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浅野　晃 関西大学総合情報学部 2023年度秋学期　応用数学（解析） 第４部・「その先の解析学」への導入 測度論ダイジェスト(1) ルベーグ測度と完全加法性 第14回

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36 2 積分に対する疑問🤔🤔

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 3 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 3 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p q

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 3 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p q a

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 3 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p q だから， a a f(x)dx = 0 a

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 3 aのところで幅0の直線を抜いても 積分の値は変わらない 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p q だから， a a f(x)dx = 0 a

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらない p q a a f(x)dx = 0

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらない p q a a f(x)dx = 0 p q

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらない p q a a f(x)dx = 0 可算無限個の直線を抜いても p q

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらない p q a a f(x)dx = 0 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらない p q a a f(x)dx = 0 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらないのか？

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「数えられる」無限（再び） 5 自然数とは，数えるための数字 1, 2, 3, … 自然数の集合と同じ無限を 「数えられる無限」すなわち［可算無限］という そして，「無限」 その「個数」は［可算基数］ ℵ0（アレフゼロ） （よく「可算無限個」という）

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「数えられる」無限（再び） 5 自然数とは，数えるための数字 1, 2, 3, … 自然数の集合と同じ無限を 「数えられる無限」すなわち［可算無限］という そして，「無限」 その「個数」は［可算基数］ ℵ0（アレフゼロ） （よく「可算無限個」という） ？

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 どうやって数えるのか（再び） 6 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2, 3, … この集合の［基数］（［濃度］）は ［可算無限集合］という ℵ0 集合A = {a, b, c, …} 自然数 過不足なく１対１対応がつく （［全単射］が存在する）なら

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 どうやって数えるのか（再び） 6 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2, 3, … この集合の［基数］（［濃度］）は ［可算無限集合］という ℵ0 集合A = {a, b, c, …} 自然数 過不足なく１対１対応がつく （［全単射］が存在する）なら

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 どうやって数えるのか（再び） 6 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2, 3, … この集合の［基数］（［濃度］）は ［可算無限集合］という ℵ0 集合A = {a, b, c, …} 自然数 過不足なく１対１対応がつく （［全単射］が存在する）なら

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 どうやって数えるのか（再び） 6 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2, 3, … この集合の［基数］（［濃度］）は ［可算無限集合］という ℵ0 集合A = {a, b, c, …} 自然数 過不足なく１対１対応がつく （［全単射］が存在する）なら

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 どうやって数えるのか（再び） 6 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2, 3, … この集合の［基数］（［濃度］）は ［可算無限集合］という ℵ0 集合A = {a, b, c, …} 自然数 過不足なく１対１対応がつく （［全単射］が存在する）なら

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 偶数の集合の濃度は（再び） 7 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数 自然数 １対１対応がつく（全単射が存在する） 2, 4, 6, …, 2n, …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 偶数の集合の濃度は（再び） 7 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数 自然数 １対１対応がつく（全単射が存在する） 2, 4, 6, …, 2n, …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 偶数の集合の濃度は（再び） 7 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数 自然数 １対１対応がつく（全単射が存在する） 2, 4, 6, …, 2n, …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 偶数の集合の濃度は（再び） 7 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数 自然数 １対１対応がつく（全単射が存在する） 2, 4, 6, …, 2n, …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 偶数の集合の濃度は（再び） 7 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数 自然数 １対１対応がつく（全単射が存在する） 2, 4, 6, …, 2n, …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 偶数の集合の濃度は（再び） 7 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数の基数も ℵ0 偶数 自然数 １対１対応がつく（全単射が存在する） 2, 4, 6, …, 2n, … 自然数と「個数」は同じ

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 8 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらないのか？

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 8 この疑問に答えるには， 「幅」「面積」というものをもっと精密に考える必要がある 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらないのか？

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 8 この疑問に答えるには， 「幅」「面積」というものをもっと精密に考える必要がある 「測度論」 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらないのか？

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36 9 ジョルダン測度📏📏

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区分求積法で積分を求める 10 積分 は， 分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区分求積法で積分を求める 10 積分 は， 分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限 「極限」とは，無限ではなく有限

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義（再び） 11 数列{an}が α に収束するとは a1 α α – ε α + ε ε ε

