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関西大学総合情報学部 浅野　晃 応用数学（解析） 2024年度春学期 第1部・「無限」の理解 ／ 第3回 実数とは何か

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拡張されていく「数」🤔🤔

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 拡張されていく「数」 3 1, 2, 3, … 自然数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 拡張されていく「数」 3 …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … 自然数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 拡張されていく「数」 3 …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … 自然数 整数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 拡張されていく「数」 3 …, -3, -2, -1, 0, …, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数 整数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 拡張されていく「数」 3 …, -3, -2, -1, 0, …, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数 整数 有限小数と 循環する無限小数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 拡張されていく「数」 3 …, -3, -2, -1, 0, …, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数 整数 有理数 有限小数と 循環する無限小数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 拡張されていく「数」 3 …, -3, -2, -1, 0, …, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数 整数 有理数 √2, 3√3 有限小数と 循環する無限小数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 拡張されていく「数」 3 …, -3, -2, -1, 0, …, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数 整数 有理数 √2, 3√3 π, e 有限小数と 循環する無限小数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 拡張されていく「数」 3 …, -3, -2, -1, 0, …, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数 整数 有理数 √2, 3√3 π, e 有限小数と 循環する無限小数 循環しない無限小数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 拡張されていく「数」 3 …, -3, -2, -1, 0, …, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数 整数 有理数 √2, 3√3 π, e 無理数 有限小数と 循環する無限小数 循環しない無限小数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 拡張されていく「数」 3 …, -3, -2, -1, 0, …, 2/3, 1/2, 1/3, … 1, 2, 3, … 自然数 整数 有理数 √2, 3√3 π, e 無理数 実数 有限小数と 循環する無限小数 循環しない無限小数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 拡張されていく「数」 3 …, -3, -2, -1, 0, …, 2/3, 1/2, 1/3, … 今日扱うのは「実数の連続性を示す方法」 1, 2, 3, … 自然数 整数 有理数 √2, 3√3 π, e 無理数 実数 有限小数と 循環する無限小数 循環しない無限小数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 拡張されていく「数」 3 …, -3, -2, -1, 0, …, 2/3, 1/2, 1/3, … 今日扱うのは「実数の連続性を示す方法」 1, 2, 3, … 自然数 整数 有理数 √2, 3√3 π, e 無理数 実数 有限小数と 循環する無限小数 循環しない無限小数 いくつか挙げますが，どれも等価です

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無限小数とカントールの公理🤔🤔

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 点と区間 5 「循環しない無限小数」は， 　数直線上の一つの「点」なのか？ 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 点と区間 5 「循環しない無限小数」は， 　数直線上の一つの「点」なのか？ 1 1.4

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 点と区間 5 「循環しない無限小数」は， 　数直線上の一つの「点」なのか？ 1 1.4 1.41

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 点と区間 5 「循環しない無限小数」は， 　数直線上の一つの「点」なのか？ 1 1.4 1.41 1.414

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 点と区間 5 「循環しない無限小数」は， 　数直線上の一つの「点」なのか？ 1 1.4 1.41 1.414 1.4142

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 点と区間 5 「循環しない無限小数」は， 　数直線上の一つの「点」なのか？ 1 1.4 1.41 1.414 1.4142 √2 は 「このへん」

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 点と区間 5 「循環しない無限小数」は， 　数直線上の一つの「点」なのか？ 1 1.4 1.41 1.414 1.4142 √2 は本当に「点」か？　よくわからない… √2 は 「このへん」

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 点と区間 5 「循環しない無限小数」は， 　数直線上の一つの「点」なのか？ 点ではなく［区間］で考える 1 1.4 1.41 1.414 1.4142 √2 は本当に「点」か？　よくわからない… √2 は 「このへん」

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 閉区間と開区間 6 a < b のとき，a と b の間にある数の集合→［区間］ a b 両端を含む　［閉区間］[a, b] 最小値はa，最大値はb 両端を含まない　［開区間］(a, b) 最小値・最大値が存在するかどうかは，数の種類による

