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Universit´
e Paris-Dauphine Ann´
ee 2013-2014
D´
epartement de Math´
ematique
Examen NOISE, sujet A
Pr´
eliminaires
Cet examen est `
a r´
ealiser sur ordinateur en utilisant le langage R et `
a
rendre simultan´
ement sur papier pour les r´
eponses d´
etaill´
ees et sur fichier
informatique Examen pour les fonctions R utilis´
ees. Les fichiers informa-
tiques seront `
a sauvegarder suivant la proc´
edure ci-dessous et seront pris
en compte pour la note finale. Toute duplication de fichiers R fera l’objet
d’une poursuite disciplinaire. L’absence de document enregistr´
e donnera
lieu `
a une note nulle sans possibilit´
e de contestation.
1. Reporter votre login sur votre feuille pour associer votre nom au
compte anonyme.
2. Enregistrez r´
eguli`
erement vos fichiers sur l’ordinateur, avec un nom
de fichier sans accents ni espace, ni caract`
eres sp´
eciaux.
3. Sauvegardez votre script pour chaque exercice dans un nouveau fi-
chier au nom caract´
eristique comme exercice.2.R. Utilisez le dossier
Examen pour stocker ces fichiers.
4. V´
erifiez que vos fichiers ont bien ´
et´
e enregistr´
es en les rouvrant avant
de vous d´
econnecter. N’h´
esitez pas `
a rouvrir votre fichier en dehors de
R (par exemple avec la commande cat) afin de v´
erifier qu’il contient
bien tout votre code R.
5. En cas de probl`
eme ou d’inqui´
etude, contacter un enseignant sans
vous d´
econnecter ni sortir de R. Il nous est sinon impossible de
r´
ecup´
erer les fichiers de sauvegarde automatique.
Aucun document n’est autoris´
e, seuls les documents disponibles sur le
compte anonyme sont permis. L’utilisation de tout service de messagerie
ou de mail est interdite et, en cas d’utilisation av´
er´
ee, se verra sanctionn´
ee.
Les probl`
emes sont ind´
ependants, peuvent ˆ
etre trait´
es dans n’importe quel
ordre. R´
esoudre deux et uniquement deux exercices au choix.
Exercise 1
1. Write an R function called dart(n,t,l) that (a) uniformly generates n random points
(x, y) inside the square [−1, 1] × [−1, 1] and (b) returns the proportion of those
points within the unit circle, x2 +y2 ≤ 1. Use dart to derive an approximation of the
constant π by this experiment and plot the evolutions of the approximation when
the number n of dots grows from 10 to 105.
2. Buffon’s needle is one of the earliest instances of using simulation to approximate
an integral. It uses random throws of needles of length over a wooden floor made
of planks of width t ≥ and derives the constant π from the proportion of needles