0 2つの曲線を⽐較する⽅法ってあるの？ 〜フレシェ距離を試してみた〜 2024-07-19 第99回NearMe技術勉強会 Kaito Asahi

1 こんなお悩みはありませんか？

2 任意の2つの曲線同士がどのくらい似ているのか 定量的に確認したいです！

3 任意の2つの曲線同士がどのくらい似ているのか 定量的に確認したいです！ 2つの経路がどのくらい似ているのか知りたくて ...

4 任意の2つの曲線同士がどのくらい似ているのか 定量的に確認したいです！ 2つの経路がどのくらい似ているのか知りたくて ... そんなあなたに朗報？です！！

5 任意の2つの曲線同士がどのくらい似ているのか 定量的に確認したいです！ 2つの経路がどのくらい似ているのか知りたくて ... そんなあなたに朗報？です！！ フレシェ距離が役に立つかもです ...

6 この2つの曲線は似ていますか...?

7 この2つの曲線は似ていますか...? まあ似ていない...

8 この2つの曲線は似ていますか...?

9 この2つの曲線は似ていますか...? 似ているかも！！

10 この2つの曲線は似ていますか...? 似ているかも！！ なぜ似ていると思ったのか？

11 集合同⼠を⽐べる⽅法のうちの1つ ● ハウスドルフ距離（Hausdorff distance） ○ ある2つの集合A, B（距離空間の部分空間）の隔たり（距離のようなもの）を測る もの ○ 最⼤でこのくらい進んだらもう⽚⽅の集合のどれかの要素には到達できるみたいな 感じ これだと... → 要素同⼠での⽐較となり、線分のような連続かつ順序があるものを考慮できない...

12 集合同⼠を⽐べる⽅法のうちの1つ ● ハウスドルフ距離（Hausdorff distance） ○ ある2つの集合A, B（距離空間の部分空間）の隔たり（距離のようなもの）を測る もの ○ 最⼤でこのくらい進んだらもう⽚⽅の集合のどれかの要素には到達できるみたいな 感じ これだと... → 要素同⼠での⽐較となり、線分のような連続かつ順序があるものを考慮できない... そこで...

13 形状までを⽐較するための距離（フレシェ距離） ● フレシェ距離 ○ ある2つの線分列P, Qで作られる曲線の形状を⽐較するときに使えるもの（fは連続 で単調増加）

14 形状までを⽐較するための距離（フレシェ距離） ● フレシェ距離 ○ ある2つの線分列P, Qで作られる曲線の形状を⽐較するときに使えるもの（fは連続 で単調増加） 深掘りします

15 形状までを⽐較するための距離（フレシェ距離） ● フレシェ距離のイメージ ○ よくある例として、ペットと飼い主が散歩しているときの様⼦

16 形状までを⽐較するための距離（フレシェ距離） ● フレシェ距離のイメージ ○ よくある例として、ペットと飼い主が散歩しているときの様⼦ ○ 必要最低限のリードの⻑さがフレシェ距離に当たる（最も小さい最大距離） 速すぎだよ ペットに過信はできないので、リードの 長さには余裕があった方がよさそう

17 形状までを⽐較するための距離（フレシェ距離） ● フレシェ距離のイメージ ○ よくある例として、⽝と飼い主が散歩しているときの様⼦ ○ 必要なリードの最⼩の⻑さがフレシェ距離に当たる（最も小さい最大距離）

18 形状までを⽐較するための距離（フレシェ距離） ● フレシェ距離のイメージ ○ よくある例として、⽝と飼い主が散歩しているときの様⼦ ○ 必要なリードの最⼩の⻑さがフレシェ距離に当たる（最も小さい最大距離） 最大でどのくらい離れる のかを計算

19 形状までを⽐較するための距離（フレシェ距離） ● フレシェ距離のイメージ ○ よくある例として、⽝と飼い主が散歩しているときの様⼦ ○ 必要なリードの最⼩の⻑さがフレシェ距離に当たる（最も小さい最大距離） 最大でどのくらい離れる のかを計算 どのくらいの長さのリードが必 要かの最低限を計算

20 フレシェ距離の計算

21 フレシェ距離の計算 最大でどのくらい離れる のかを計算 どのくらいの長さのリードが必 要かの最低限を計算 ある程度近い距離の部分だけで 計算したいな ...