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 実数は， 「入れ子」の閉区間の極限で定義する 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 実数は， 「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 実数は， 「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 2 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 実数は， 「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 2 [1, 2] 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 実数は， 「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 1.4 2 [1, 2] 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 実数は， 「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 1.4 2 1.5 [1, 2] 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 実数は， 「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 1.4 2 1.5 [1, 2] [1.4, 1.5] 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 実数は， 「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 1.4 2 1.5 1.41 [1, 2] [1.4, 1.5] 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 実数は， 「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 1.4 2 1.5 1.41 1.42 [1, 2] [1.4, 1.5] 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 実数は， 「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 1.4 2 1.5 1.41 1.42 [1, 2] [1.4, 1.5] [1.41, 1.42] 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 実数は， 「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 1.4 2 1.5 1.41 1.42 [1, 2] [1.4, 1.5] [1.41, 1.42] 1.414 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 実数は， 「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 1.4 2 1.5 1.41 1.42 [1, 2] [1.4, 1.5] [1.41, 1.42] 1.414 1.415 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 実数は， 「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 1.4 2 1.5 1.41 1.42 [1, 2] [1.4, 1.5] [1.41, 1.42] [1.414, 1.415] 1.414 1.415 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 実数は， 「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 1.4 2 1.5 1.41 1.42 [1, 2] [1.4, 1.5] [1.41, 1.42] [1.414, 1.415] ⋮ 1.414 1.415 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理 7 実数は， 「入れ子」の閉区間の極限で定義する 1 1.4 2 1.5 1.41 1.42 [1, 2] [1.4, 1.5] [1.41, 1.42] [1.414, 1.415] ⋮ その極限が，√2 = 1.4142135…であるとする 1.414 1.415 循環しない無限小数 √2 = 1.4142135… 無限に桁数を増やすと，ひとつの実数を表せるのか？

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実数とデデキントの切断✂

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 デデキントの切断 9 数直線をある場所で切断し， 数の集合を「大きい方」と「小さい方」に分ける 切断 （ある集合の）すべての数を， 「大きい方」 「小さい方」 一方の組のどの数も もう一方の組のどの数よりも小さくなるように， ２つの組に分ける

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 整数の切断 10 整数の場合 1 「大きい方」 「小さい方」 ０

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 整数の切断 10 整数の場合 1 「大きい方」 「小さい方」 ０ 跳び(leap)ができる

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 整数の切断 10 整数の場合 1 「大きい方」 「小さい方」 ０ 跳び(leap)ができる 最大値がある

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 整数の切断 10 整数の場合 1 「大きい方」 「小さい方」 ０ 跳び(leap)ができる 最小値がある 最大値がある

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数の切断 11 有理数の場合 1（有理数） 「大きい方」 「小さい方」 1 「大きい方」 「小さい方」

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数の切断 11 有理数の場合 1（有理数） 「大きい方」 「小さい方」 最小値がある 1 「大きい方」 「小さい方」

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数の切断 11 有理数の場合 1（有理数） 「大きい方」 「小さい方」 最小値がある 「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する 1 「大きい方」 「小さい方」

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数の切断 11 有理数の場合 1（有理数） 「大きい方」 「小さい方」 途切れ(gap)ができる 最小値がある 「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する 1 「大きい方」 「小さい方」

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数の切断 11 有理数の場合 1（有理数） 「大きい方」 「小さい方」 途切れ(gap)ができる 最小値がある 「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する 1 「大きい方」 「小さい方」 最大値がある

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数の切断 11 有理数の場合 1（有理数） 「大きい方」 「小さい方」 途切れ(gap)ができる 最小値がある 「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する 1 「大きい方」 「小さい方」 最大値がある 「大きい方」の最小値がない 1よりも大きく 1にいくらでも近い有理数が存在する

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数の切断 11 有理数の場合 1（有理数） 「大きい方」 「小さい方」 途切れ(gap)ができる 最小値がある 「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する 1 「大きい方」 「小さい方」 途切れができる 最大値がある 「大きい方」の最小値がない 1よりも大きく 1にいくらでも近い有理数が存在する

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数の切断 11 有理数の場合 1（有理数） 「大きい方」 「小さい方」 途切れ(gap)ができる 最小値がある 「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する ［稠密性］ 1 「大きい方」 「小さい方」 途切れができる 最大値がある 「大きい方」の最小値がない 1よりも大きく 1にいくらでも近い有理数が存在する

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数の切断 12 有理数の場合こういう場合もある √2（無理数） 「大きい方」 「小さい方」

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数の切断 12 有理数の場合こういう場合もある √2（無理数） 「大きい方」 「小さい方」 途切れができるが

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数の切断 12 有理数の場合こういう場合もある √2（無理数） 「大きい方」 「小さい方」 途切れができるが 最大値がない

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数の切断 12 有理数の場合こういう場合もある √2（無理数） 「大きい方」 「小さい方」 途切れができるが 最小値がない 最大値がない

