𝑥 = 2 あとはxに ついて解く
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 これで答えが出たことになります。 答え 𝑥 = 2, 𝑦 = 1 大人塾 23 𝑥 = 2 𝑦 = 1
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 このように、 「文字の係数をそろえて上の式と下の式を引く」 ことによって連立方程式を解くことを、「加減法」と言います。 （名前は覚えなくてよいです） 引くことによって 𝑥 という文字が消えて、𝑦 だけの1次方程式を つくったことがこの方法の最大のポイントです。 大人塾 24
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例題1 次の連立方程式を解け。 23𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑦 = 1 ちなみに、今は 𝑥 についての係数をそろえましたが、𝑦 について の係数をそろえることも可能です。 大人塾 25
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例題2 次の連立方程式を解け。 3𝑥 + 2𝑦 = 11 2𝑥 − 5𝑦 = 1 大人塾 26
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例題2 次の連立方程式を解け。 3𝑥 + 2𝑦 = 11 2𝑥 − 5𝑦 = 1 今度は練習のために、𝑦 についての係数をそろえます。まず考え る ことは、「どの数字をかければ同じ係数になるか」ということで すね。 大人塾 27 3𝑥 + 2𝑦 = 11 2𝑥 − 5𝑦 = 11
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例題2 次の連立方程式を解け。 3𝑥 + 2𝑦 = 11 2𝑥 − 5𝑦 = 1 2と5をそろえるために、最小公倍数を利用します。 2と5の最小公倍数は10ですね。 大人塾 28 3𝑥 + 2𝑦 = 11 2𝑥 − 5𝑦 = 11
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例題2 次の連立方程式を解け。 3𝑥 + 2𝑦 = 11 2𝑥 − 5𝑦 = 1 それぞれ 𝑦 の係数を10にするために、下の計算をします。 （次のスライドを見る前に挑戦してみましょう） 大人塾 29 3𝑥 + 2𝑦 = 11 2𝑥 − 5𝑦 = 1 全体を5倍 全体を2倍
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例題2 次の連立方程式を解け。 3𝑥 + 2𝑦 = 11 2𝑥 − 5𝑦 = 1 下のようになりましたか？ 大人塾 30 全体を5倍した 全体を2倍した 15𝑥 + 10𝑦 = 55 4𝑥 − 10𝑦 = 2
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例題2 次の連立方程式を解け。 3𝑥 + 2𝑦 = 11 2𝑥 − 5𝑦 = 1 係数がそろったら 𝑦 を消します。 先ほどの問題では＋同士だったので引きましたが、 今回は +10𝑦 と −10𝑦 という凸凹なので、そのまま足します。 大人塾 31 15𝑥 + 10𝑦 = 55 4𝑥 − 10𝑦 = 2
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例題2 大人塾 32 次の連立方程式を解け。 3𝑥 + 2𝑦 = 11 2𝑥 − 5𝑦 = 1 係数がそろったら 𝑦 を消します。 先ほどの問題では＋同士だったので引きましたが、 今回は +10𝑦 と −10𝑦 という凸凹なので、そのまま足します。 ＋ 15𝑥 + 10𝑦 = 55 4𝑥 − 10𝑦 = 2
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例題2 大人塾 33 次の連立方程式を解け。 3𝑥 + 2𝑦 = 11 2𝑥 − 5𝑦 = 1 係数がそろったら 𝑦 を消します。 先ほどの問題では＋同士だったので引きましたが、 今回は +10𝑦 と −10𝑦 という凸凹なので、そのまま足します。 ＋ 15𝑥 + 10𝑦 = 55 4𝑥 − 10𝑦 = 2 19𝑥 = 57
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例題2 次の連立方程式を解け。 3𝑥 + 2𝑦 = 11 2𝑥 − 5𝑦 = 1 筆算より、 となり、𝑥 の答えが出ました。 大人塾 34 119𝑥 = 57 12𝑥 = 3
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例題2 次の連立方程式を解け。 3𝑥 + 2𝑦 = 11 2𝑥 − 5𝑦 = 1 あとは、この 𝑥 = 3 を問題のどちらかの式に代入することで、も う一方の 𝑦 の答えが出てきます。 大人塾 35
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例題2 次の連立方程式を解け。 3𝑥 + 2𝑦 = 11 2𝑥 − 5𝑦 = 1 「2𝑥 − 5𝑦 = 1」に 𝑥 = 3 を代入しましょう。 大人塾 36 𝑥 = 3 代入 2 × 2𝑥 − 5𝑦 = 1 𝑥2 × 3 − 5𝑦 = 1 2𝑥 × 6 − 5𝑦 = 1 2𝑥 × 3 + 𝑦 − 5𝑦 = 1 − 6 2𝑥 × −3 − 5𝑦 = −5 2𝑥 × 𝑦𝑦 − 𝑦 = 1 6を移項
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例題2 次の連立方程式を解け。 3𝑥 + 2𝑦 = 11 2𝑥 − 5𝑦 = 1 よって となり、この方程式の答えが出ました。 答え 𝑥 = 3, 𝑦 = 1 大人塾 37 𝑥 = 3 𝑦 = 1
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まとめ 方程式を解くときは、下のように「＝」の位置をそろえて書きま しょう。 丁寧に解けば間違いが減ります。 大人塾 38 2 × 2𝑥 − 5𝑦 = 1 𝑥2 × 3 − 5𝑦 = 1 2𝑥 × 6 − 5𝑦 = 1 2𝑥 × 3 + 𝑦 − 5𝑦 = 1 − 6 2𝑥 × −3 − 5𝑦 = −5 2𝑥 × 𝑦𝑦 − 𝑦 = 1