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二項分布の期待値
離散確率変数𝑋のとりうる値を𝑥1
, 𝑥2
, … , 𝑥𝑛
とする.また, その確率関数を𝑝(𝑥𝑖
)とすると, 𝑋の期待値は
𝐸 𝑋 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑝 𝑥𝑖
と定義される.𝑋 ~ 𝐵 𝑛, 𝑝 のとき
𝐸 𝑋 =
𝑥=1
𝑛
𝑥 ×
𝑛
𝑥
𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
=
𝑥=1
𝑛
𝑥 ×
𝑛!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
=
𝑥=1
𝑛 𝑛!
𝑥 − 1 ! 𝑛 − 𝑥 !
𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
=
𝑧=0
𝑛−1 𝑛!
𝑧! 𝑛 − 1 − 𝑧 !
𝑝𝑧+1 1 − 𝑝 𝑛−1−𝑧
= 𝑛𝑝
𝑧=0
𝑛−1 𝑛 − 1 !
𝑧! 𝑛 − 1 − 𝑧 !
𝑝𝑧 1 − 𝑝 𝑛−1−𝑧
= 𝑛𝑝
𝑧=0
𝑛−1 𝑛 − 1
𝑧
𝑝𝑧 1 − 𝑝 𝑛−1−𝑧
= 𝑛𝑝 ∵ 確率関数の合計は1