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義（再び） 11 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 α α – ε α + ε ε ε

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義（再び） 11 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 α α – ε α + ε ε ε

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義（再び） 11 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義（再び） 11 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義（再び） 11 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義（再び） 11 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義（再び） 11 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義（再び） 11 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義（再び） 11 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義（再び） 11 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 数列の収束の定義（再び） 11 εをどんなに小さくしても そういうNがある 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン内測度と外測度 12 f(x) x p q グラフの下側の部分の 内部におさまる長方形 f(x) x p q グラフの下側の部分を 内部に含む長方形

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン内測度と外測度 12 f(x) x p q グラフの下側の部分の 内部におさまる長方形 区間の分け方をいろいろ変えた時 f(x) x p q グラフの下側の部分を 内部に含む長方形

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン内測度と外測度 12 f(x) x p q グラフの下側の部分の 内部におさまる長方形 区間の分け方をいろいろ変えた時 こちらの上限 f(x) x p q グラフの下側の部分を 内部に含む長方形

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン内測度と外測度 12 f(x) x p q グラフの下側の部分の 内部におさまる長方形 区間の分け方をいろいろ変えた時 こちらの上限 f(x) x p q グラフの下側の部分を 内部に含む長方形 ［ジョルダン内測度］

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン内測度と外測度 12 f(x) x p q グラフの下側の部分の 内部におさまる長方形 区間の分け方をいろいろ変えた時 こちらの上限 f(x) x p q グラフの下側の部分を 内部に含む長方形 ［ジョルダン内測度］ こちらの下限

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン内測度と外測度 12 f(x) x p q グラフの下側の部分の 内部におさまる長方形 区間の分け方をいろいろ変えた時 こちらの上限 f(x) x p q グラフの下側の部分を 内部に含む長方形 ［ジョルダン内測度］ こちらの下限 ［ジョルダン外測度］

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン測度 13 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p q ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン測度 13 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p q ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度 両者が一致するとき［ジョルダン測度］という

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン測度 13 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p q ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度 両者が一致するとき［ジョルダン測度］という ２次元の場合これを［面積］という

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン測度 13 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p q ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度 両者が一致するとき［ジョルダン測度］という ２次元の場合これを［面積］という ジョルダン測度が定まる図形（集合）を［ジョルダン可測］という

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン測度 14 積分の例（区分求積法）に限らず これの上限が ジョルダン内測度 ジョルダン測度が定まる図形（集合）をジョルダン可測という これの下限が ジョルダン外測度 両者が一致するときジョルダン測度 ２次元の場合これを面積という

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン測度の性質 15 ジョルダン可測な集合Aの，ジョルダン測度を J(A) とする

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン測度の性質 15 ジョルダン可測な集合Aの，ジョルダン測度を J(A) とする J(∅) = 0

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン測度の性質 15 ジョルダン可測な集合Aの，ジョルダン測度を J(A) とする 空集合の測度は0 J(∅) = 0

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン測度の性質 15 ジョルダン可測な集合Aの，ジョルダン測度を J(A) とする 空集合の測度は0 J(∅) = 0 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B)

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン測度の性質 15 ジョルダン可測な集合Aの，ジョルダン測度を J(A) とする 空集合の測度は0 重なりのない２つの集合については和集合の測度は測度の和 J(∅) = 0 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B)

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ジョルダン測度の性質 15 ジョルダン可測な集合Aの，ジョルダン測度を J(A) とする ［有限加法性］という 空集合の測度は0 重なりのない２つの集合については和集合の測度は測度の和 J(∅) = 0 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B)

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36 16 ルベーグ測度📏📏

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「有限個の長方形」 17 積分 は， 分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限 ジョルダン測度

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「有限個の長方形」 17 積分 は， 分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限 ジョルダン測度 極限は，「無限」とは違う

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「有限個の長方形」 17 積分 は， 分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限 ジョルダン測度 極限は，「無限」とは違う 有限だが，必要なだけいくらでも大きくできる

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有限個の長方形では，困る 18 幅0の直線を可算無限個抜いても， 積分の値は変わらないのか？ p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有限個の長方形では，困る 18 幅0の直線を可算無限個抜いても， 積分の値は変わらないのか？ p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 可算無限個の隙間があるところに 有限個の長方形は配置できない

