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関西大学総合情報学部 浅野　晃 応用数学（解析） 2024年度春学期 第２部・基本的な微分方程式 ／ 第8回 2階線形微分方程式(2)

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27 2 ２階線形微分方程式（復習）🤔🤔

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］ そうではないのが［非斉次］

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］ そうではないのが［非斉次］ 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］ そうではないのが［非斉次］ 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式 3 一般には とりあえず， x ≡ 0 は解［自明解］ x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］ そうではないのが［非斉次］ 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式 3 一般には とりあえず， x ≡ 0 は解［自明解］ x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］ そうではないのが［非斉次］ 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 それ以外には？

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式の解 4 x′′ + ax′ + bx = 0 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式の解 4 x′′ + ax′ + bx = 0 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ　λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ　λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ　λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t x ≡ 0 を含む

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ　λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t x ≡ 0 を含む

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式を解く 5 定数係数の 斉次形２階線形微分方程式 x′′ + ax′ + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 　 　 をみたす λ について x = eλt は解

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式を解く 5 定数係数の 斉次形２階線形微分方程式 x′′ + ax′ + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 　 　 をみたす λ について x = eλt は解 特性方程式という

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式を解く 5 定数係数の 斉次形２階線形微分方程式 特性方程式の解の形によって，３パターン x′′ + ax′ + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 　 　 をみたす λ について x = eλt は解 特性方程式という

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式を解く 5 定数係数の 斉次形２階線形微分方程式 特性方程式の解の形によって，３パターン x′′ + ax′ + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 　 　 をみたす λ について x = eλt は解 特性方程式という 異なる２つの実数解の場合 異なる２つの虚数解の場合 重解の場合

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数解が２つの場合 6 特性方程式の 異なる２つの実数解 λ1, λ2 eλ1t, eλ2t 　 微分方程式の １次独立な解 一般解は 　 x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t 解 表 　

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数解が２つの場合 6 特性方程式の 異なる２つの実数解 （つまり，最初のとおり） λ1, λ2 eλ1t, eλ2t 　 微分方程式の １次独立な解 一般解は 　 x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t 解 表 　

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 虚数解が２つの場合 7 一般解は 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 虚数解が２つの場合 7 さらに計算すると 一般解は 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　 　 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) 　

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 虚数解が２つの場合 7 さらに計算すると 一般解は 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　 　 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) 　 オイラーの式 による eiθ = cos θ + i sin θ

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 虚数解が２つの場合 7 さらに計算すると 一般解は 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　 　 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) 　 オイラーの式 による eiθ = cos θ + i sin θ 　 　 x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 　 定数を置き直して，一般解は

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 虚数解が２つの場合 7 さらに計算すると 一般解は 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　 　 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) 　 オイラーの式 による eiθ = cos θ + i sin θ 　 　 x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 　 定数を置き直して，一般解は 振動を表している

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 虚数解が２つの場合 7 さらに計算すると 一般解は 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　 　 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) 　 オイラーの式 による eiθ = cos θ + i sin θ 　 　 x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 　 定数を置き直して，一般解は 振動を表している （次の第3部で）

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 8 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる 微分方程式の左辺に代入すると

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると 特性方程式の 解と係数の関係により0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると 特性方程式の 解と係数の関係により0 C1eλ1t + C2teλ1t 一般解は

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 8 これと１次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると 特性方程式の 解と係数の関係により0 見つけ方は前回のテキストで （定数変化法） C1eλ1t + C2teλ1t 一般解は

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27 9 非斉次形 ２階線形微分方程式🤔🤔

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 10 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 10 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 10 今回は 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 10 今回は 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 10 今回は 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 10 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 11 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で x′ = A(t)x + b(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で x′ = A(t)x + b(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で x′ = A(t)x + b(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で x′ = A(t)x + b(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で x′ = A(t)x + b(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で x′ = A(t)x + b(t) １階線形微分方程式の形になる

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一般的にいうと 12 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で x′ = A(t)x + b(t) １階線形微分方程式の形になる 何階線形微分方程式でも，この形にできる