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数の切断 12 有理数の場合こういう場合もある √2（無理数） 「大きい方」 「小さい方」 途切れができるが 最小値がない 最大値がない √2よりも小さく √2にいくらでも近い有理数も √2よりも大きく √2にいくらでも近い有理数も

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数の切断 12 有理数の場合こういう場合もある √2（無理数） 「大きい方」 「小さい方」 途切れができるが 最小値がない 最大値がない √2よりも小さく √2にいくらでも近い有理数も √2よりも大きく √2にいくらでも近い有理数も どちらも存在する

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有理数の切断 12 有理数の場合こういう場合もある √2（無理数） 「大きい方」 「小さい方」 途切れができるが 最小値がない 最大値がない √2よりも小さく √2にいくらでも近い有理数も √2よりも大きく √2にいくらでも近い有理数も どちらも存在する 「稠密」とは， いくらでも細かく「びっしり」と 毛の植わっているブラシのようなもの

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の切断 13 実数は，必ず下のどちらかになる 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最小値がある 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最大値がある 最大値がない 最小値がない

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の切断 13 実数は，必ず下のどちらかになる ある実数a 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最小値がある 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最大値がある 最大値がない 最小値がない

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の切断 13 実数は，必ず下のどちらかになる ある実数a 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最小値がある 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最大値がある 最大値がない 最小値がない aより小さい数（aを含まない）

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の切断 13 実数は，必ず下のどちらかになる ある実数a 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最小値がある ある実数a 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最大値がある 最大値がない 最小値がない aより小さい数（aを含まない）

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の切断 13 実数は，必ず下のどちらかになる ある実数a 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最小値がある ある実数a 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最大値がある 最大値がない 最小値がない aより小さい数（aを含まない） aより大きい数（aを含まない）

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の切断 13 実数は，必ず下のどちらかになる ある実数a 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最小値がある 稠密な上に［連続性］ ある実数a 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最大値がある 最大値がない 最小値がない aより小さい数（aを含まない） aより大きい数（aを含まない）

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の切断 13 実数は，必ず下のどちらかになる ある実数a 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最小値がある 稠密な上に［連続性］ ある実数a 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最大値がある 最大値がない 最小値がない 実数とは，「切断の切り口」である aより小さい数（aを含まない） aより大きい数（aを含まない）

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の切断 13 実数は，必ず下のどちらかになる ある実数a 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最小値がある 稠密な上に［連続性］ ある実数a 「大きい方」 「小さい方」 切り口ができる 最大値がある 最大値がない 最小値がない 実数とは，「切断の切り口」である aより小さい数（aを含まない） aより大きい数（aを含まない） 「連続」とは，「べったり」と塗り付けられた塗料のようなもの

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上限と下限 ワイエルシュトラスの定理🤔🤔

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］ M

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］ M M

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］ M M このへんのM ［上界］

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］ M M このへんのM ［上界］ M

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］ M M このへんのM ［上界］ M

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］ M M このへんのM ［上界］ 最小の上界 ［上限(supremum, sup)］ M

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］ ここに達する↑ ことはない ［下に有界］ M M このへんのM ［上界］ 最小の上界 ［上限(supremum, sup)］ M

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］ ここに達する↑ ことはない ［下に有界］ M M このへんのM ［上界］ N 最小の上界 ［上限(supremum, sup)］ M

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］ ここに達する↑ ことはない ［下に有界］ M M このへんのM ［上界］ N N 最小の上界 ［上限(supremum, sup)］ M

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］ ここに達する↑ ことはない ［下に有界］ M M このへんのM ［上界］ N N N 最小の上界 ［上限(supremum, sup)］ M

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］ ここに達する↑ ことはない ［下に有界］ M M このへんのM ［上界］ N N N このへんのN ［下界］ 最小の上界 ［上限(supremum, sup)］ M

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］ ここに達する↑ ことはない ［下に有界］ M M このへんのM ［上界］ N N N このへんのN ［下界］ 最小の上界 ［上限(supremum, sup)］ N M

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］ ここに達する↑ ことはない ［下に有界］ M M このへんのM ［上界］ N N N このへんのN ［下界］ 最小の上界 ［上限(supremum, sup)］ N M

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 有界，上界・下界，上限・下限 15 M 開区間には最大値も最小値もないが， 上にも下にも限界はある この区間は ↑ここに達する 　 ことはない ［上に有界］ ここに達する↑ ことはない ［下に有界］ M M このへんのM ［上界］ N N N このへんのN ［下界］ 最小の上界 ［上限(supremum, sup)］ 最大の下界 ［下限(inÓmum, inf)］ N M