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有限個の長方形では，困る 18 こういう場合でも積分や面積を考えられるようにするには 幅0の直線を可算無限個抜いても， 積分の値は変わらないのか？ p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 可算無限個の隙間があるところに 有限個の長方形は配置できない

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有限個の長方形では，困る 18 こういう場合でも積分や面積を考えられるようにするには 幅0の直線を可算無限個抜いても， 積分の値は変わらないのか？ p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 可算無限個の長方形にもとづく測度が必要 可算無限個の隙間があるところに 有限個の長方形は配置できない

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ外測度 19 Sを 重なりを許した可算無限個の長方形で覆う … 図形（集合）S

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ外測度 19 Sを 重なりを許した可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を m∗(S)

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ外測度 19 Sを 重なりを許した可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を m∗(S) m∗(∅) = 0

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ外測度 19 Sを 重なりを許した可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を m∗(S) m∗(∅) = 0 空集合の外測度は0

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ外測度 19 Sを 重なりを許した可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を m∗(S) m∗(∅) = 0 空集合の外測度は0 S ⊂ T = m∗(S) m∗(T)

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ルベーグ外測度 19 Sを 重なりを許した可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形（集合）S それらの長方形の面積の和の下限を m∗(S) m∗(∅) = 0 空集合の外測度は0 S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 包含関係と外測度の大小関係は一致

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性 20 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性 20 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については完全劣加法性 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性 20 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については完全劣加法性 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ 有界な集合の列S1, S2, …について ∞ i=1 Si が有界ならば m∗( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗(Si)

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性 20 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については完全劣加法性 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ 有界な集合の列S1, S2, …について ∞ i=1 Si が有界ならば m∗( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗(Si) 可算無限個の 和集合

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性 20 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については完全劣加法性 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ 有界な集合の列S1, S2, …について ∞ i=1 Si が有界ならば m∗( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗(Si) 可算無限個の 和集合 可算無限個の和集合の 外測度

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性 20 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については完全劣加法性 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ 有界な集合の列S1, S2, …について ∞ i=1 Si が有界ならば m∗( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗(Si) 可算無限個の 和集合 可算無限個の 外測度の和 可算無限個の和集合の 外測度

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … Siを長方形で覆う

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) Siを長方形で覆う

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) Siを長方形で覆う

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) Siを長方形で覆う

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う この覆い方は

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . この覆い方は

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i) | < m∗(Si) + ε 2i この覆い方は

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i) | < m∗(Si) + ε 2i 面積の和が この覆い方は

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i) | < m∗(Si) + ε 2i その下限 面積の和が この覆い方は

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i) | < m∗(Si) + ε 2i その下限 よりも少し大きい 面積の和が この覆い方は

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 こういう覆い方I1(i), I2(i), I3(i), …が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i) | < m∗(Si) + ε 2i その下限 よりも少し大きい 面積の和が この覆い方は

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 こういう覆い方I1(i), I2(i), I3(i), …が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i) | < m∗(Si) + ε 2i その下限 よりも少し大きい 面積の和が この覆い方は 他のSiについても同様だから

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 こういう覆い方I1(i), I2(i), I3(i), …が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i) | < m∗(Si) + ε 2i その下限 よりも少し大きい 面積の和が この覆い方は 他のSiについても同様だから ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i)

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 こういう覆い方I1(i), I2(i), I3(i), …が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i) | < m∗(Si) + ε 2i その下限 よりも少し大きい 面積の和が この覆い方は 他のSiについても同様だから ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 各Siに ついて

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 21 有界な集合の列 こういう覆い方I1(i), I2(i), I3(i), …が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) … Siを長方形で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i) | < m∗(Si) + ε 2i その下限 よりも少し大きい 面積の和が この覆い方は 他のSiについても同様だから ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 各Siに ついて I1(i), I2(i), I3(i), … で覆う

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 22 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の，可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合　と同じ

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数は可算か 23 有理数の集合は，可算基数をもつか 分母を横軸， 分子を縦軸とすると， 有理数は図の黒点（格子点） ※分母0の点は除く　※重複あり 分母 分子 0 1 2 3 1 2 3

