Myon-Zerfall Frank S. Thomas Fakult¨ at f¨ ur Physik und Astronomie der Universit¨ at W¨ urzburg 19. Dezember 2008 Frank S. Thomas 1 / 29 

Das Myon Historisches: 1936 entdeckt von Carl D. Anderson in kosmischer Strahlung µ± entstehen in Luftschauern beim Zerfall von π± und K± Eigenschaften des Myons: Masse mµ = 105,658369(9) MeV ≈ 207 me Ladung −e Spin 1/2 mittlere Lebensdauer ≈ 2,2 µs Frank S. Thomas 2 / 29 

Inhalt Feynman-Amplitude Feynman-Diagramm Feynman-Regeln der schwachen Wechselwirkung Effektive 4-Fermionwechselwirkung Betragsquadrat und Spinsumme Ruhesystem des Myons Drei-Teilchen-Phasenraum Phasenraumelement Dalitz-Plot Ergebnisse Energiespektrum der Elektronen Zerfallsbreite und Lebensdauer Korrekturen Bedeutung des Myon-Zerfalls Frank S. Thomas 3 / 29 

Feynman-Amplitude Feynman-Diagramm Feynman-Diagramm Zerfall des Myons µ− → e− + νµ + νe ¡ W−(q) µ−(p) νµ(k) µ ν νe(k ) e−(p ) Impulserhaltung des gesamten Zerfalls: p = p + k + k an jedem Vertex: q = p − k = p + k Frank S. Thomas 4 / 29 

Feynman-Amplitude Feynman-Regeln der schwachen Wechselwirkung Feynman-Regeln der schwachen Wechselwirkung Erweiterung der Feynman-Regeln f¨ ur schwache Wechselwirkung (ohne Ber¨ ucksichtigung neutraler Str¨ ome) Faktor f¨ ur jeden Vertex mit innerer W-Boson-Linie: −ig √ 2 γµ 1 − γ5 2 Propagator f¨ ur W-Bosonen mit Impuls q: i −gµν + qµqν/M2 W q2 − M2 W (Masse des W-Bosons MW = 80,403(29) GeV) Frank S. Thomas 5 / 29 

Feynman-Amplitude Effektive 4-Fermionwechselwirkung Feynman-Amplitude Die Feynman-Amplitude kann nun direkt aus dem Diagramm abgelesen werden: Mfi = −ig2 8 u(k)γµ(1 − γ5)u(p) −gµν + qµqν/M2 W q2 − M2 W × u(p )γν(1 − γ5)v(k ) ¡ W−(q) µ−(p) νµ(k) µ ν νe(k ) e−(p ) Frank S. Thomas 6 / 29 

Feynman-Amplitude Effektive 4-Fermionwechselwirkung Feynman-Amplitude Die Feynman-Amplitude kann nun direkt aus dem Diagramm abgelesen werden: Mfi = −ig2 8 u(k)γµ(1 − γ5)u(p) −gµν + qµqν/M2 W q2 − M2 W × u(p )γν(1 − γ5)v(k ) Termumformungen f¨ uhren zu: Mfi = ig2 8(q2 − M2 W ) u(k)γµ(1 − γ5)u(p)u(p )γµ(1 − γ5)v(k ) − u(k)γµ(1 − γ5)u(p) qµqν M2 W u(p )γν(1 − γ5)v(k ) Frank S. Thomas 7 / 29 

Feynman-Amplitude Effektive 4-Fermionwechselwirkung Feynman-Amplitude Vereinfachung des Summanden: u(k)γµ(1 − γ5)u(p) qµqν M2 W u(p )γν(1 − γ5)v(k ) Unter Verwendung des Antikommutators: γ5, γµ = 0 der Dirac-Gleichungen: ¡ pu(p) = mµu(p) u(p ) ¡ p = u(p )me Mfi = ig2 8(q2 − M2 W ) u(k)γµ(1 − γ5)u(p)u(p )γµ(1 − γ5)v(k ) − mµme M2 W u(k)(1 + γ5)u(p)u(p )(1 − γ5)v(k ) Frank S. Thomas 8 / 29 

Feynman-Amplitude Effektive 4-Fermionwechselwirkung Effektive 4-Fermionwechselwirkung Betrachtung des Impuls¨ ubertrags und des Verh¨ altnisses der Teilchenmassen ergibt effektive Feynman-Amplitude: q2 ≤ p2 = m2 µ M2 W ⇒ (q2 − M2 W ) ≈ −M2 W mµme/M2 W ≈ 8 · 10−9 1 Effektive Feynman-Amplitude Mfi = −ig2 8M2 W u(k)γµ(1 − γ5)u(p) u(p )γµ(1 − γ5)v(k ) Frank S. Thomas 9 / 29 