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一般的にいうと 13 非斉次形 n 階線形微分方程式 の一般解 x′ = A(t)x + b(t) の任意の特殊解 xp(t) と xs(t)は 対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x x′ = A(t)x + b(t) 　 非斉次形方程式 の一般解 xh(t) の 和で表される。 xs(t) = xh(t) + xp(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一般的にいうと 13 非斉次形 n 階線形微分方程式 の一般解 x′ = A(t)x + b(t) の任意の特殊解 xp(t) と xs(t)は 対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x x′ = A(t)x + b(t) 　 非斉次形方程式 の一般解 xh(t) の 和で表される。 xs(t) = xh(t) + xp(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一般的にいうと 13 非斉次形 n 階線形微分方程式 の一般解 x′ = A(t)x + b(t) の任意の特殊解 xp(t) と xs(t)は 対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x x′ = A(t)x + b(t) 　 非斉次形方程式 の一般解 xh(t) の 和で表される。 xs(t) = xh(t) + xp(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 一般的にいうと 13 非斉次形 n 階線形微分方程式 の一般解 x′ = A(t)x + b(t) の任意の特殊解 xp(t) と xs(t)は 対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x x′ = A(t)x + b(t) 　 非斉次形方程式 の一般解 xh(t) の 和で表される。 xs(t) = xh(t) + xp(t) 何階微分方程式でも 定数係数でなくても

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が まず

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 まず

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 まず

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 まず

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) まず

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) まず

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) まず

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ まず

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ まず

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ まず 斉次形 x′ = A(t)x

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ まず 斉次形 x′ = A(t)x

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ まず 斉次形 x′ = A(t)x

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ まず 斉次形 非斉次形 x′ = A(t)x x′ = A(t)x + b(t) 　

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ まず 斉次形 非斉次形 x′ = A(t)x x′ = A(t)x + b(t) 　

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ = (xs(t))′ まず 斉次形 非斉次形 x′ = A(t)x x′ = A(t)x + b(t) 　

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ = (xs(t))′ （左辺） まず 斉次形 非斉次形 x′ = A(t)x x′ = A(t)x + b(t) 　

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 14 x′ = A(t)x + b(t) 　 の解であることを確かめる 非斉次形方程式 xs(t) = xh(t) + xp(t) 本当に一般解か？ どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？ が 右辺に xs(t) = xh(t) + xp(t) を代入 A(t)xs(t) + b(t) = A(t) (xh(t) + xp(t)) + b(t) = (A(t)xh(t)) + (A(t)xp(t) + b(t)) = (xh(t))′ + (xp(t))′ = (xs(t))′ （左辺） まず 斉次形 非斉次形 x′ = A(t)x x′ = A(t)x + b(t) 　

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 15 x′ = A(t)x + b(t) 　 非斉次形方程式 の一般解 xs(t) について どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 15 x′ = A(t)x + b(t) 　 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 　 　 を考える の一般解 xs(t) について どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 15 x′ = A(t)x + b(t) 　 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 　 　 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x の一般解 xh(t) について どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 15 x′ = A(t)x + b(t) 　 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 　 　 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x の一般解 xh(t) について 初期値を にとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) 　 　 どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 15 x′ = A(t)x + b(t) 　 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 　 　 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x の一般解 xh(t) について 初期値を にとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) 　 　 xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 15 x′ = A(t)x + b(t) 　 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 　 　 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x の一般解 xh(t) について 初期値を にとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) 　 　 xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 15 x′ = A(t)x + b(t) 　 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 　 　 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x の一般解 xh(t) について 初期値を にとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) 　 　 xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 15 x′ = A(t)x + b(t) 　 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 　 　 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x の一般解 xh(t) について 初期値を にとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) 　 　 xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 だから，これで 非斉次形方程式の解で初期値を xs(t0) = x0 としたことになっている どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 15 x′ = A(t)x + b(t) 　 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 　 　 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x の一般解 xh(t) について 初期値を にとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) 　 　 xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 だから，これで 非斉次形方程式の解で初期値を xs(t0) = x0 としたことになっている この斉次形方程式は一意だから， 斉次形方程式でこの初期値の特殊解はひとつ どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 証明は，割と簡単 15 x′ = A(t)x + b(t) 　 非斉次形方程式 任意の初期値 xs(t0) = x0 　 　 を考える の一般解 xs(t) について このとき，対応する斉次形方程式 x′ = A(t)x の一般解 xh(t) について 初期値を にとれば xh(t0) = x0 − xp(t0) 　 　 xs(t0) = xh(t0) + xp(t0) = (x0 − xp(t0)) + xp(t0) = x0 だから，これで 非斉次形方程式の解で初期値を xs(t0) = x0 としたことになっている この斉次形方程式は一意だから， 斉次形方程式でこの初期値の特殊解はひとつ 非斉次形方程式の特殊解もひとつ どんな初期値に対する特殊解でも表せるか？

