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関西大学総合情報学部 浅野　晃 画像情報処理 2024年度秋学期 第1部・画像のサンプリングと周波数 ／ 第3回 フーリエ級数とフーリエ変換

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フーリエ級数

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を分解 3 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で 書けるとしたら？ 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 … 足されるのは波長 L / n（nは整数）のものに限る。 無限個の波の足し合わせだが，足し算（級数）で書ける。 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 合わない 周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す → 波が進むとずれていってしまうから 　 足してはいけない 足されるのは，どの三角関数？

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「無限個だが，足し算で書ける」 4 周期関数 f(x) … … 周期関数 f(x)が，三角関数の和で書けるとしたら，足されるのは 周期 L 波長 L 波長 L/3 … 足されるのは波長 L / n（nは整数）のものに限るから， 　 無限個の三角関数を足すのだけれども 　 このように「項」を並べることはできる f(x) = + 波長 L/2 + + … + + … 波長 L/n 「級数」という

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数＝三角関数の級数 5 なのですが… 三角関数は計算が面倒。 指数関数なら計算が簡単 f(x) = a0 + a1 cos(2π 1 L x) + a2 cos(2π 2 L x) + … + an cos(2π n L x) + … 波長 L 波長 L/2 波長 L/n cos x cos y = 1 2 {cos(x + y) + cos(x − y)} axay = ax+y かけ算＝指数の足し算

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 三角関数と指数関数の関係 6 オイラーの式 i2 = − 1 虚数単位 exp(x) = ex (ex)′ = ex 微分しても変わらない e = 2.71828... exp(iω) = cos ω + i sin ω exp(−iω) = cos(−ω) + i sin(−ω) = cos ω − i sin ω exp(iω) + exp(−iω) = 2 cos ω exp(iω) − exp(−iω) = 2i sin ω 足し算すると 引き算すると cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 exp(iω) = cos ω + i sin ω sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 三角関数と指数関数の関係 7 オイラーの式 ひとつの三角関数＝波は， 正負の周波数をもつ指数関数の組で表される 「周波数がマイナス」というのはヘンだが， プラスの周波数とマイナスの周波数のペアでひとつの波になる exp(iω) = cos ω + i sin ω cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数を指数関数の和で 8 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせて はず。 波長 L / n の波は f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x と書ける exp(i2π n L x) exp(−i2π n L x) と の組 プラスもマイナスも∞

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 書ける，のはいいが 9 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせて はず。 f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x と書ける

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 書ける，のはいいが 9 この係数はどうやって求めるの？ 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせて はず。 f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x と書ける

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ある波長の波を切り出す 10 一方，f(x) を構成する指数関数のいずれか（波長 L / m）は exp i2π m L x 波長 L / n の指数関数 exp i2π n L x f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x 　 　 から，波長 L / n の波に 対応する指数関数だけを切り出したい

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ある波長の波を切り出す 11 L 2 −L 2 exp i2π m L x exp −i2π n L x dx 波長 L / m の指数関数と L / n の指数関数についてこういう計算をしてみる

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ある波長の波を切り出す 11 L 2 −L 2 exp i2π m L x exp −i2π n L x dx 波長 L / m の指数関数と L / n の指数関数についてこういう計算をしてみる 波長 L / m 波長 L / n

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ある波長の波を切り出す 11 L 2 −L 2 exp i2π m L x exp −i2π n L x dx 波長 L / m の指数関数と L / n の指数関数についてこういう計算をしてみる 波長 L / m 波長 L / n f(x) の１周期分だけ積分（積分については後半で）

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ある波長の波を切り出す 11 L 2 −L 2 exp i2π m L x exp −i2π n L x dx 波長 L / m の指数関数と L / n の指数関数についてこういう計算をしてみる 波長 L / m 波長 L / n f(x) の１周期分だけ積分（積分については後半で） 複素共役

