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浅野　晃 関西大学総合情報学部 2023年度秋学期　応用数学（解析） 第２部・基本的な微分方程式　２階線形微分方程式（１） 第７回

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25 2

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25 2 ２階線形微分方程式とは🤔🤔

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t)

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t)

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］ そうではないのが［非斉次］

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］ そうではないのが［非斉次］ 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］ そうではないのが［非斉次］ 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式 3 一般には とりあえず， x ≡ 0 は解［自明解］ x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］ そうではないのが［非斉次］ 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式 3 一般には とりあえず， x ≡ 0 は解［自明解］ x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが［斉次］ そうではないのが［非斉次］ 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 それ以外には？

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式の解 4 x′′ + ax′ + bx = 0 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式の解 4 x′′ + ax′ + bx = 0 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ　λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ　λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ　λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t x ≡ 0 を含む

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については x = eλt は解，その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ　λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t x ≡ 0 を含む

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25 5

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25 5 おわり😪😪

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25 6

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25 6 こんなんでいいのか？🌀🌀

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当に一般解であるためには 7 x = C1eλ1t + C2eλ2t　が本当に一般解であることは， 以下の２項目が正しいことと同じ

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当に一般解であるためには 7 １．解が一意 x = C1eλ1t + C2eλ2t　が本当に一般解であることは， 以下の２項目が正しいことと同じ

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当に一般解であるためには 7 １．解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる x = C1eλ1t + C2eλ2t　が本当に一般解であることは， 以下の２項目が正しいことと同じ

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当に一般解であるためには 7 １．解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる x = C1eλ1t + C2eλ2t　が本当に一般解であることは， 以下の２項目が正しいことと同じ 初期値はこの２つ

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当に一般解であるためには 7 １．解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる x = C1eλ1t + C2eλ2t　が本当に一般解であることは， 以下の２項目が正しいことと同じ ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 初期値はこの２つ

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当に一般解であるためには 7 １．解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる x = C1eλ1t + C2eλ2t　が本当に一般解であることは， 以下の２項目が正しいことと同じ ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば， 一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 初期値はこの２つ

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当に一般解であるためには 8 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば， 一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当に一般解であるためには 8 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば， 一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される ２つの関数が1次独立とは

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当に一般解であるためには 8 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば， 一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される ２つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についても なりたつのは，C1 = C2 = 0 のときだけ

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当に一般解であるためには 8 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば， 一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される ２つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についても なりたつのは，C1 = C2 = 0 のときだけ x1 x2 x1 x2 ◯ ×

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当に一般解であるためには 8 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば， 一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される ２つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についても なりたつのは，C1 = C2 = 0 のときだけ x1 x2 x1 x2 ◯ × 解全体は ２次元ベクトル空間をなす

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当に一般解であるためには 9 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる さっきの例では eλ1t, eλ2t は λ1 ≠ λ2 なら１次独立 １．解が一意 一般解は C1eλ1t + C2eλ2t だけで，他にはない

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当に一般解であるためには 9 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる さっきの例では eλ1t, eλ2t は λ1 ≠ λ2 なら１次独立 １．解が一意 一般解は C1eλ1t + C2eλ2t だけで，他にはない 一般の斉次形 n 階線形微分方程式 （定数係数でない場合も含む）についてなりたつ

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当に一般解であるためには 9 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる さっきの例では eλ1t, eλ2t は λ1 ≠ λ2 なら１次独立 １．解が一意 一般解は C1eλ1t + C2eλ2t だけで，他にはない 一般の斉次形 n 階線形微分方程式 （定数係数でない場合も含む）についてなりたつ 定数係数の場合に，証明してみる

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列で表現する 10 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列で表現する 10 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列で表現する 10 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列で表現する 10 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で x′ = A(t)x + b(t)

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列で表現する 10 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で x′ = A(t)x + b(t)

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列で表現する 10 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で x′ = A(t)x + b(t)

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列で表現する 10 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で x′ = A(t)x + b(t)

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列で表現する 10 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で x′ = A(t)x + b(t)

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列で表現する 10 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で x′ = A(t)x + b(t) １階線形微分方程式の形になる

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列で表現する 10 を， とおいて x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 　 行列で x′ = A(t)x + b(t) １階線形微分方程式の形になる 何階線形微分方程式でも，この形にできる

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件１の証明の概略 11

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件１の証明の概略 11 １．解が一意

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件１の証明の概略 11 １．解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件１の証明の概略 11 １．解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる リプシッツ条件をつかう

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 特異解と解の一意性 12 一意性の十分条件のひとつ「リプシッツ条件」 初期値がひとつ定まったときに，解がひとつだけに決まることを， 解が一意(unique)であるという 微分方程式が のとき，初期値のまわりでどんな x1, x2 についても x′ (t) = f(t, x) |f(t, x1) − f(t, x2)| L|x1 − x2| となる定数 L があるなら，その初期値について一意 x のわずかな変化について， f がいくらでも大きく変化する，ということはない