Feynman-Amplitude Effektive 4-Fermionwechselwirkung Effektive 4-Fermionwechselwirkung Entwicklung des W-Boson-Propagators: i −gµν + qµqν/M2 W q2 − M2 W − − − − − − → |q2| M2 W igµν M2 W Diagramm schrumpft zu Kontaktwechselwirkung von vier Fermionen: ¡ µ−(p) νe(k ) e−(p ) νµ(k) ¨ Ahnliche Wechselwirkung schlug Fermi 1934 f¨ ur β−-Zerfall vor Konvention: g2 M2 W = 8GF √ 2 Frank S. Thomas 10 / 29 

Feynman-Amplitude Betragsquadrat und Spinsumme Betragsquadrat Komplex konjugierte Amplitude berechnet sich mit Hilfe von: (ab)† = b†a†, (γν)† = γ0γνγ0, (γ5)† = γ5 und (γ0)2 = 1 M∗ fi = iGF √ 2 u(p)γν(1 − γ5)u(k) v(k )γν(1 − γ5)u(p ) |Mfi|2 = G2 F 2 u(k)γµ(1 − γ5)u(p)u(p)γν(1 − γ5)u(k) × u(p )γµ(1 − γ5)v(k )v(k )γν(1 − γ5)u(p ) = G2 F 2 LµνMµν Frank S. Thomas 11 / 29 

Feynman-Amplitude Betragsquadrat und Spinsumme Spinsumme Myon ist unpolarisiert und Spins der Zerfallsprodukte werden nicht nachgewiesen → |Mfi|2 = 1 2 Spins |Mfi|2 Lµν = 1 2 r,s us,α(k)(γµ(1 − γ5))αβur,β(p) ×ur,σ(p)(γν(1 − γ5))στ us,τ (k) Spinsumme der Produkte uu: r ur,β(p)ur,σ(p) = ( ¡ p + mµ)βσ s us,τ (k)us,α(k) =  kτα ⇒ Lµν = 1 2 kτα(γµ(1 − γ5))αβ( ¡ p + mµ)βσ(γν(1 − γ5))στ ⇒ Verwendung von Spurtechniken, da AijBjkCki = tr(ABC) Frank S. Thomas 12 / 29 

Feynman-Amplitude Betragsquadrat und Spinsumme Spinsumme Umschreiben von Lµν als Spur eines Produkts von Matrizen: Lµν = 1 2 tr  kγµ(1 − γ5)( ¡ p + mµ)γν(1 − γ5) (1 − γ5)2 = 1 − 2γ5 + (γ5)2 = 2(1 − γ5) ⇒ Lµν = tr  kγµ( ¡ p + mµ)γν(1 − γ5) tr(γµ1 . . . γν2n+1 )= 0 ⇒ tr  kγµmµγν(1 − γ5) = 0 Lµν = tr  kγµ ¡ pγν(1 − γ5) Lµν = kαpβtr γαγµγβγν(1 − γ5) Ganz analog wird Mµν berechnet: Mµν = 2p σk τ tr γσγµγτ γν(1 − γ5) Frank S. Thomas 13 / 29 

Feynman-Amplitude Betragsquadrat und Spinsumme Spinsumme Mit Spurregeln f¨ ur γ-Matrizen wird die spingemittelte Feynman-Amplitude berechnet: tr γαγµγβγν = 4(gαµgβν + gανgµβ − gαβgµν) tr γαγµγβγνγ5 = 4i αµβν ⇒ tr γαγµγβγν(1 − γ5) tr γσγµγτ γν(1 − γ5) = 64δα σ δβ τ kαpβp σk τ δα σ δβ τ = (kp )(pk ) Spingemittelte Feynman-Amplitude |Mfi|2 = 64G2 F (kp )(pk ) Frank S. Thomas 14 / 29 

Feynman-Amplitude Ruhesystem des Myons Ruhesystem des Myons Berechnung der Skalarprodukte im Ruhesystem des Myons: p = (mµ, 0), p = (E , p ), k = (ω, k), k = (ω , k ) (pk ) = mµω (kp ) = ωE − kp = ωE − ω|p | cos α me=0 = ωE (1 − cos α) ¨ Uber Impulserhaltung kann α durch Energien ersetzt werden: (p − k )2 = (p + k)2 ⇒ (1 − cos α) = (m2 µ − 2mµω )/(2ωE ) Feynman-Amplitude im Ruhesystem des Myons |Mfi|2 = 32G2 F m2 µ ω (mµ − 2ω ) Frank S. Thomas 15 / 29 