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ある波長の波を切り出す 11 L 2 −L 2 exp i2π m L x exp −i2π n L x dx この答は 波長 L / m の指数関数と L / n の指数関数についてこういう計算をしてみる 波長 L / m 波長 L / n f(x) の１周期分だけ積分（積分については後半で） 複素共役

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ある波長の波を切り出す 11 L 2 −L 2 exp i2π m L x exp −i2π n L x dx この答は 波長 L / m の指数関数と L / n の指数関数についてこういう計算をしてみる 波長 L / m 波長 L / n f(x) の１周期分だけ積分（積分については後半で） 複素共役 m と n が異なるとき（別の波長）　 0 m と n が等しいとき（同じ波長）　 L

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ある波長の波を切り出す 11 L 2 −L 2 exp i2π m L x exp −i2π n L x dx この答は 波長 L / m の指数関数と L / n の指数関数についてこういう計算をしてみる 波長 L / m 波長 L / n f(x) の１周期分だけ積分（積分については後半で） 複素共役 m と n が異なるとき（別の波長）　 0 m と n が等しいとき（同じ波長）　 L 指数関数はこの 「同期しないと積分が0」という性質をもつ　直交関数系

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ級数展開とフーリエ係数 12 そこで 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ級数展開とフーリエ係数 12 そこで 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる ある整数

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ級数展開とフーリエ係数 12 そこで 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる ある整数

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ級数展開とフーリエ係数 12 そこで 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x 　 　 　 なので ある整数

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ級数展開とフーリエ係数 12 そこで 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x 　 　 　 なので ある整数

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ級数展開とフーリエ係数 12 そこで 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x 　 　 　 なので 1 L L 2 −L 2 ∞ n=−∞ an exp i2π n L x exp −i2π k L x dx ある整数

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ級数展開とフーリエ係数 12 級数の各項を積分すると，n = k の項だけは積分すると　L そこで 他の項は積分すると　0 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x 　 　 　 なので 1 L L 2 −L 2 ∞ n=−∞ an exp i2π n L x exp −i2π k L x dx ある整数

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ級数展開とフーリエ係数 12 級数の各項を積分すると，n = k の項だけは積分すると　L そこで 他の項は積分すると　0 つまりこの積分の答は 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x 　 　 　 なので 1 L L 2 −L 2 ∞ n=−∞ an exp i2π n L x exp −i2π k L x dx ある整数

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ級数展開とフーリエ係数 12 級数の各項を積分すると，n = k の項だけは積分すると　L そこで 他の項は積分すると　0 つまりこの積分の答は 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x 　 　 　 なので 1 L L 2 −L 2 ∞ n=−∞ an exp i2π n L x exp −i2π k L x dx ある整数 1 L · Lak = ak

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ級数展開とフーリエ係数 12 級数の各項を積分すると，n = k の項だけは積分すると　L そこで 他の項は積分すると　0 つまりこの積分の答は 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x 　 　 　 なので 1 L L 2 −L 2 ∞ n=−∞ an exp i2π n L x exp −i2π k L x dx ある整数 1 L · Lak = ak 係数が求まった

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 まとめ・フーリエ級数展開とフーリエ係数 13 周期 L の周期関数 f(x) は， f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x 　 　 という波の足し合わせ（級数）で表される（フーリエ級数展開） 係数 an （フーリエ係数）は an = という積分で表される 1 L L 2 − L 2 f(x) exp −i2π n L x dx

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フーリエ変換🤔🤔

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数は，フーリエ級数で表される 15 周期 L の周期関数 f(x) … … f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x という，波の足し合わせ（級数）で表される （フーリエ級数展開） 係数 ak （フーリエ係数）は 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx ak = 周期 L

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数でない場合は？ 16 … … 周期L

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数でない場合は？ 16 … … 周期L … … L →大

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数でない場合は？ 16 … … 周期L … … L →大 L →∞