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件１の証明の概略 13 １．解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる リプシッツ条件をつかう

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件１の証明の概略 13 １．解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる x′ = A(t)x + b(t) 　 の右辺について，関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件１の証明の概略 13 １．解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる x′ = A(t)x + b(t) 　 の右辺について，関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう 　 ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり，

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件１の証明の概略 13 １．解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる x′ = A(t)x + b(t) 　 の右辺について，関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう 　 ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり， ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在する

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件１の証明の概略 13 １．解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる x′ = A(t)x + b(t) 　 の右辺について，関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう 　 ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり， ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在する ユークリッドノルムならそうなる

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件１の証明の概略 13 １．解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる x′ = A(t)x + b(t) 　 の右辺について，関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう 　 ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり， ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在する ノルムが連続なら，任意の有界閉区間で上限が存在する ユークリッドノルムならそうなる

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件１の証明の概略 13 １．解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる x′ = A(t)x + b(t) 　 の右辺について，関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう 　 ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり， ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在する ノルムが連続なら，任意の有界閉区間で上限が存在する リプシッツ条件が成り立ち，一意 ユークリッドノルムならそうなる

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 14 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば， 一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 14 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば， 一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 14 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば， 一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストは n 階の場合を示しているが， ここでは２階の場合を示す

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 14 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば， 一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストは n 階の場合を示しているが， ここでは２階の場合を示す まず，

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 14 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば， 一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストは n 階の場合を示しているが， ここでは２階の場合を示す 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき まず，

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 14 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば， 一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストは n 階の場合を示しているが， ここでは２階の場合を示す 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき のときの初期値は 　 x(t0) = x1e1 +x2e2 +の形で表せる 　 t = t0 の まず，

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 14 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば， 一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストは n 階の場合を示しているが， ここでは２階の場合を示す 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき のときの初期値は 　 x(t0) = x1e1 +x2e2 +の形で表せる 　 t = t0 の まず， は，2次元の基本ベクトル 　 e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 15 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 15 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 15 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる は，2次元の基本ベクトル 　 e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) 　 　 　 ， x(t0) = e1 　 　 の特殊解を，２つ考える x′ = A(t)x 　 をみたすもの ξ1(t) 　 をみたすもの 　 x(t0) = e2 　 　 　 ξ2(t) 　 　 初期値 初期値

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 15 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる は，2次元の基本ベクトル 　 e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) 　 　 　 ， x(t0) = e1 　 　 の特殊解を，２つ考える x′ = A(t)x 　 をみたすもの ξ1(t) 　 をみたすもの 　 x(t0) = e2 　 　 　 ξ2(t) 　 　 初期値 初期値

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 15 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は，１次独立。本当？ は，2次元の基本ベクトル 　 e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) 　 　 　 ， x(t0) = e1 　 　 の特殊解を，２つ考える x′ = A(t)x 　 をみたすもの ξ1(t) 　 をみたすもの 　 x(t0) = e2 　 　 　 ξ2(t) 　 　 初期値 初期値

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 2つの関数が1次独立とは 16 ２つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についても なりたつのは，C1 = C2 = 0 のときだけ x1 x2 x1 x2 ◯ ×

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 2つの関数が1次独立とは 16 ２つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についても なりたつのは，C1 = C2 = 0 のときだけ x1 x2 x1 x2 ◯ ×

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 17 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は，１次独立である は，2次元の基本ベクトル 　 e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) 　 　 　 ， x(t0) = e1 　 　 の特殊解を，２つ考える x′ = A(t)x 　 　 をみたすもの ξ1(t) 　 　 をみたすもの 　 x(t0) = e2 　 　 　 ξ2(t) 　 　 初期値 初期値

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 17 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は，１次独立である は，2次元の基本ベクトル 　 e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) 　 　 　 ， x(t0) = e1 　 　 の特殊解を，２つ考える x′ = A(t)x 　 　 をみたすもの ξ1(t) 　 　 をみたすもの 　 x(t0) = e2 　 　 　 ξ2(t) 　 　 初期値 初期値 　 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 　 　 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 17 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は，１次独立である は，2次元の基本ベクトル 　 e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) 　 　 　 ， x(t0) = e1 　 　 の特殊解を，２つ考える x′ = A(t)x 　 　 をみたすもの ξ1(t) 　 　 をみたすもの 　 x(t0) = e2 　 　 　 ξ2(t) 　 　 初期値 初期値 　 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 　 　 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 17 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は，１次独立である は，2次元の基本ベクトル 　 e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) 　 　 　 ， x(t0) = e1 　 　 の特殊解を，２つ考える x′ = A(t)x 　 　 をみたすもの ξ1(t) 　 　 をみたすもの 　 x(t0) = e2 　 　 　 ξ2(t) 　 　 初期値 初期値 　 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 　 　 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 17 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は，１次独立である は，2次元の基本ベクトル 　 e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) 　 　 　 ， x(t0) = e1 　 　 の特殊解を，２つ考える x′ = A(t)x 　 　 をみたすもの ξ1(t) 　 　 をみたすもの 　 x(t0) = e2 　 　 　 ξ2(t) 　 　 初期値 初期値 　 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 　 　 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0 c1e1 + c2e2 = 0