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理 16 実数からなる集合が下（上）に有界ならば 必ず下限（上限）が存在する

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理 16 実数からなる集合が下（上）に有界ならば 必ず下限（上限）が存在する デデキントの切断から導ける

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理 16 実数からなる集合が下（上）に有界ならば 必ず下限（上限）が存在する デデキントの切断から導ける 実数からなるある集合Sが，下に有界とすると，

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理 16 実数からなる集合が下（上）に有界ならば 必ず下限（上限）が存在する デデキントの切断から導ける 実数からなるある集合Sが，下に有界とすると， Sの下界でない数 Sの下界である数 ある実数s

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理 16 実数からなる集合が下（上）に有界ならば 必ず下限（上限）が存在する デデキントの切断から導ける 実数からなるある集合Sが，下に有界とすると， ある実数s Sの下界でない数 Sの下界である数 Sの下界でない数 Sの下界である数 ある実数s

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理 16 実数からなる集合が下（上）に有界ならば 必ず下限（上限）が存在する デデキントの切断から導ける 実数からなるある集合Sが，下に有界とすると， ある実数s Sの下界でない数 Sの下界である数 Sの下界でない数 Sの下界である数 ある実数s どちらかの切断を形成し，実数sが定まる。 下の切断なら，下限（最大の下界）が存在する。上の切断にならないことを示す

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理 17 こちらの切断だとすると Sの下界でない数 Sの下界である数 ある実数s

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理 17 こちらの切断だとすると Sの下界でない数 Sの下界である数 ある実数s Sの下界でない数のうちの最小の数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイエルシュトラスの定理 17 こちらの切断だとすると Sの下界でない数 Sの下界である数 ある実数s 実数 s は，集合Sの下界でない数だから，集合Sを見ると Sの下界でない数のうちの最小の数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 s 集合S （下界でない） ワイエルシュトラスの定理 17 こちらの切断だとすると Sの下界でない数 Sの下界である数 ある実数s 実数 s は，集合Sの下界でない数だから，集合Sを見ると Sの下界でない数のうちの最小の数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 s 集合S （下界でない） ワイエルシュトラスの定理 17 こちらの切断だとすると Sの下界でない数 Sの下界である数 ある実数s 実数 s は，集合Sの下界でない数だから，集合Sを見ると Sの下界でない数のうちの最小の数 t s より小さな数 t が，集合Sに属しているはず

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 s 集合S （下界でない） ワイエルシュトラスの定理 17 こちらの切断だとすると Sの下界でない数 Sの下界である数 ある実数s 実数 s は，集合Sの下界でない数だから，集合Sを見ると Sの下界でない数のうちの最小の数 t u s と t の間にある数 u も，集合Sに属しているはず s より小さな数 t が，集合Sに属しているはず

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 s 集合S （下界でない） ワイエルシュトラスの定理 17 こちらの切断だとすると Sの下界でない数 Sの下界である数 ある実数s 実数 s は，集合Sの下界でない数だから，集合Sを見ると Sの下界でない数のうちの最小の数 t u s と t の間にある数 u も，集合Sに属しているはず s より小さな数 t が，集合Sに属しているはず u は t より大きいから，u は「集合Sの下界ではない数」である

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 s 集合S （下界でない） ワイエルシュトラスの定理 17 こちらの切断だとすると Sの下界でない数 Sの下界である数 ある実数s 実数 s は，集合Sの下界でない数だから，集合Sを見ると Sの下界でない数のうちの最小の数 t u s と t の間にある数 u も，集合Sに属しているはず s より小さな数 t が，集合Sに属しているはず u は t より大きいから，u は「集合Sの下界ではない数」である s は u より大きい。

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 s 集合S （下界でない） ワイエルシュトラスの定理 17 こちらの切断だとすると Sの下界でない数 Sの下界である数 ある実数s 実数 s は，集合Sの下界でない数だから，集合Sを見ると Sの下界でない数のうちの最小の数 t u s と t の間にある数 u も，集合Sに属しているはず s より小さな数 t が，集合Sに属しているはず u は t より大きいから，u は「集合Sの下界ではない数」である s は u より大きい。 これは，「s は 集合Sの下界ではない数のうちで最小」に矛盾　つまり，「こちらの切断ではない」