Drei-Teilchen-Phasenraum Inhalt Feynman-Amplitude Feynman-Diagramm Feynman-Regeln der schwachen Wechselwirkung Effektive 4-Fermionwechselwirkung Betragsquadrat und Spinsumme Ruhesystem des Myons Drei-Teilchen-Phasenraum Phasenraumelement Dalitz-Plot Ergebnisse Energiespektrum der Elektronen Zerfallsbreite und Lebensdauer Korrekturen Bedeutung des Myon-Zerfalls Frank S. Thomas 16 / 29 

Drei-Teilchen-Phasenraum Phasenraumelement Drei-Teilchen-Phasenraum Zerfall eines Teilchens A (mit P = (M, 0)) in n Teilchen: A(P) −→ 1(p1) + 2(p2) + . . . + n(pn) 3n-fach differentielle Zerfallsbreite allgemein definiert als: d3nΓ = (2π)4δ4(P − n i=1 pi) 1 2M |Mfi|2 n i=1 d3pi (2π)32Ei = 1 2M |Mfi|2d3nL Phasenraumelement des Myon-Zerfalls: d9L = 1 256π5 δ4(p − p − k − k ) d3p E d3k ω d3k ω Frank S. Thomas 17 / 29 

Drei-Teilchen-Phasenraum Phasenraumelement Drei-Teilchen-Phasenraum Parametrisierung des Phasenraums: Wegen Energie-Impulserhaltung 9 − 4 = 5 Freiheitsgrade Zerfall im Ruhesystem isotrop ⇒ 3 Winkel legen Orientierung der Zerfallsebene im Raum fest 2 dieser Winkel (Ω) fixieren Richtung von p Kugelkoordinaten f¨ ur k (φ, θ) mit p -Richtung als z-Achse: Winkel φ gibt Rotation von (k , k) um p an 2 Energien (E , ω ) bestimmen ω Frank S. Thomas 18 / 29 

Drei-Teilchen-Phasenraum Phasenraumelement Phasenraumelement Integration ¨ uber d3k mit Impulsanteil der Delta-Funktion: d6L = 1 256π5 δ(mµ −E −ω−ω )δ3(−p −k−k )d3p E d3k ω d3k ω = 1 256π5 δ(mµ − E − ω − ω ) 1 E ωω d3p d3k Einf¨ uhrung von Kugelkoordinaten f¨ ur d3p und d3k : d3p = |p |2d|p |dΩ d3k = |k |2d|k |dφd(cos θ) |p|d|p| = EdE wegen E2 = m2 + |p|2 d6L = 1 256π5 δ(mµ − E − ω − ω )|p ||k | ω dE dω dΩdφd(cos θ) Frank S. Thomas 19 / 29 

Drei-Teilchen-Phasenraum Phasenraumelement Phasenraumelement Integration ¨ uber d(cos θ) nicht trivial, da ω = ω(cos θ): ω = m2 νµ + |k|2 = m2 νµ + E 2 − m2 e + ω 2 − m2 νe + 2|p ||k | cos θ δ (f(x)) g(x)dx = i g(xi) |f (xi)| mit f(xi) = 0 ∂ω ∂(cos θ) −1 = ω |p ||k | d5L = 1 256π5 dE dω dΩdφ Integration ¨ uber Ω und φ, da Myon unpolarisiert: Phasenraumelement des Myonzerfalls d2L = 1 32π3 dE dω Frank S. Thomas 20 / 29 

Drei-Teilchen-Phasenraum Dalitz-Plot Dalitz-Plot Jedes Zerfallsereignis wird als Punkt in der E -ω -Ebene dargestellt; Grenzen des Plots folgen aus Energieerhaltung und ω(cos θ): cos θ = (mµ−E −ω )2−E 2−ω 2−m2 νµ +m2 e +m2 νe 2 √ E 2−m2 e qω 2−m2 νe Einschr¨ ankung von E und ω , da −1 ≤ cos θ ≤ 1 Masselose Teilchen: E ≤ mµ 2 ∧ ω ≤ mµ 2 ∧ E + ω ≥ mµ 2 Frank S. Thomas 21 / 29 