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数は可算か 23 有理数の集合は，可算基数をもつか 分母を横軸， 分子を縦軸とすると， 有理数は図の黒点（格子点） ※分母0の点は除く　※重複あり 分母 分子 0 1 2 3 1 2 3 すべての格子点を一筆でたどれば 自然数と一対一対応がつく👉👉可算基数をもつ

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数は可算か 23 有理数の集合は，可算基数をもつか 分母を横軸， 分子を縦軸とすると， 有理数は図の黒点（格子点） ※分母0の点は除く　※重複あり 分母 分子 0 1 2 3 1 2 3 すべての格子点を一筆でたどれば 自然数と一対一対応がつく👉👉可算基数をもつ

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 24 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の，可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合　と同じ

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 24 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の，可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合　と同じ m∗( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i) | < ∞ i=1 m∗(Si) + ε 2i = ∞ i=1 m∗(Si) + ε

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 24 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の，可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合　と同じ m∗( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i) | < ∞ i=1 m∗(Si) + ε 2i = ∞ i=1 m∗(Si) + ε ∞ n=1 |In(i) | < m∗(Si) + ε 2i

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 24 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の，可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合　と同じ m∗( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i) | < ∞ i=1 m∗(Si) + ε 2i = ∞ i=1 m∗(Si) + ε ∞ n=1 |In(i) | < m∗(Si) + ε 2i

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 24 εは正の数であればいくらでも小さくできる ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の，可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合　と同じ m∗( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i) | < ∞ i=1 m∗(Si) + ε 2i = ∞ i=1 m∗(Si) + ε ∞ n=1 |In(i) | < m∗(Si) + ε 2i

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全劣加法性の証明 24 εは正の数であればいくらでも小さくできる ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の，可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合　と同じ m∗( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i) | < ∞ i=1 m∗(Si) + ε 2i = ∞ i=1 m∗(Si) + ε ∞ n=1 |In(i) | < m∗(Si) + ε 2i m∗( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗(Si)

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36 25

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36 25 ルベーグ測度と完全加法性

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測集合 26 であるとき， m∗(E) = m∗(E ∩ S) + m∗(E ∩ Sc) 集合Sが，任意の集合Eについて

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測集合 26 であるとき， m∗(E) = m∗(E ∩ S) + m∗(E ∩ Sc) 集合Sが，任意の集合Eについて Sは［ルベーグ可測］である（［可測集合］である）という

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測集合 26 であるとき， m∗(E) = m∗(E ∩ S) + m∗(E ∩ Sc) 集合Sが，任意の集合Eについて Sは［ルベーグ可測］である（［可測集合］である）という を［ルベーグ測度］（あるいは単に［測度］）という m(S) ≡ m*(S)

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測集合 26 であるとき， m∗(E) = m∗(E ∩ S) + m∗(E ∩ Sc) 集合Sが，任意の集合Eについて Sは［ルベーグ可測］である（［可測集合］である）という を［ルベーグ測度］（あるいは単に［測度］）という m(S) ≡ m*(S) Eの外測度

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測集合 26 であるとき， m∗(E) = m∗(E ∩ S) + m∗(E ∩ Sc) 集合Sが，任意の集合Eについて Sは［ルベーグ可測］である（［可測集合］である）という を［ルベーグ測度］（あるいは単に［測度］）という m(S) ≡ m*(S) Eの外測度 Eのうち Sである部分の 外測度

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 可測集合 26 であるとき， m∗(E) = m∗(E ∩ S) + m∗(E ∩ Sc) 集合Sが，任意の集合Eについて Sは［ルベーグ可測］である（［可測集合］である）という を［ルベーグ測度］（あるいは単に［測度］）という m(S) ≡ m*(S) Eの外測度 Eのうち Sである部分の 外測度 Eのうち Sでない部分の 外測度

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗(Ei)

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ 可算無限個の和集合 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗(Ei)

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ 可算無限個の和集合 測度の可算無限個の和 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗(Ei)

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ 完全加法性 可算無限個の和集合 測度の可算無限個の和 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗(Ei)

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ 完全加法性 可算無限個の和集合 測度の可算無限個の和 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗(Ei) 和集合の測度は測度の和

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ 完全加法性 可算無限個の和集合 測度の可算無限個の和 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗(Ei) 可算無限個に分けた場合でもそうなる 和集合の測度は測度の和