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27 16 例題🤔🤔

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 非斉次形２階線形微分方程式 17 これを見つけるには，右辺の形に注目 今回は ［非斉次］tの式 前回のは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 結論からいうと 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると −(3a + 3)t2 + (4a − 3b − 3)t + (2a + 2b − 3c + 2) = 0 　 　 　

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると −(3a + 3)t2 + (4a − 3b − 3)t + (2a + 2b − 3c + 2) = 0 　 　 　 これが t に関係なくなりたつから ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3a + 3 = 0 4a − 3b − 3 = 0 2a + 2b − 3c + 2 = 0 　 　

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると −(3a + 3)t2 + (4a − 3b − 3)t + (2a + 2b − 3c + 2) = 0 　 　 　 これが t に関係なくなりたつから ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3a + 3 = 0 4a − 3b − 3 = 0 2a + 2b − 3c + 2 = 0 　 　 これを解くと a = −1, b = − 7 3 , c = − 14 9

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 18 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2 特殊解を， x = at2 + bt + c と見当をつける これを元の方程式に代入して整理すると −(3a + 3)t2 + (4a − 3b − 3)t + (2a + 2b − 3c + 2) = 0 　 　 　 これが t に関係なくなりたつから ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3a + 3 = 0 4a − 3b − 3 = 0 2a + 2b − 3c + 2 = 0 　 　 これを解くと a = −1, b = − 7 3 , c = − 14 9 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 19 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 19 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は 対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解 定数

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 19 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は 対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解 定数 特性方程式は λ2 + 2λ − 3 = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 19 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は 対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解 定数 特性方程式は λ2 + 2λ − 3 = 0 その解は λ = 1, −3

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 19 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は 対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解 定数 特性方程式は λ2 + 2λ − 3 = 0 その解は λ = 1, −3 異なる２つの実数解なので，斉次形方程式の一般解は x = C1et + C2e−3t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 19 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は 対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解 定数 特性方程式は λ2 + 2λ − 3 = 0 その解は λ = 1, −3 以上から，与えられた非斉次形方程式の一般解は 異なる２つの実数解なので，斉次形方程式の一般解は x = C1et + C2e−3t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 19 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 3t2 + 3t − 2 x = −t2 − 7 3 t − 14 9 非斉次形の特殊解（のひとつ）は 対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解 定数 特性方程式は λ2 + 2λ − 3 = 0 その解は λ = 1, −3 以上から，与えられた非斉次形方程式の一般解は 異なる２つの実数解なので，斉次形方程式の一般解は x = C1et + C2e−3t x = C1et + C2e−3t − t2 − 7 3 t − 14 9

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = e2t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = e2t 特殊解を， と見当をつける x = ae2t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = e2t 特殊解を， と見当をつける x = ae2t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = e2t 特殊解を， と見当をつける x = ae2t これを元の方程式に代入して整理すると 4ae2t + 2 · 2ae2t − 3ae2t = e2t 5ae2t = e2t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = e2t 特殊解を， と見当をつける x = ae2t これを元の方程式に代入して整理すると 4ae2t + 2 · 2ae2t − 3ae2t = e2t 5ae2t = e2t これが t に関係なくなりたつから a = 1 5

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = e2t 特殊解を， と見当をつける x = ae2t これを元の方程式に代入して整理すると 4ae2t + 2 · 2ae2t − 3ae2t = e2t 5ae2t = e2t これが t に関係なくなりたつから a = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = 解は C 1 5 e2t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = e2t 特殊解を， と見当をつける x = ae2t 対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解 定数 一般解は x = C1et + C2e−3t これを元の方程式に代入して整理すると 4ae2t + 2 · 2ae2t − 3ae2t = e2t 5ae2t = e2t これが t に関係なくなりたつから a = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = 解は C 1 5 e2t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 20 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = e2t 特殊解を， と見当をつける x = ae2t 対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解 定数 一般解は x = C1et + C2e−3t これを元の方程式に代入して整理すると 4ae2t + 2 · 2ae2t − 3ae2t = e2t 5ae2t = e2t これが t に関係なくなりたつから a = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = 解は C 1 5 e2t 以上から，非斉次形方程式の一般解は x = C1et + C2e−3t + 1 5 e2t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 2 cos t 　 　 　