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期関数でない場合は？ 16 非周期関数は周期が無限大と考える … … 周期L … … L →大 L →∞

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期 L が大きくなっていくと 17 フーリエ係数 周波数（1/波長） 1/L 2/L 0 3/L 4/L … 間隔1/L

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期 L が大きくなっていくと 17 フーリエ係数 周波数（1/波長） 1/L 2/L 0 3/L 4/L … 間隔1/L 間隔1/L は周波数の差 これをΔν で表す

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期 L が大きくなっていくと 17 フーリエ係数 周波数（1/波長） 1/L 2/L 0 3/L 4/L … 間隔1/L 間隔1/L は周波数の差 これをΔν で表す = Δν

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期 L が大きくなっていくと 17 フーリエ係数 周波数（1/波長） 1/L 2/L 0 3/L 4/L … 間隔1/L L →大 間隔1/L は周波数の差 これをΔν で表す = Δν

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期 L が大きくなっていくと 17 フーリエ係数 周波数（1/波長） 1/L 2/L 0 3/L 4/L … 間隔1/L L →大 間隔1/L は周波数の差 これをΔν で表す 1/L = Δν→小 = Δν

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期 L が大きくなっていくと 17 フーリエ係数 周波数（1/波長） 1/L 2/L 0 3/L 4/L … 間隔1/L L →大 1/L 2/L 0 3/L 4/L … 間隔1/L は周波数の差 これをΔν で表す 1/L = Δν→小 = Δν Δν

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期 L が大きくなっていくと 17 フーリエ係数 周波数（1/波長） 1/L 2/L 0 3/L 4/L … 間隔1/L L →大 L→∞ 1/L 2/L 0 3/L 4/L … 間隔1/L は周波数の差 これをΔν で表す 1/L = Δν→小 = Δν Δν

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期 L が大きくなっていくと 17 フーリエ係数 周波数（1/波長） 1/L 2/L 0 3/L 4/L … 間隔1/L L →大 L→∞ 1/L 2/L 0 3/L 4/L … 間隔1/L は周波数の差 これをΔν で表す 1/L = Δν→0 1/L = Δν→小 = Δν Δν

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期 L が大きくなっていくと 17 フーリエ係数 周波数（1/波長） 1/L 2/L 0 3/L 4/L … 間隔1/L L →大 L→∞ 1/L 2/L 0 3/L 4/L … … 間隔1/L は周波数の差 これをΔν で表す 1/L = Δν→0 1/L = Δν→小 = Δν Δν Δν ?

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期 L が大きくなっていくと 17 フーリエ係数 周波数（1/波長） 1/L 2/L 0 3/L 4/L … 間隔1/L L →大 L→∞ 1/L 2/L 0 3/L 4/L … … 間隔1/L は周波数の差 これをΔν で表す フーリエ係数が隙間なく並ぶ 1/L = Δν→0 1/L = Δν→小 = Δν Δν Δν ?

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 周期 L が大きくなっていくと 17 フーリエ係数 周波数（1/波長） 1/L 2/L 0 3/L 4/L … 間隔1/L L →大 L→∞ 1/L 2/L 0 3/L 4/L … … 間隔1/L は周波数の差 これをΔν で表す フーリエ係数が隙間なく並ぶ 1/L = Δν→0 もはや足し算はできない 1/L = Δν→小 = Δν Δν Δν ?

