Google検索システムにおける PageRank手法(1) M2 Jun HASHIMOTO 1

参考文献について • Google PageRankの数理 – 共立出版，¥4725 • 今日は第１～５章の内容の 説明です 2

Agenda • Webの情報検索の特徴・構成 • 検索ランキングの生成法 – 内容得点について（ざっくり） – 人気得点について（じっくり） • PageRankの起源 • PageRankベクトルの確率的調整 • PageRankモデルのパラメータ 3

Webの情報検索 • 巨大 – 2008年7月時点で１兆ページを超える • 動的 – “.com”ページの23％は毎日更新 • 自己組織化 – データはつかの間．更新，リンクの破壊，ページ の消失 • ハイパーリンク付き – リンク構造から得られる情報を検索に役立てる 4

Query-dependent Query-independent 検索エンジンの要素 WWW Crawler Module Page Repository Indexing Module Index User Query Module Ranking Module Input Query Output Result Structure Index Content Index Special-purpose Index クエリー独立：検索語と無関係 クエリー従属：検索語に依存 collect stock extract compress 5

インデックス(Index) • 構造インデックス(Structure Index) – ページ間のリンク情報 • 内容インデックス(Content Index) – WebのKeyword,Subject,Key Sentenceを蓄積 • 特殊用途インデックス(Special-purpose Index) – 画像・pdfファイル等の特別なQuery処理に利用 Index Structure Index Content Index Special-purpose Index 6

内容インデックス(Content Index) • 内容インデックス – タイトル – メタタグの記述文 • Ex: – アンカーテキスト(太字，大きなフォント，リンク) • これらの内容を転置ファイル(inverted file)へ格納 ・Word1(aardvark) - 3,117,3961 … ・Word10(aztec) - 3,15,19,101,673,1199 ・Word11(baby) - 3,31,56,94,673,909,11114,253791 … ・Word m(zymurgy) - 1159223 Page No. 7

さて 8

ざっくり言うと 検索ランキング(Query Ranking)＝ 内容得点(Content score) ＋ 人気得点(Popularity score) 9

内容得点(Content score) • 転置ファイルを以下のような3次元ベクトルで 表現 ・Word10(aztec) - 3[1,1,27],94[1,0,7],673[0,0,3] ・Word11(baby) - 3[1,1,10],94[0,0,5],673[1,1,14] タイトルタグに現れた(1 or 0) metaタグに現れた(1 or 0) 本文中に現れた回数 aztec baby [Content score] Page3=(1+1+27)*(1+1+10)=348 Page94=(1+0+7)*(0+0+5)=40 Page673=(0+0+3)*(1+1+14)=48 1st 3rd 2nd ※内容得点は検索語に依存->クエリー依存(Query dependent) 10

人気得点(Popularity score) • 大きく分けて２つのやり方がある – PageRank[Google] • ハイパーリンクはリンク先への“推薦” – HITS(Hypertext Induced Topic Search)[Ask.com etc] • 入リンク，出リンク共に考える • 今日はPageRankについて紹介 11

PageRankの起源 • ブリンとページにより発明 • ページ のPageRank：( ) – = () || ∈ -(1)[総和方程式] • : を指すページの集合 • :ページ からの出リンクの個数 • 問題点：( )が未知 – 初期値を一様(1/n)とし，反復法を利用して算出 – +1 = () || ∈ -(2) 12

反復法の例 • 初期値1/6,反復法を利用 • +1 = () || ∈ 1 2 3 4 5 6 0回目 1回目 2回目 0 1 = 1/6 1 1 = 1/18 2 1 = 1/36 0 2 = 1/6 1 2 = 5/36 2 2 = 1/18 0 3 = 1/6 1 3 = 1/12 2 3 = 1/36 0 4 = 1/6 1 4 = 1/4 2 4 = 17/72 0 5 = 1/6 1 5 = 5/36 2 5 = 11/72 0 6 = 1/6 1 6 = 1/6 2 6 = 14/72 13

総和方程式の行列表現 • ハイパーリンク行列H(n*n) – ノードi->jのリンクがあれば = 1 || ，それ以外0 • PageRankベクトルπ(1*n) • (2)式の行列表現： +1 = – Hは疎な行列 – 平均的なwebページは出リンクが10個 • O(10n)の計算量 14

初期の反復法の問題点 • ランクシンク問題（閉じ込め問題） – ぶら下がりノードにPageRankが集中 • 収束性の問題 – 初期値に依存するのか？収束までの反復回数は？ • ブリンとページは基本モデルに調整を行った 15

基本モデルに対する調整① • ぶら下がり問題に対する解決策(確率的調整) – “ランダムサーファー(random surfer)”モデルの導入 • ぶら下がりノードに入った後はランダムに全ページに飛ぶ • この調整により，以下の行列が得られる – = + 1 ∗ – S:確率行列 – a:ぶら下がりノードベクトル • ぶら下がりノードなら = 1，そうでなければ0 • この調整により，Sは確率的(stochastic)となる – マルコフ連鎖の推移確率行列 16

基本モデルに対する調整② • 収束性の保証のための調整(原始的調整) – ランダムサーファーの議論の拡張 – 全く新しいアドレスへの“テレポート”の可能性 • この調整により，以下の行列が得られる – = + 1 − ∗ 1 ∗ – G:Google行列 – α:パラメータ(ハイパーリンクに従う時間の比率) テレポーテーション行列E 17

原始的調整による効果 • Google行列Gには，以下の性質がある – 確率的(stochastic)：確率的行列SとEの合成 • 各行の全成分を足し込むと１になる – 既約(irreducible):全ての 成分が非零 • 任意の状態から，任意の状態へと遷移可能 – 非周期的(aperiodic):全ての対角成分が正 – 原始的(primitive):Gの全ての成分が正 • 原始性に対する必要十分条件： > を満たすm>0 が存在（m=1で成立している） 18 →Gはマルコフ連鎖の推移確率行列

正行列に対するペロンの定理 • 正行列A，Aの固有値で絶対値が最大のもの をrとすると，以下が成り立つ 1. rは正 2. rは単根 3. = , > 0かつ | | = 1 となるベクトル が唯一存在 19

Google行列Gに対するペロンの定理 • 確率行列においてr=1(次回説明) – = に左から, 右からを乗算： = • Google行列を用いたPageRankの更新式 – +1 = • ：定常ベクトル=PageRankベクトル 20

GoogleのPageRank調整手法 • +1 = ，これだけ • Gに適用したベキ乗法で計算できる – 最大の２つの固有値を1 , 2 とすると，漸近的な 収束の速さは， 2 1 ->0の速さ – Google行列では1 = 1, 2 ≦ である(次回説明) ため，がおおよその収束の目安となる 21

PageRankモデルのパラメータ”α” • ブリンとページによる初期の論文：α=0.85 – 結論から言うと，エンジニアリングセンス • α小：計算時間減尐，しかしランダム要素増大 • α大：ランダム要素減尐，しかし計算時間増大 • 数学的考察は次回以降紹介 α 収束までの繰り返し数 0.5 34 0.85 142 0.99 2292 22

PageRankモデルのパラメータ”E” • E=1 ∗ をへ（パーソナル化） – ：テレポーテーションベクトル • で与えられる個人的な嗜好に基づき，次のページへ テレポートする • 現実的な問題として，全てのユーザに対して を計算することは不可能 – １つのベクトルに対してでさえ，数日以上かかる 23