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 2 cos t 　 　 　 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 2 cos t 　 　 　 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 2 cos t 　 　 　 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 2 cos t 　 　 　 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明）

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 2 cos t 　 　 　 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明） −4A + 2B − 2 = 0 −2A − 4B = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 2 cos t 　 　 　 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明） −4A + 2B − 2 = 0 −2A − 4B = 0 A = − 2 5 , B = 1 5

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 21 の一般解を求めよ。 x′′ + 2x′ − 3x = 2 cos t 　 　 　 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明） −4A + 2B − 2 = 0 −2A − 4B = 0 A = − 2 5 , B = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = − 2 5 cos t + 1 5 sin t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 21 の一般解を求めよ。 対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解 定数 一般解は x = C1et + C2e−3t x′′ + 2x′ − 3x = 2 cos t 　 　 　 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明） −4A + 2B − 2 = 0 −2A − 4B = 0 A = − 2 5 , B = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = − 2 5 cos t + 1 5 sin t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 21 の一般解を求めよ。 対応する斉次形の方程式は x′′ + 2x′ − 3x = 0 解 定数 一般解は x = C1et + C2e−3t x′′ + 2x′ − 3x = 2 cos t 　 　 　 特殊解を， と見当をつける x = A cos t + B sin t これを元の方程式に代入して整理すると (−4A + 2B − 2) cos t + (−2A − 4B) sin t = 0 cos, sinは独立（あとで説明） −4A + 2B − 2 = 0 −2A − 4B = 0 A = − 2 5 , B = 1 5 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = − 2 5 cos t + 1 5 sin t 以上から，非斉次形方程式の一般解は x = C1et + C2e−3t − 2 5 cos t + 1 5 sin t

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27 22 関数の１次独立とWronskian🤔🤔

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t) 　 　 と x2(t) 　 　 　 が１次独立とは，

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t) 　 　 と x2(t) 　 　 　 が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t) 　 　 と x2(t) 　 　 　 が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 を t で微分すると

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t) 　 　 と x2(t) 　 　 　 が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 を t で微分すると C1x′ 1 (t) + C2x′ 2 (t) = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t) 　 　 と x2(t) 　 　 　 が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 を t で微分すると C1x′ 1 (t) + C2x′ 2 (t) = 0 まとめて行列で書くと x1(t) x2(t) x′ 1 (t) x′ 2 (t) C1 C2 = 0 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t) 　 　 と x2(t) 　 　 　 が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 を t で微分すると C1x′ 1 (t) + C2x′ 2 (t) = 0 まとめて行列で書くと x1(t) x2(t) x′ 1 (t) x′ 2 (t) C1 C2 = 0 0 解が C1 = C2 = 0 だけになるのは，この行列に逆行列が存在する時

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t) 　 　 と x2(t) 　 　 　 が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 を t で微分すると C1x′ 1 (t) + C2x′ 2 (t) = 0 まとめて行列で書くと x1(t) x2(t) x′ 1 (t) x′ 2 (t) C1 C2 = 0 0 解が C1 = C2 = 0 だけになるのは，この行列に逆行列が存在する時 x1(t) x2(t) x′ 1 (t) x′ 2 (t) ̸≡ 0 つまり

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の１次独立とWronskian 23 関数 x1(t) 　 　 と x2(t) 　 　 　 が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 ところで C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 を t で微分すると C1x′ 1 (t) + C2x′ 2 (t) = 0 まとめて行列で書くと x1(t) x2(t) x′ 1 (t) x′ 2 (t) C1 C2 = 0 0 解が C1 = C2 = 0 だけになるのは，この行列に逆行列が存在する時 x1(t) x2(t) x′ 1 (t) x′ 2 (t) ̸≡ 0 つまり Wronskianという