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 級数から積分へ 18 周期 L の周期関数 f(x) は， f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x 　 　

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 級数から積分へ 18 周期 L の周期関数 f(x) は， f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x 　 　 an = 1 L L 2 − L 2 f(x) exp −i2π n L x dx

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 級数から積分へ 18 周期 L の周期関数 f(x) は， f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x 　 　 an = 1 L L 2 − L 2 f(x) exp −i2π n L x dx 1/L =Δν と書き換える

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 級数から積分へ 18 周期 L の周期関数 f(x) は， f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x 　 　 an = 1 L L 2 − L 2 f(x) exp −i2π n L x dx 1/L =Δν と書き換える f(x) = ∞ n=−∞ ∆ν L 2 −L 2 f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 級数から積分へ 18 周期 L の周期関数 f(x) は， f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x 　 　 an = 1 L L 2 − L 2 f(x) exp −i2π n L x dx 1/L =Δν と書き換える f(x) = ∞ n=−∞ ∆ν L 2 −L 2 f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx) 紛らわしいので別の文字にしただけ

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 級数から積分へ 19 nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす L→∞ のとき Δν→0 f(x) = ∞ n=−∞ ∆ν L 2 −L 2 f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx) という積分になる このとき のなかの総和（Σ）が， f(x) = ∞ −∞ ∞ −∞ f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 級数から積分へ 19 nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす L→∞ のとき Δν→0 f(x) = ∞ n=−∞ ∆ν L 2 −L 2 f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx) という積分になる このとき のなかの総和（Σ）が， f(x) = ∞ −∞ ∞ −∞ f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 級数から積分へ 19 nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす L→∞ のとき Δν→0 f(x) = ∞ n=−∞ ∆ν L 2 −L 2 f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx) という積分になる このとき のなかの総和（Σ）が， f(x) = ∞ −∞ ∞ −∞ f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν ？？？😵😵

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分とは？ 20 この面積を 求めたい f(x) x 0 a

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分とは？ 20 この面積を 求めたい f(x) x f(x) x 0 Δx 2Δx nΔx 幅が Δx の 長方形で近似 0 a

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分とは？ 20 この面積を 求めたい f(x) x f(x) x 0 Δx 2Δx nΔx 幅が Δx の 長方形で近似 0 a

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分とは？ 20 この面積を 求めたい f(x) x f(x) x 0 Δx 2Δx nΔx 幅が Δx の 長方形で近似 高さ f(2Δx) 0 a

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分とは？ 20 この面積を 求めたい f(x) x n−1 k=0 f(k∆x)∆x f(x) x 0 Δx 2Δx nΔx 幅が Δx の 長方形で近似 高さ f(2Δx) 0 a 短冊の面積の合計

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分とは？ 20 この面積を 求めたい Δx → 0　区切りを無限に細かく f(x) x n−1 k=0 f(k∆x)∆x f(x) x 0 Δx 2Δx nΔx 幅が Δx の 長方形で近似 高さ f(2Δx) 0 a 短冊の面積の合計

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分とは？ 20 この面積を 求めたい Δx → 0　区切りを無限に細かく f(x) x n−1 k=0 f(k∆x)∆x f(x) x 0 Δx 2Δx nΔx 幅が Δx の 長方形で近似 高さ f(2Δx) 0 a a 0 f(x)dx これが積分 短冊の面積の合計

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分とは？ 20 この面積を 求めたい Δx → 0　区切りを無限に細かく f(x) x n−1 k=0 f(k∆x)∆x f(x) x 0 Δx 2Δx nΔx 幅が Δx の 長方形で近似 高さ f(2Δx) 0 a a 0 f(x)dx これが積分 短冊の面積の合計

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分とは？ 20 この面積を 求めたい Δx → 0　区切りを無限に細かく f(x) x n−1 k=0 f(k∆x)∆x f(x) x 0 Δx 2Δx nΔx 幅が Δx の 長方形で近似 高さ f(2Δx) 0 a a 0 f(x)dx これが積分 短冊の面積の合計

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分とは？ 20 この面積を 求めたい Δx → 0　区切りを無限に細かく f(x) x n−1 k=0 f(k∆x)∆x f(x) x 0 Δx 2Δx nΔx 幅が Δx の 長方形で近似 高さ f(2Δx) 0 a a 0 f(x)dx これが積分 短冊の面積の合計