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 完全加法性 27 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか？ 完全加法性 可算無限個の和集合 測度の可算無限個の和 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗(Ei) 可算無限個に分けた場合でもそうなる 和集合の測度は測度の和 （証明はテキストで）

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36 28

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36 28 零集合と 「ほとんどいたるところ」💭💭

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 29 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらないのか？

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 29 この疑問に答えるために， pとqの間にある有理数全体が占める幅を考える 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらないのか？

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分に対する疑問 29 この疑問に答えるために， pとqの間にある有理数全体が占める幅を考える 可算無限個ある 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらないのか？

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 30 可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 30 可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要 有理数全体の集合が数直線上で持つ幅（測度）

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 30 可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要 有理数全体の集合が数直線上で持つ幅（測度） 有理数全体を，区間の組み合わせで覆ったときの

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 30 可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要 有理数全体の集合が数直線上で持つ幅（測度） 有理数全体を，区間の組み合わせで覆ったときの 「区間の長さの合計」の下限

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … を任意の正の数とすると ε

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … を任意の正の数とすると ε

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … a1 を任意の正の数とすると ε

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 を任意の正の数とすると ε

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 を任意の正の数とすると ε

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 を任意の正の数とすると ε …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 ε 2 を任意の正の数とすると ε …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 ε 2 ε 22 を任意の正の数とすると ε …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 ε 2 ε 22 ε 23 を任意の正の数とすると ε …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる 区間の長さの合計 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 ε 2 ε 22 ε 23 を任意の正の数とすると ε …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる 区間の長さの合計 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 ε 2 ε 22 ε 23 ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε を任意の正の数とすると ε …

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる 区間の長さの合計 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 ε 2 ε 22 ε 23 ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε を任意の正の数とすると ε … その下限は0

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数全体が占める幅 31 こういうふうに覆うことができる 区間の長さの合計 有理数 を a1 , a2 , … a1 a2 a3 ε 2 ε 22 ε 23 ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε を任意の正の数とすると ε … その下限は0 有理数全体のルベーグ測度は0

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 零集合と「ほとんどいたるところ」 32 測度が0の集合を零集合という 有理数全体のルベーグ測度は0 「測度が0の集合を除いた部分で」を （この場合，「有理数を除いた部分で」） 「ほとんどいたるところで」（a.e.）という

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 33 ルベーグ外測度 　可算無限個の長方形で図形を覆ったときの， 　長方形の面積の合計の下限 　可測集合のルベーグ外測度がルベーグ測度 零集合と「ほとんどいたるところ」 　有理数の集合のルベーグ測度は0 　測度0の集合を「零集合」という 　零集合を除いた部分を「ほとんどいたるところ」という

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 次回は 34 最初の疑問はまだ解決していない 「有理数の位置にある可算無限個の直線を 抜いた」積分は，どうやって求めるのか？ p q ジョルダン測度にもとづく積分では，可算無限個の分割はできない

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 次回は 34 最初の疑問はまだ解決していない 「有理数の位置にある可算無限個の直線を 抜いた」積分は，どうやって求めるのか？ p q ジョルダン測度にもとづく積分では，可算無限個の分割はできない ルベーグ測度にもとづくルベーグ積分を考える

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36 35

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36 35 問題について🌀🌀

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 36 ことを証明せよ 集合 について ならば 　 のすべての部分集合は可測集合であり， 　 その測度は0である S m*(S) = 0 S このことから，有理数全体の集合の測度は0なので， 有限個の数からなる集合の測度も０

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 36 ことを証明せよ 集合 について ならば 　 のすべての部分集合は可測集合であり， 　 その測度は0である S m*(S) = 0 S このことから，有理数全体の集合の測度は0なので， 有限個の数からなる集合の測度も０ 有理数の部分集合と 過不足のない一対一対応＝全単射をつくることができる

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36 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 36 ことを証明せよ 集合 について ならば 　 のすべての部分集合は可測集合であり， 　 その測度は0である S m*(S) = 0 S このことから，有理数全体の集合の測度は0なので， 有限個の数からなる集合の測度も０ 有理数の部分集合と 過不足のない一対一対応＝全単射をつくることができる （証明はテキストの解答例で）