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実数を定義する 各公理・定理間の関係🤔🤔

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を， それぞれ ai+1, bi+1 とする

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を， それぞれ ai+1, bi+1 とする

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を， それぞれ ai+1, bi+1 とする

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を， それぞれ ai+1, bi+1 とする

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 a2 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を， それぞれ ai+1, bi+1 とする

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を， それぞれ ai+1, bi+1 とする

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を， それぞれ ai+1, bi+1 とする

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を， それぞれ ai+1, bi+1 とする

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を， それぞれ ai+1, bi+1 とする

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を， それぞれ ai+1, bi+1 とする ⋮

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を， それぞれ ai+1, bi+1 とする ⋮ [ai, bi]の極限は，カントールの公理に より，１つの実数 s を定める

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 19 カントールの公理によって定まる実数は， デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか？ 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ai, biの中点と， ai, biのうち中点と違う側にある点を， それぞれ ai+1, bi+1 とする ⋮ [ai, bi]の極限は，カントールの公理に より，１つの実数 s を定める この s は，デデキントの切断による「切り口」にあるか？

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても s t ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても 区間[ai, bi]がs に到達する途中で 区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず s t ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても 区間[ai, bi]がs に到達する途中で 区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず [ai, bi] s t ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても 区間[ai, bi]がs に到達する途中で 区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず [ai, bi] s t [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても 区間[ai, bi]がs に到達する途中で 区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず [ai, bi] s t [ai, bi] [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても 区間[ai, bi]がs に到達する途中で 区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず [ai, bi] s t [ai,bi] [ai, bi] [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても 区間[ai, bi]がs に到達する途中で 区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず [ai, bi] s t [ai,bi] [ai, bi] [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても 区間[ai, bi]がs に到達する途中で 区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず [ai, bi] s t [ai,bi] [ai, bi] [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても 区間[ai, bi]がs に到達する途中で 区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず t は「大きい方」に属する [ai, bi] s t [ai,bi] [ai, bi] [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても 区間[ai, bi]がs に到達する途中で 区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず s は「小さい方」の最大値である t は「大きい方」に属する [ai, bi] s t [ai,bi] [ai, bi] [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても 区間[ai, bi]がs に到達する途中で 区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず s は「小さい方」の最大値である t は「大きい方」に属する [ai, bi] s t [ai,bi] [ai, bi] [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても 区間[ai, bi]がs に到達する途中で 区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず s は「小さい方」の最大値である t は「大きい方」に属する [ai, bi] s t [ai,bi] [ai, bi] [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る 「大きい方」に最小値はない

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 カントールの公理とデデキントの切断 20 「大きい方」 「小さい方」 切断 a0 b0 a1 b1 b2 a2 a3 b3 ⋮ [ai, bi]の極限＝実数 s 実数 s が「小さい方」に属するとする s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても 区間[ai, bi]がs に到達する途中で 区間の右端（「大きい方」）が s と t の間に入るときがあるはず s は「小さい方」の最大値である t は「大きい方」に属する [ai, bi] s t [ai,bi] [ai, bi] [ai, bi] ai は「小さい方」 bi は「大きい方」　に入る 「大きい方」に最小値はない → s は切断の切り口で，「小さい方」にある

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の連続性を示すさまざまな公理 21 カントールの公理　実数は入れ子の閉区間の極限 ワイエルシュトラスの定理 　　実数の集合が有界ならば，上限か下限がある デデキントの切断による公理　　実数は切断の「切り口」 いずれも同値である

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数の連続性を示すさまざまな公理 21 カントールの公理　実数は入れ子の閉区間の極限 ワイエルシュトラスの定理 　　実数の集合が有界ならば，上限か下限がある デデキントの切断による公理　　実数は切断の「切り口」 実数の有界な単調数列は収束する　　（これは次回） いずれも同値である

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連続性裁判 〜こんな数学，何か役に立つの？〜🤔🤔

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続性裁判 23 映画の著作権 1953年公開の映画の著作権は 50年後の2003年末で消滅？ 公開から50年後の年の年末まで有効 →2004年1月1日から「70年」に延長

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続性裁判 24 1953年公開の映画の著作権は

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続性裁判 24 1953年公開の映画の著作権は ビデオ業者の 言い分

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続性裁判 24 1953年公開の映画の著作権は 2004年 2003年 12月31日24時 ビデオ業者の 言い分

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続性裁判 24 1953年公開の映画の著作権は 2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので 2004年 2003年 12月31日24時 ビデオ業者の 言い分