Ergebnisse Inhalt Feynman-Amplitude Feynman-Diagramm Feynman-Regeln der schwachen Wechselwirkung Effektive 4-Fermionwechselwirkung Betragsquadrat und Spinsumme Ruhesystem des Myons Drei-Teilchen-Phasenraum Phasenraumelement Dalitz-Plot Ergebnisse Energiespektrum der Elektronen Zerfallsbreite und Lebensdauer Korrekturen Bedeutung des Myon-Zerfalls Frank S. Thomas 22 / 29 

Ergebnisse Energiespektrum der Elektronen Energiespektrum der Elektronen Mit |Mfi|2 und d2L folgt differentielle Zerfallsbreite: d2Γ dE dω = G2 F 2π3 mµω (mµ − 2ω ) Integration ¨ uber ω ergibt Energiespektrum der Elektronen: Integrationsgrenzen aus Dalitz-Plot: mµ 2 − E ≤ ω ≤ mµ 2 Energiespektrum der Elektronen dΓ dE = G2 F m2 µ 12π3 E 2 3 − 4E mµ f¨ ur 0 ≤ E ≤ mµ 2 Frank S. Thomas 23 / 29 

Ergebnisse Energiespektrum der Elektronen Energiespektrum der Elektronen Vergleich zwischen Experiment und Theorie: Spektrum von Positronen beim Zerfall µ+ → e+νµνe Frank S. Thomas 24 / 29 

Ergebnisse Zerfallsbreite und Lebensdauer Zerfallsbreite und Lebensdauer Integration ¨ uber E ergibt Zerfallsbreite: Γ = mµ 2 0 G2 F m2 µ 12π3 E 2 3 − 4E mµ dE = G2 F m5 µ 192π3 Zerfallskanal µ− → e−νµνe mit BR ≈ 100% dominant: Lebensdauer des Myons τ = 1 Γ = 192π3 G2 F m5 µ Vergleich zwischen berechneter und experimenteller Lebensdauer: τcalc = 2,18738(8) µs τexp = 2,19703(4) µs Relative Abweichung von τcalc zu τexp ≈ −0,4% Frank S. Thomas 25 / 29 

Ergebnisse Korrekturen Korrekturen Bisher verwendete N¨ aherungen: Berechnung in Baumn¨ aherung, keine Strahlungskorrekturen Approximation des W-Boson-Propagators Vernachl¨ assigung der Neutrinomassen Vernachl¨ assigung der Elektronenmasse Vernachl¨ assigung weiterer Zerfallskan¨ ale W-Boson-Propagator mit n¨ achstem Glied der Entwicklung: ⇒ Γ = G2 F m5 µ 192π3 1 + 3m2 µ 5M2 W Korrektur in Gr¨ oßenordnung 10−6 ⇒ vernachl¨ assigbar Frank S. Thomas 26 / 29 

Ergebnisse Korrekturen Elektronenmasse und Strahlungskorrekturen Rechnung ohne Vernachl¨ assigung der Elektronenmasse: Γ = G2 F m5 µ 192π3 1 − 8x2 + 8x6 − x8 − 24x4 ln(x) , x = me mµ Korrektur ≈ 2 · 10−4, also rel. Abweichung von 0,02% Strahlungskorrekturen der QED niedrigster Ordnung: Γ = G2 F m5 µ 192π3 1 − α 2π π2 − 25 4 Korrektur ≈ 4 · 10−3, also rel. Abweichung von 0,4% ¡ W− µ− νµ νe γ e− ¡ W− µ− νµ νe e− Frank S. Thomas 27 / 29 

Ergebnisse Bedeutung des Myon-Zerfalls Bedeutung des Myon-Zerfalls Pr¨ azise Bestimmung der Kopplungskonstante GF , da Lebensdauer auf einige 10−1 ps genau gemessen werden kann ¨ Uberpr¨ ufung der zugrundeliegenden QFT durch Vergleich von Theorie und Experiment Klassisches Beispiel f¨ ur Zeitdilatation, da Myonen aus kosmischer Strahlung noch auf der Erde detektiert werden Frank S. Thomas 28 / 29 

Literatur de Wit, B. und J. Smith (1986). Field Theory in Particle Physics, Bd. 1. North-Holland. Halzen, Francis und A. D. Martin (1984). Quarks & Leptons. John Wiley & Sons. Mandl, Franz und G. Shaw (1993). Quantenfeldtheorie. AULA-Verlag, 1 Aufl. Nachtmann, Otto (1989). Elementary Particle Physics. Springer-Verlag. Renton, Peter (1990). Electroweak Interactions. Cambridge University Press. Scheck, Florian (2001). Theoretische Physik, Bd. 4. Springer-Verlag. Frank S. Thomas 29 / 29