(2022) Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Des probas... où on ne les attend pas Roger Mansuy Lycée François Ier, Le Havre 19 janvier 2022 Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Introduction Après la journée portes ouvertes au lycée François Ier, madame la proviseure range les plaquettes du lycée dans deux tiroirs. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Introduction Après la journée portes ouvertes au lycée François Ier, madame la proviseure range les plaquettes du lycée dans deux tiroirs. Peu importe la façon de ranger ces trois plaquettes : il y a au moins 2 plaquettes dans le même tiroir. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Proposition Soit n un entier non nul. Lorsque l’on range n + 1 objets dans n tiroirs, il y a au moins un tiroir qui contient au moins 2 objets. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Proposition Soit n un entier non nul. Lorsque l’on range n + 1 objets dans n tiroirs, il y a au moins un tiroir qui contient au moins 2 objets. Proposition Soit n un entier non nul et f : 1, n + 1 → 1, n . Alors, f n’est pas injective. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Proposition Soit n et k deux entiers non nuls. Lorsque l’on range kn + 1 objets dans n tiroirs, il y a au moins un tiroir qui contient au moins k + 1 objets. Proposition Soit n, k deux entiers non nuls et f : 1, kn + 1 → 1, n . Alors, il existe p ∈ 1, n qui admet au moins k + 1 antécédents par f. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 février 1805 - 5 mai 1859) ▶ Allemand ▶ Mathématicien (arithmétique, analyse harmonique...) ▶ Beau-frère des compositeurs Fanny et Felix Mendelssohn Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Un peu de théorie de Ramsey Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Proposition Six personnes sont dans une pièce. Alors on peut toujours trouver ▶ soit trois qui se connaissent toutes mutuellement, ▶ soit trois qui se croisent toutes pour la première fois. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Représentons la situation par un graphe. ▶ Chaque personne est représentée par un sommet. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Représentons la situation par un graphe. ▶ Chaque personne est représentée par un sommet. ▶ Deux sommets correspondant à des personnes se connaissant sont reliés par une arête rouge. ▶ Deux sommets correspondant à des personnes ne se connaissant pas sont reliés par une arête bleue. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Représentons la situation par un graphe. ▶ Chaque personne est représentée par un sommet. ▶ Deux sommets correspondant à des personnes se connaissant sont reliés par une arête rouge. ▶ Deux sommets correspondant à des personnes ne se connaissant pas sont reliés par une arête bleue. Pour établir la proposition, il suffit de prouver qu’il existe un triangle d’une seule couleur quel que soit le coloriage de ce graphe. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Considérons un sommet. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Considérons un sommet. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Considérons un sommet. Les 5 arêtes partant de ce sommet sont coloriées soit en bleu, soit en rouge : il en existe donc au moins 3 de la même couleur, par exemple, rouge. ▷ Si les trois sommets reliés par des arêtes rouges au sommet fixé sont reliés entre eux par des arêtes bleues, alors il y a un triangle bleu. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Considérons un sommet. Les 5 arêtes partant de ce sommet sont coloriées soit en bleu, soit en rouge : il en existe donc au moins 3 de la même couleur, par exemple, rouge. ▷ Si les trois sommets reliés par des arêtes rouges au sommet fixé sont reliés entre eux par des arêtes bleues, alors il y a un triangle bleu. ▷ Sinon, deux de ces sommets sont reliés par une arête rouge : ils forment un triangle rouge (avec le sommet fixé). Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion En revanche, le théorème n’est plus toujours vrai pour seulement cinq personnes comme on peut le voir avec le graphe suivant où il n’existe pas de triangle d’une seule couleur. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion ▷ Si l’on dispose 3 plaquettes dans 2 tiroirs, il y a au moins 2 plaquettes dans le même tiroir ▷ Si l’on réunit 6 personnes, il y a au moins « triangle » monochrome Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion ▷ Si l’on dispose 3 plaquettes dans 2 tiroirs, il y a au moins 2 plaquettes dans le même tiroir (mais avec 2 plaquettes...) ▷ Si l’on réunit 6 personnes, il y a au moins « triangle » monochrome (mais avec 5 personnes...) Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Proposition Neuf personnes sont dans une pièce. Alors, on peut toujours trouver ▶ soit trois qui se connaissent toutes mutuellement, ▶ soit quatre qui se croisent toutes pour la première fois. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Un graphe à k sommets est complet quand on trace toutes les arêtes possibles entre ces k sommets Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Un graphe à k sommets est complet quand on trace toutes les arêtes possibles entre ces k sommets (soit ( k 2 ) = k(k−1) 2 arêtes) Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Un graphe à k sommets est complet quand on trace toutes les arêtes possibles entre ces k sommets (soit ( k 2 ) = k(k−1) 2 arêtes) On retrouve un triangle pour k = 3 et le carré avec diagonales pour k = 4. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Théorème Soit p et q des entiers supérieurs à 2 fixés. Alors, il existe un entier N tel que tout coloriage du graphe complet à N sommets en deux couleurs rouge et bleu contient ▶ soit un sous-graphe complet rouge à p sommets, ▶ soit un sous-graphe complet bleu à q sommets. Notons R(p, q) le plus petit entier N vérifiant la conclusion de ce théorème. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Frank Plumpton Ramsey (22 février 1903 - 19 janvier 1930) ▶ Britannique ▶ Logicien, économiste, mathématicien ▶ Frère de l’archevêque de Cantorbury ▶ Mort d’une maladie du foie Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Proposition R(3, 3) = 6. Proposition Pour tout entier q supérieur à 2, R(2, q) = q. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Voici toutes les valeurs connues de R(p, q)(= R(q, p)) pour p, q ≥ 3 : 3 4 5 6 7 8 9 3 6 9 14 18 23 28 36 4 9 18 25 5 14 25 6 18 7 23 8 28 9 36 Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Supposons que des extraterrestres envahissent la Terre et menacent de l’anéantir dans un an si les êtres hu- mains ne parviennent pas à trouver le nombre de Ram- sey pour cinq rouges et cinq bleus. Nous pourrions réunir les meilleurs esprits et les ordinateurs les plus rapides du monde et, en un an, nous pourrions proba- blement calculer cette valeur. Si les extraterrestres demandaient le nombre de Ramsey pour six rouges et six bleus, nous n’aurions d’autre choix que de lancer une attaque préventive. Pál Erdős Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Nous allons démontrer le résultat suivant : Proposition R(6, 6) > 17. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Nous allons démontrer le résultat suivant : Proposition R(6, 6) > 17. Proposition Il existe une coloration du graphe complet à 17 sommets qui n’admet pas de sous-graphe complet monochrome à 6 sommets. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion ▶ Il y a 2(17 2 ) = 2136 ≈ 8, 7.1040 coloriages du graphe à 17 sommets, Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion ▶ Il y a 2(17 2 ) = 2136 ≈ 8, 7.1040 coloriages du graphe à 17 sommets, ▶ et chacun comporte ( 17 6 ) = 12376 sous-graphes à 6 sommets (et donc 15 arêtes). Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion ▶ Il y a 2(17 2 ) = 2136 ≈ 8, 7.1040 coloriages du graphe à 17 sommets, ▶ et chacun comporte ( 17 6 ) = 12376 sous-graphes à 6 sommets (et donc 15 arêtes). La vérification exhaustive serait plutôt longue, non ? Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion La méthode probabiliste Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Esther Szekeres (20 février 1910 – 28 août 2005), George Szekeres (29 mai 1911 – 28 août 2005), Pál Erdős (26 mars 1913 - 20 septembre 1996) ▶ Hongrois ▶ Mathématiciens (combinatoire) Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion La « méthode probabiliste » repose sur trois étapes 1. On cherche une solution X du problème déterministe au hasard 2. On calcule l’espérance de cette variable aléatoire 3. On applique le lemme suivant : Lemme Soit X une variable aléatoire réelle discrète d’espérance m. Alors, il existe une valeur prise par X inférieure ou égale à m. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Exercice Soit v1 , …, vn des vecteurs de norme 1. Montrer qu’il existe des signes ε1 , …, εn ∈ {−1, 1} tels que ∥ε1 v1 + · · · + εn vn∥ ≤ √ n. 1 √ 3 v2 v1 v3 Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Exercice Soit v1 , …, vn des vecteurs de norme 1. Montrer qu’il existe des signes ε1 , …, εn ∈ {−1, 1} tels que ∥ε1 v1 + · · · + εn vn∥ ≤ √ n. 1 √ 3 v2 v1 v3 v2 − v1 − v3 Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Considérons X1 , …, Xn des variables aléatoires mutuellement indépen- dantes, de même loi donnée par P(X1 = 1) = P(X1 = −1) = 1 2 , puis construisons la variable aléatoire U = X1 v1 + · · · + Xn vn . Alors, ∥U∥2 = ⟨ n ∑ i=1 Xi vi n ∑ j=1 Xj vj ⟩ = n ∑ i=1 n ∑ j=1 ⟨vi|vj⟩Xi Xj. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Calculons l’espérance de la variable aléatoire réelle ∥U∥2 avec la linéarité. E ( ∥U∥2 ) = n ∑ i=1 n ∑ j=1 ⟨vi|vj⟩E(Xi Xj). Notons que, pour des entiers distincts i et j, on obtient E(Xi Xj) = E(Xi)E(Xj) = 0, Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Calculons l’espérance de la variable aléatoire réelle ∥U∥2 avec la linéarité. E ( ∥U∥2 ) = n ∑ i=1 n ∑ j=1 ⟨vi|vj⟩E(Xi Xj). Notons que, pour des entiers distincts i et j, on obtient E(Xi Xj) = E(Xi)E(Xj) = 0, donc E ( ∥U∥2 ) = n ∑ i=1 ∥vi∥2E(X2 i ). Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Par ailleurs, pour tout entier i, E(X2 i ) = E(1) = 1, d’où E ( ∥U∥2 ) = n ∑ i=1 ∥vi∥2. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Par ailleurs, pour tout entier i, E(X2 i ) = E(1) = 1, d’où E ( ∥U∥2 ) = n ∑ i=1 ∥vi∥2. Comme par hypothèse les vecteurs vi sont unitaires, on obtient finalement, E ( ∥U∥2 ) = n. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Par ailleurs, pour tout entier i, E(X2 i ) = E(1) = 1, d’où E ( ∥U∥2 ) = n ∑ i=1 ∥vi∥2. Comme par hypothèse les vecteurs vi sont unitaires, on obtient finalement, E ( ∥U∥2 ) = n. Avec le lemme, il existe une réalisation de U telle que ∥U∥2 ≤ n. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Revenons aux questions de graphes et de théorie de Ramsey. Fixons n un entier supérieur à 2. Considérons un graphe aléatoire à n sommets tel que chaque arête est coloriée ▶ en rouge avec probabilité 1 2 , Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Revenons aux questions de graphes et de théorie de Ramsey. Fixons n un entier supérieur à 2. Considérons un graphe aléatoire à n sommets tel que chaque arête est coloriée ▶ en rouge avec probabilité 1 2 , ▶ en bleu avec probabilité 1 2 , Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Revenons aux questions de graphes et de théorie de Ramsey. Fixons n un entier supérieur à 2. Considérons un graphe aléatoire à n sommets tel que chaque arête est coloriée ▶ en rouge avec probabilité 1 2 , ▶ en bleu avec probabilité 1 2 , ▶ indépendamment de toutes les autres. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Proposition En moyenne, le graphe aléatoire comporte n(n−1) 4 arêtes rouges. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Proposition En moyenne, le graphe aléatoire comporte n(n−1) 4 arêtes rouges. Proposition Soit X la variable aléatoire égale au nombre d’arêtes rouges dans le graphe aléatoire. Alors, E(X) = n(n−1) 4 . Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Notons, pour chaque arête a, a la variable aléatoire qui vaut 1 si a est rouge, 0 sinon. a Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Notons, pour chaque arête a, a la variable aléatoire qui vaut 1 si a est rouge, 0 sinon. a a = 1 Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Notons, pour chaque arête a, a la variable aléatoire qui vaut 1 si a est rouge, 0 sinon. a a = 0 Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Notons, pour chaque arête a, a la variable aléatoire qui vaut 1 si a est rouge, 0 sinon. Alors, X = ∑ a a. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Par linéarité de l’espérance E(X) = E ( ∑ a a ) = ∑ a E(a) Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Par linéarité de l’espérance E(X) = E ( ∑ a a ) = ∑ a E(a) = ∑ a (1 2 1 + 1 2 0 ) Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Par linéarité de l’espérance E(X) = E ( ∑ a a ) = ∑ a E(a) = ∑ a (1 2 1 + 1 2 0 ) = ( n 2 ) 1 2 = n(n − 1) 4 . Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Proposition Soit N3 la variable aléatoire égale au nombre de triangles rouges dans le graphe aléatoire. Alors, E(N3) = ( n 3 ) 1 8 . Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Notons, pour chaque triangle t, t la variable aléatoire qui vaut 1 si t est rouge, 0 sinon. Alors, N3 = ∑ t t, puis par linéarité de l’espérance E(N3) = ∑ t E(t) = ∑ t ((1 2 )3 1 + ( 1 − (1 2 )3 ) 0 ) = ( n 3 ) 1 8 . Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Proposition Soit Nk la variable aléatoire égale au nombre de sous-graphes complets à k sommets avec arêtes toutes rouges dans le graphe aléatoire. Alors, E(Nk) = ( n k ) 2−(k 2 ). Proposition Soit N′ k la variable aléatoire égale au nombre de sous-graphes complets à k sommets entièrement avec arêtes toutes bleues dans le graphe aléatoire. Alors, E(N′ k ) = ( n k ) 2−(k 2 ). Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Proposition Soit N la variable aléatoire égale au nombre de sous-graphes complets à k sommets avec arêtes toutes de la même couleur dans le graphe aléatoire. Alors, E(N) = ( n k ) 21−(k 2 ). Il suffit de noter que N = Nk +N′ k puis d’utiliser la linéarité de l’espérance et les résultats précédents E(N) = E(Nk) + E(N′ k ) = ( n k ) 2−(k 2 ) + ( n k ) 2−(k 2 ) = ( n k ) 21−(k 2 ). Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion En appliquant à nouveau le lemme, on obtient Théorème Si ( n k ) 21−(k 2 ) < 1, alors il existe une coloration du graphe complet à n sommets qui n’admet aucun sous-graphe complet à k sommets monochromes. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion En appliquant à nouveau le lemme, on obtient Théorème Si ( n k ) 21−(k 2 ) < 1, alors il existe une coloration du graphe complet à n sommets qui n’admet aucun sous-graphe complet à k sommets monochromes. En particulier avec n = 17 et k = 6, ( n k ) 21−(k 2 ) = ( 17 6 ) 214 = 12376 16384 < 1. Le résultat annoncé est établi ! Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Théorème Pour tout entier k ≥ 3, R(k, k) > 1 √ 2e 2− 1 k k2k 2 . Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Théorème Pour tout entier k ≥ 3, R(k, k) > 1 √ 2e 2− 1 k k2k 2 . Avec le théorème précédent, il suffit d’établir que l’entier n = 1 √ 2e 2− 1 k k2k 2 vérifie l’inégalité en hypothèse. Or, ( n k ) 2−(k 2 )+1 < nk k! 2−(k 2 )+1 < e−k2− k 2 −1kk2k2 2 ek kk 2−(k 2 )+1 < 1, en utilisant la minoration k! > ( k e )k . Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion On peut préférer la minoration plus maniable : pour tout entier k ≥ 3, R(k, k) > k2 k 2 −2. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion On peut préférer la minoration plus maniable : pour tout entier k ≥ 3, R(k, k) > k2 k 2 −2. En particulier, R(6, 6) > 12 : résultat plus faible que celui déjà démontré. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Conclusion Le hasard permet d’étudier une situation avec de nombreux cas sans avoir à tous les énumérer. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas

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Introduction Un peu de théorie de Ramsey La méthode probabiliste Conclusion Conclusion Le hasard permet d’étudier une situation avec de nombreux cas sans avoir à tous les énumérer. Le meilleur résultat actuellement connu sur R(6, 6) est 102 ≤ R(6, 6) ≤ 165. Roger Mansuy Des probas... où on ne les attend pas