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続性裁判 24 1953年公開の映画の著作権は 2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので 2004年 2003年 12月31日24時 2004年1月1日からの 新法は適用されない ビデオ業者の 言い分

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続性裁判 24 1953年公開の映画の著作権は 2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので 2004年 2003年 12月31日24時 2004年1月1日からの 新法は適用されない ビデオ業者の 言い分 文化庁の 言い分

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続性裁判 24 1953年公開の映画の著作権は 2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので 2004年 2003年 12月31日24時 2004年1月1日からの 新法は適用されない ビデオ業者の 言い分 2004年 2003年 12月31日24時＝1月1日0時 文化庁の 言い分

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続性裁判 24 1953年公開の映画の著作権は 2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので 2004年 2003年 12月31日24時 2004年1月1日からの 新法は適用されない ビデオ業者の 言い分 2003年12月31日24時と 2004年1月1日0時は 同じ時刻だから 2004年 2003年 12月31日24時＝1月1日0時 文化庁の 言い分

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 連続性裁判 24 1953年公開の映画の著作権は 2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので 2004年 2003年 12月31日24時 2004年1月1日からの 新法は適用されない ビデオ業者の 言い分 2003年12月31日24時と 2004年1月1日0時は 同じ時刻だから 2004年 2003年 12月31日24時＝1月1日0時 2004年1月1日からの 新法が適用され， 著作権はあと20年有効 文化庁の 言い分

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 裁判の結果は 25

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 裁判の結果は 25 「2003年12月31日24時」と「2004年1月1日0時」の 　2つの名前が同じ時刻をさすことはない 2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので 2004年 2003年 12月31日24時 2004年1月1日からの 新法は適用されない ビデオ業者の 言い分 こちらが認められた。

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 裁判の結果は 25 「2003年12月31日24時」と「2004年1月1日0時」の 　2つの名前が同じ時刻をさすことはない 2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので 2004年 2003年 12月31日24時 2004年1月1日からの 新法は適用されない ビデオ業者の 言い分 こちらが認められた。 「時の流れは連続」

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問題🌀🌀

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の解説 27 有理数 の間には有理数しかないと仮定する🤔🤔 a, b 相異なる２つの有理数の間には必ず無理数があること を証明してください。 を無理数とすると， は有理数なので， も無理数 m a, b m − a b − a となる 整数 が存在する n − 1 < m − a b − a < n n

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の解説 27 有理数 の間には有理数しかないと仮定する🤔🤔 a, b 相異なる２つの有理数の間には必ず無理数があること を証明してください。 を無理数とすると， は有理数なので， も無理数 m a, b m − a b − a となる 整数 が存在する n − 1 < m − a b − a < n n （ の整数部分が ） m − a b − a n − 1

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の解説 28 となる 整数 が存在する n − 1 < m − a b − a < n n

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の解説 28 a < m − (n − 1)(b − a) となる 整数 が存在する n − 1 < m − a b − a < n n

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の解説 28 a < m − (n − 1)(b − a) となる 整数 が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a)

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の解説 28 a < m − (n − 1)(b − a) となる 整数 が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の解説 28 a < m − (n − 1)(b − a) となる 整数 が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b a < m − (n − 1)(b − a) < b

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の解説 28 a < m − (n − 1)(b − a) となる 整数 が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b a < m − (n − 1)(b − a) < b 無

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の解説 28 a < m − (n − 1)(b − a) となる 整数 が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b a < m − (n − 1)(b − a) < b 無 整

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の解説 28 a < m − (n − 1)(b − a) となる 整数 が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b a < m − (n − 1)(b − a) < b 無 整 有

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の解説 28 a < m − (n − 1)(b − a) となる 整数 が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b a < m − (n − 1)(b − a) < b 無 整 有 有

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の解説 28 a < m − (n − 1)(b − a) となる 整数 が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b a < m − (n − 1)(b − a) < b 無 整 有 有 無理数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題の解説 28 a < m − (n − 1)(b − a) となる 整数 が存在する n − 1 < m − a b − a < n n m − a < n(b − a) m + (n − 1)a < nb m + (n − 1)a − (n − 1)b < b m − (n − 1)(b − a) < b a < m − (n − 1)(b − a) < b 有理数 の間には有理数しかない という仮定に矛盾する🌀🌀 a, b 無 整 有 有 無理数

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29 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 29 実数の連続性を示す方法 実数の「連続性」 カントールの公理 デデキントの切断による公理 ワイエルシュトラスの定理