多次元尺度法 MDS : multi dimensional scaling 特性値ではなく、 個体間の類似性を表現するようなデータに対して行う分析 多次元の類似性を持つデータを低次元に落とすなどがMDS 類似性といっても、必ず距離データでなくともいい場合(非計量多次元尺度 non metric MDS) 距離データである場合 metric MDS (計量多次元尺度、古典的多次元尺度)

mtric MDS データ点ごとの差の二乗の平方根を考える = − = 1 − 1 2 + ・・・ 変換後のベクトルから、以下のような式が成り立つyの存在する空間を探す − = = = − ここで、距離の公理を満たすことを前提とする δ=0 δ>=0 δij=δji ※公理を満たすデータは「メトリックである」と呼ばれる D=[δij]

単に二乗を考えてみる ⅈ 2 = − 2 = − − = 2 + 2 − 2 ⊤ 後項の内積部分を考えると、iとjの積の総和となる = 1 1 + 22 + ⋯ = 2 + 2 − 2 よって 変形して ＝ ½ ( 2 + 2 − ⅈ 2 ) これは個体間の距離を求めるということは、内積を求めることに等しいということを表現している 内積から別座標yへの変換を考えるのが古典的手法であると先ほど説明した。

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個体ijの原点は、n個の重心であるとする 新しい座標ベクトル y は ⅈ 2 = − 2 = − − よって d^2 ij = -2aij = yi T yi + yj T yj – 2yi T yj =bii + bjj -2bij =aii + ajj – 2aij (距離の公理より) =-2aij

bij = aij – mean(ai+) - mean(a+j) + mean(a++) bij = (yi – y_bar)T(yj-y_bar) B = [bij] このとき、Bは固有値がすべて非負の半正定値行列であることがわかる B=ΓΛΓ ^T = (ΓΛ^1/2)(ΓΛ^1/2) = YY^T ΛはBの固有値を対角として持つ行列である Λ = diag(λ1…λp) Γは固有ベクトルを列変形したもの Γi = λi ^(-1/2) xi

より詳細な計算方法 データDからA=[-1/2 dij^2]を計算 bij = aij – mean(ai+)… から B=[bij]を求める Bのうち、正の固有値 λ だけを削減次元 k個求める(寄与率を計算する場合にはすべて求める) 固有ベクトル Y = (y1~yk)を求める λi = yi T yi となるように固有ベクトルの「長さ」を調整する 個体 pi の座標が yi1 ….yip へと変換される

2 4 5 2 3 6 4 3 7 5 6 7 行平均 mean(ai+) 列平均 mean(a+i)

2次元に落とすならば固有値λから2つの固有値を選び出す。同時に固有ベクトルも2つ得られるはず。 固有ベクトルは長さ1に正規化されて出力されるものなので、 固有値の大きさに調整する yk T yk = λk より、 yi = y’i √λi を計算する 二次元のデータをplotにつかう。 つまり、 調整した一つ目の固有ベクトルをx座標 調整した二つ目の固有ベクトルをy座標 とする

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心理学のような、非類似度データに対する分析 stress(目的関数) を最小にするような個体の配置を求める = ⅆ − መ 2 ෎෍ⅈ 2 1 2 ※Σはj

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