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の１次独立とWronskian（例） 24 関数 x1(t) 　 　 と x2(t) 　 　 　 が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 と は？ cos t sin t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の１次独立とWronskian（例） 24 関数 x1(t) 　 　 と x2(t) 　 　 　 が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 と は？ cos t sin t Wronskianは cos t sin t −sin t cos t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 関数の１次独立とWronskian（例） 24 関数 x1(t) 　 　 と x2(t) 　 　 　 が１次独立とは， C1x1(t) + C2x2(t) = 0 　 　 が どんな t についてもなりたつなら，C1 = C2 = 0 と は？ cos t sin t Wronskianは cos t sin t −sin t cos t で，Wronskianが0でないので， と は1次独立 cos t sin t −sin t cos t = cos2 t + sin2 t = 1 cos t sin t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 25 定数係数・非斉次形の ２階線形微分方程式 x′′+ax′+bx = R(t)

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 25 定数係数・非斉次形の ２階線形微分方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 25 定数係数・非斉次形の ２階線形微分方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解 x′′ + ax′ + bx = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 25 定数係数・非斉次形の ２階線形微分方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解 x′′ + ax′ + bx = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 25 定数係数・非斉次形の ２階線形微分方程式 x′′+ax′+bx = R(t) 非斉次形の一般解 ＝ 非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい） ＋ 対応する斉次形の一般解 これを見つけるには右辺の形に注目 x′′ + ax′ + bx = 0

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27 26 演習問題について（一部）

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題（3） 27 の一般解を求めよ。 x′′ + x = cos 2t 　 　

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題（3） 27 の一般解を求めよ。 特殊解を， と見当をつける x = A cos 2t x′′ + x = cos 2t 　 　

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題（3） 27 の一般解を求めよ。 特殊解を， と見当をつける x = A cos 2t x′′ + x = cos 2t 　 　 このように「勘」をはたらかせる

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題（3） 27 の一般解を求めよ。 特殊解を， と見当をつける x = A cos 2t x′′ + x = cos 2t 　 　 このように「勘」をはたらかせる

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題（3） 27 の一般解を求めよ。 特殊解を， と見当をつける x = A cos 2t ， なので， を元の方程式に代入すると x′ = − 2A sin 2t x′ ′ = − 4A cos 2t x′ , x′ ′ x′′ + x = cos 2t 　 　 このように「勘」をはたらかせる

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題（3） 27 の一般解を求めよ。 特殊解を， と見当をつける x = A cos 2t ， なので， を元の方程式に代入すると x′ = − 2A sin 2t x′ ′ = − 4A cos 2t x′ , x′ ′ x′′ + x = cos 2t 　 　 このように「勘」をはたらかせる −4A cos 2t + A cos 2t = cos 2t

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題（3） 27 の一般解を求めよ。 特殊解を， と見当をつける x = A cos 2t ， なので， を元の方程式に代入すると x′ = − 2A sin 2t x′ ′ = − 4A cos 2t x′ , x′ ′ x′′ + x = cos 2t 　 　 このように「勘」をはたらかせる −4A cos 2t + A cos 2t = cos 2t (−4A + A − 1)cos 2t = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題（3） 27 の一般解を求めよ。 特殊解を， と見当をつける x = A cos 2t ， なので， を元の方程式に代入すると x′ = − 2A sin 2t x′ ′ = − 4A cos 2t x′ , x′ ′ これが t に関係なくなりたつから, A = − 1 3 x′′ + x = cos 2t 　 　 このように「勘」をはたらかせる −4A cos 2t + A cos 2t = cos 2t (−4A + A − 1)cos 2t = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題（3） 27 の一般解を求めよ。 特殊解を， と見当をつける x = A cos 2t ， なので， を元の方程式に代入すると x′ = − 2A sin 2t x′ ′ = − 4A cos 2t x′ , x′ ′ これが t に関係なくなりたつから, A = − 1 3 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = − 1 3 cos 2t x′′ + x = cos 2t 　 　 このように「勘」をはたらかせる −4A cos 2t + A cos 2t = cos 2t (−4A + A − 1)cos 2t = 0

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27 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題（3） 27 の一般解を求めよ。 特殊解を， と見当をつける x = A cos 2t ， なので， を元の方程式に代入すると x′ = − 2A sin 2t x′ ′ = − 4A cos 2t x′ , x′ ′ これが t に関係なくなりたつから, A = − 1 3 非斉次形の方程式の特殊解（のひとつ）は x = − 1 3 cos 2t x′′ + x = cos 2t 　 　 このように「勘」をはたらかせる −4A cos 2t + A cos 2t = cos 2t (−4A + A − 1)cos 2t = 0 あとは，対応する斉次形の方程式 の一般解を求めてください。 x′ ′ + x = 0