22 ● ⾃由ダイアグラム（free-space diagram） ○ 閾値 ε （正の値）を定めておき、線分間の距離が ε 以下である点対を探す フレシェ距離の計算

23 ● ⾃由ダイアグラム（free-space diagram） ○ 閾値 ε （正の値）を定めておき、線分間の距離が ε 以下である点対を探す ● Reachable space ○ free-spaceの中でもダイアグラムの(0, 0)から終端まで単調パスが到達可能な領域 ○ 孤⽴している領域などは除外される フレシェ距離の計算

24 ● ⾃由ダイアグラム（free-space diagram） ○ 閾値 ε （正の値）を定めておき、線分間の距離が ε 以下である点対を探す ● Reachable space ○ free-spaceの中でもダイアグラムの(0, 0)から終端まで単調パスが到達可能な領域 ○ 孤⽴している領域などは除外される ● Monotone curve ○ Reachable space内で単調に引くことのできるパス フレシェ距離の計算

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26 ● ⾃由ダイアグラム、Reachable space、Monotone curveのイメージ フレシェ距離の計算

27 ● ⾃由ダイアグラム、Reachable space、Monotone curveのイメージ フレシェ距離の計算 孤立 孤立

28 ● ⾃由ダイアグラム、Reachable space、Monotone curveのイメージ フレシェ距離の計算

29 ● ⾃由ダイアグラム、Reachable space、Monotone curveのイメージ フレシェ距離の計算 時を逆行せずに 最後まで進めた

30 ● 以下のリンク先にnotebookを⽤意しました ○ https://colab.research.google.com/drive/1LYYE605QMyOrNyT2d75CU5wsQiUBs6I Y?usp=sharing ● 内容 ○ free-spaceの作成と可視化 ○ reachable-spaceの作成と可視化 ○ monotone curveの作成と可視化 ○ フレシェ距離の計算 ● 以下の論⽂を参考に作成しました ○ https://arxiv.org/abs/1901.01504 フレシェ距離の計算をやってみよう

31 ● free-space作成： アルゴリズムの詳細 def calculate_free_space(curve1, curve2, epsilon): m, n = len(curve1), len(curve2) free_space = np.zeros((m, n)) for i in range(m): for j in range(n): if i == 0 and j == 0: free_space[i, j] = euclidean_distance(curve1[i], curve2[j]) <= epsilon elif i == 0: free_space[i, j] = point_to_segment_distance(curve1[i], curve2[j-1], curve2[j]) <= epsilon elif j == 0: free_space[i, j] = point_to_segment_distance(curve2[j], curve1[i-1], curve1[i]) <= epsilon else: dist1 = point_to_segment_distance(curve1[i], curve2[j-1], curve2[j]) dist2 = point_to_segment_distance(curve2[j], curve1[i-1], curve1[i]) free_space[i, j] = min(dist1, dist2) <= epsilon return free_space

32 ● free-space作成： def calculate_free_space(curve1, curve2, epsilon): m, n = len(curve1), len(curve2) free_space = np.zeros((m, n)) for i in range(m): for j in range(n): if i == 0 and j == 0: free_space[i, j] = euclidean_distance(curve1[i], curve2[j]) <= epsilon elif i == 0: free_space[i, j] = point_to_segment_distance(curve1[i], curve2[j-1], curve2[j]) <= epsilon elif j == 0: free_space[i, j] = point_to_segment_distance(curve2[j], curve1[i-1], curve1[i]) <= epsilon else: dist1 = point_to_segment_distance(curve1[i], curve2[j-1], curve2[j]) dist2 = point_to_segment_distance(curve2[j], curve1[i-1], curve1[i]) free_space[i, j] = min(dist1, dist2) <= epsilon return free_space アルゴリズムの詳細 線分間の距離が ε以下であ るものを絞り込める

33 ● reachable-space作成： アルゴリズムの詳細 def calculate_reachable_space(free_space): m, n = free_space.shape reachable = np.zeros((m, n)) reachable[0, 0] = free_space[0, 0] for i in range(1, m): reachable[i, 0] = reachable[i-1, 0] and free_space[i, 0] for j in range(1, n): reachable[0, j] = reachable[0, j-1] and free_space[0, j] for i in range(1, m): for j in range(1, n): reachable[i, j] = free_space[i, j] and (reachable[i-1, j] or reachable[i, j-1] or reachable[i-1, j-1]) return reachable