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分とは？ 20 この面積を 求めたい Δx → 0　区切りを無限に細かく f(x) x n−1 k=0 f(k∆x)∆x f(x) x 0 Δx 2Δx nΔx 幅が Δx の 長方形で近似 高さ f(2Δx) 0 a a 0 f(x)dx これが積分 短冊の面積の合計 ★ところで： 長方形の面積＝縦×横？

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 積分とは？ 20 この面積を 求めたい Δx → 0　区切りを無限に細かく f(x) x n−1 k=0 f(k∆x)∆x f(x) x 0 Δx 2Δx nΔx 幅が Δx の 長方形で近似 高さ f(2Δx) 0 a a 0 f(x)dx これが積分 短冊の面積の合計 ★ところで： 長方形の面積＝縦×横？ 長方形の面積は，有限個の 正方形を敷き詰めたときの 正方形の面積の合計 （有限加法性） 正方形の面積は「定義」

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 級数から積分へ 21 nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす L→∞ のとき Δν→0 f(x) = ∞ n=−∞ ∆ν L 2 −L 2 f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx) という積分になる このとき のなかの総和（Σ）が， f(x) = ∞ −∞ ∞ −∞ f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν Δx → 0　区切りを無限に細かく n−1 k=0 f(k∆x)∆x a 0 f(x)dx

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 級数から積分へ 21 nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす L→∞ のとき Δν→0 f(x) = ∞ n=−∞ ∆ν L 2 −L 2 f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx) という積分になる このとき のなかの総和（Σ）が， f(x) = ∞ −∞ ∞ −∞ f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν Δx → 0　区切りを無限に細かく n−1 k=0 f(k∆x)∆x a 0 f(x)dx

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 級数から積分へ 21 nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす L→∞ のとき Δν→0 f(x) = ∞ n=−∞ ∆ν L 2 −L 2 f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx) という積分になる このとき のなかの総和（Σ）が， f(x) = ∞ −∞ ∞ −∞ f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν Δx → 0　区切りを無限に細かく n−1 k=0 f(k∆x)∆x a 0 f(x)dx

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 級数から積分へ 21 nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす L→∞ のとき Δν→0 f(x) = ∞ n=−∞ ∆ν L 2 −L 2 f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx) という積分になる このとき のなかの総和（Σ）が， f(x) = ∞ −∞ ∞ −∞ f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν Δx → 0　区切りを無限に細かく n−1 k=0 f(k∆x)∆x a 0 f(x)dx

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 級数から積分へ 21 nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす L→∞ のとき Δν→0 f(x) = ∞ n=−∞ ∆ν L 2 −L 2 f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx) という積分になる このとき のなかの総和（Σ）が， f(x) = ∞ −∞ ∞ −∞ f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν ！！！ 積分では， 幅 が大事です dν Δx → 0　区切りを無限に細かく n−1 k=0 f(k∆x)∆x a 0 f(x)dx

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換 22 f(x) = ∞ −∞ ∞ −∞ f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν 　 　

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換 22 f(x) = ∞ −∞ ∞ −∞ f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν 　 　 F(ν) = ∞ −∞ f(x) exp (−i2πνx) dx 　 　 と分けて書く

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換 22 f(x) = ∞ −∞ ∞ −∞ f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν 　 　 F(ν) = ∞ −∞ f(x) exp (−i2πνx) dx 　 　 f(x) = ∞ −∞ F(ν) exp (i2πxν) dν 　 　 と分けて書く

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換 22 f(x) = ∞ −∞ ∞ −∞ f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν 　 　 F(ν) = ∞ −∞ f(x) exp (−i2πνx) dx 　 　 f(x) = ∞ −∞ F(ν) exp (i2πxν) dν 　 　 と分けて書く フーリエ変換対　という

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換 23 F(ν) = ∞ −∞ f(x) exp (−i2πνx) dx 　 　 f(x) = ∞ −∞ F(ν) exp (i2πxν) dν 　 　 フーリエ変換 逆フーリエ変換

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換 23 F(ν) = ∞ −∞ f(x) exp (−i2πνx) dx 　 　 f(x) = ∞ −∞ F(ν) exp (i2πxν) dν 　 　 フーリエ変換 関数 f(x) にどのような周波数の波がどれだけ含まれているか，「波を切り出す」 逆フーリエ変換

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換 23 F(ν) = ∞ −∞ f(x) exp (−i2πνx) dx 　 　 f(x) = ∞ −∞ F(ν) exp (i2πxν) dν 　 　 フーリエ変換 関数 f(x) にどのような周波数の波がどれだけ含まれているか，「波を切り出す」 逆フーリエ変換 フーリエ係数の並びだったのが，周波数の間隔がどんどん小さくなって， ついにはひとつの関数 F(ν) になる

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換 23 F(ν) = ∞ −∞ f(x) exp (−i2πνx) dx 　 　 f(x) = ∞ −∞ F(ν) exp (i2πxν) dν 　 　 フーリエ変換 関数 f(x) にどのような周波数の波がどれだけ含まれているか，「波を切り出す」 逆フーリエ変換 フーリエ係数の並びだったのが，周波数の間隔がどんどん小さくなって， ついにはひとつの関数 F(ν) になる 周波数 ν の波 exp(i2πxν) に，対応するフーリエ係数 F(ν) をかけたものを 合計（積分）すると f(x) に戻る

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換 23 F(ν) = ∞ −∞ f(x) exp (−i2πνx) dx 　 　 f(x) = ∞ −∞ F(ν) exp (i2πxν) dν 　 　 フーリエ変換 関数 f(x) にどのような周波数の波がどれだけ含まれているか，「波を切り出す」 逆フーリエ変換 フーリエ係数の並びだったのが，周波数の間隔がどんどん小さくなって， ついにはひとつの関数 F(ν) になる 周波数 ν の波 exp(i2πxν) に，対応するフーリエ係数 F(ν) をかけたものを 合計（積分）すると f(x) に戻る 「位置」

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換 23 F(ν) = ∞ −∞ f(x) exp (−i2πνx) dx 　 　 f(x) = ∞ −∞ F(ν) exp (i2πxν) dν 　 　 フーリエ変換 関数 f(x) にどのような周波数の波がどれだけ含まれているか，「波を切り出す」 逆フーリエ変換 フーリエ係数の並びだったのが，周波数の間隔がどんどん小さくなって， ついにはひとつの関数 F(ν) になる 周波数 ν の波 exp(i2πxν) に，対応するフーリエ係数 F(ν) をかけたものを 合計（積分）すると f(x) に戻る 「位置」 「周波数」

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換 23 F(ν) = ∞ −∞ f(x) exp (−i2πνx) dx 　 　 f(x) = ∞ −∞ F(ν) exp (i2πxν) dν 　 　 フーリエ変換 関数 f(x) にどのような周波数の波がどれだけ含まれているか，「波を切り出す」 逆フーリエ変換 フーリエ係数の並びだったのが，周波数の間隔がどんどん小さくなって， ついにはひとつの関数 F(ν) になる 周波数 ν の波 exp(i2πxν) に，対応するフーリエ係数 F(ν) をかけたものを 合計（積分）すると f(x) に戻る 「位置」 「周波数」 関数の表し方 ［基底］が 変わっただけ （先で出てきます）

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24 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 2次元の場合は 24 F(ν) = ∞ −∞ f(x) exp (−i2πνx) dx 　 　 　 １次元のフーリエ変換 この式は，x, y それぞれに１次元のフーリエ変換をしたことになっている ２次元のフーリエ変換 F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy F(νx, νy) = ∞ −∞ ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)dy exp(a + b) = exp(a) exp(b) 注： たし算 かけ算 この性質を［分離可能(separable)］であるという （あとで出てきます）