34 ● reachable-space作成： def calculate_reachable_space(free_space): m, n = free_space.shape reachable = np.zeros((m, n)) reachable[0, 0] = free_space[0, 0] for i in range(1, m): reachable[i, 0] = reachable[i-1, 0] and free_space[i, 0] for j in range(1, n): reachable[0, j] = reachable[0, j-1] and free_space[0, j] for i in range(1, m): for j in range(1, n): reachable[i, j] = free_space[i, j] and (reachable[i-1, j] or reachable[i, j-1] or reachable[i-1, j-1]) return reachable アルゴリズムの詳細 単調増加するパスが描けるかを判定

35 ● monotone curve作成： （判定⾃体は定数時間） アルゴリズムの詳細 def find_monotone_path(reachable): m, n = reachable.shape if not reachable[-1, -1]: return None path = [(m-1, n-1)] i, j = m-1, n-1 while i > 0 or j > 0: if i > 0 and reachable[i-1, j]: i -= 1 elif j > 0 and reachable[i, j-1]: j -= 1 else: i -= 1 j -= 1 path.append((i, j)) return path[::-1]

36 ● monotone curve作成： （判定⾃体は定数時間） アルゴリズムの詳細 ● 探索している部分が reachableであれば、 pathを 追加する def find_monotone_path(reachable): m, n = reachable.shape if not reachable[-1, -1]: return None path = [(m-1, n-1)] i, j = m-1, n-1 while i > 0 or j > 0: if i > 0 and reachable[i-1, j]: i -= 1 elif j > 0 and reachable[i, j-1]: j -= 1 else: i -= 1 j -= 1 path.append((i, j)) return path[::-1]

37 ● フレシェ距離の計算： アルゴリズムの詳細 def calculate_frechet_distance(curve1, curve2, epsilon_min=0, epsilon_max=None, tolerance=1e-6): if epsilon_max is None: epsilon_max = max( max(euclidean_distance(p1, p2) for p1 in curve1 for p2 in curve2), max(point_to_segment_distance(p, curve1[i], curve1[i+1]) for i in range(len(curve1)-1) for p in curve2), max(point_to_segment_distance(p, curve2[i], curve2[i+1]) for i in range(len(curve2)-1) for p in curve1) ) final_path = None while epsilon_max - epsilon_min > tolerance: epsilon = (epsilon_min + epsilon_max) / 2 free_space = calculate_free_space(curve1, curve2, epsilon) reachable = calculate_reachable_space(free_space) path = find_monotone_path(reachable) if path is not None: epsilon_max = epsilon final_path = path else: epsilon_min = epsilon return epsilon_max, final_path

38 ● フレシェ距離の計算： アルゴリズムの詳細 ● pathが存在する ○ もっと下があるはず ○ epsilonの最大値を小さくする ● pathが存在しない ○ これ以下には存在しない ○ epsilonの最大値を小さくする 二分探索でフレシェ距離を計算する def calculate_frechet_distance(curve1, curve2, epsilon_min=0, epsilon_max=None, tolerance=1e-6): if epsilon_max is None: epsilon_max = max( max(euclidean_distance(p1, p2) for p1 in curve1 for p2 in curve2), max(point_to_segment_distance(p, curve1[i], curve1[i+1]) for i in range(len(curve1)-1) for p in curve2), max(point_to_segment_distance(p, curve2[i], curve2[i+1]) for i in range(len(curve2)-1) for p in curve1) ) final_path = None while epsilon_max - epsilon_min > tolerance: epsilon = (epsilon_min + epsilon_max) / 2 free_space = calculate_free_space(curve1, curve2, epsilon) reachable = calculate_reachable_space(free_space) path = find_monotone_path(reachable) if path is not None: epsilon_max = epsilon final_path = path else: epsilon_min = epsilon return epsilon_max, final_path

39 ● Fréchet距離の計算アルゴリズム ○ https://qiita.com/takilog/items/9dba1db42fe6f75587df ● Walking the Dog Fast in Practice: Algorithm Engineering of the Fréchet Distance ○ https://arxiv.org/abs/1901.01504 ● Computing Discrete Fréchet Distance ○ http://www.kr.tuwien.ac.at/staff/eiter/et-archive/cdtr9464.pdf 参考⽂献

40 Thank you