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 17 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は，１次独立である は，2次元の基本ベクトル 　 e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) 　 　 　 ， x(t0) = e1 　 　 の特殊解を，２つ考える x′ = A(t)x 　 　 をみたすもの ξ1(t) 　 　 をみたすもの 　 x(t0) = e2 　 　 　 ξ2(t) 　 　 初期値 初期値 　 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 　 　 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0 c1e1 + c2e2 = 0 e1, e2,は１次独立だから

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 17 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は，１次独立である は，2次元の基本ベクトル 　 e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) 　 　 　 ， x(t0) = e1 　 　 の特殊解を，２つ考える x′ = A(t)x 　 　 をみたすもの ξ1(t) 　 　 をみたすもの 　 x(t0) = e2 　 　 　 ξ2(t) 　 　 初期値 初期値 　 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 　 　 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0 c1e1 + c2e2 = 0 e1, e2,は１次独立だから

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 17 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は，１次独立である は，2次元の基本ベクトル 　 e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) 　 　 　 ， x(t0) = e1 　 　 の特殊解を，２つ考える x′ = A(t)x 　 　 をみたすもの ξ1(t) 　 　 をみたすもの 　 x(t0) = e2 　 　 　 ξ2(t) 　 　 初期値 初期値 　 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 　 　 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0 c1e1 + c2e2 = 0 e1, e2,は１次独立だから これがなりたつのは c1 = c2 = 0 に限る

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 17 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は，１次独立である は，2次元の基本ベクトル 　 e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) 　 　 　 ， x(t0) = e1 　 　 の特殊解を，２つ考える x′ = A(t)x 　 　 をみたすもの ξ1(t) 　 　 をみたすもの 　 x(t0) = e2 　 　 　 ξ2(t) 　 　 初期値 初期値 　 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 　 　 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0 c1e1 + c2e2 = 0 e1, e2,は１次独立だから これがなりたつのは c1 = c2 = 0 に限る 👌👌

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 　 ， x(t0) = e1 　 　 をみたす ξ1(t) 　 をみたす 　 x(t0) = e2 　 　 　 　 ξ2(t) 　 　 　 初期値 初期値

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 　 ， x(t0) = e1 　 　 をみたす ξ1(t) 　 をみたす 　 x(t0) = e2 　 　 　 　 ξ2(t) 　 　 　 初期値 初期値

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 　 ， x(t0) = e1 　 　 をみたす ξ1(t) 　 をみたす 　 x(t0) = e2 　 　 　 　 ξ2(t) 　 　 　 初期値 初期値 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 　 ， x(t0) = e1 　 　 をみたす ξ1(t) 　 をみたす 　 x(t0) = e2 　 　 　 　 ξ2(t) 　 　 　 初期値 初期値 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき のときの初期値は 　 x(t0) = x1e1 +x2e2 + 　 　 の形で表せる 　 t = t0 の 　 　

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 　 ， x(t0) = e1 　 　 をみたす ξ1(t) 　 をみたす 　 x(t0) = e2 　 　 　 　 ξ2(t) 　 　 　 初期値 初期値 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき のときの初期値は 　 x(t0) = x1e1 +x2e2 + 　 　 の形で表せる 　 t = t0 の 　 　 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の１次結合 を考えると

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 　 ， x(t0) = e1 　 　 をみたす ξ1(t) 　 をみたす 　 x(t0) = e2 　 　 　 　 ξ2(t) 　 　 　 初期値 初期値 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき のときの初期値は 　 x(t0) = x1e1 +x2e2 + 　 　 の形で表せる 　 t = t0 の 　 　 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の１次結合 を考えると 　 t = t0 の 　 　 のとき x1e1 + x2e2

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 　 ， x(t0) = e1 　 　 をみたす ξ1(t) 　 をみたす 　 x(t0) = e2 　 　 　 　 ξ2(t) 　 　 　 初期値 初期値 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき のときの初期値は 　 x(t0) = x1e1 +x2e2 + 　 　 の形で表せる 　 t = t0 の 　 　 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の１次結合 を考えると 　 t = t0 の 　 　 のとき x1e1 + x2e2

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 　 ， x(t0) = e1 　 　 をみたす ξ1(t) 　 をみたす 　 x(t0) = e2 　 　 　 　 ξ2(t) 　 　 　 初期値 初期値 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき のときの初期値は 　 x(t0) = x1e1 +x2e2 + 　 　 の形で表せる 　 t = t0 の 　 　 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の１次結合 を考えると 　 t = t0 の 　 　 のとき x1e1 + x2e2 　 を x(t) 　 　 ・一般解で表された ・特殊解の１次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t)

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 　 ， x(t0) = e1 　 　 をみたす ξ1(t) 　 をみたす 　 x(t0) = e2 　 　 　 　 ξ2(t) 　 　 　 初期値 初期値 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき のときの初期値は 　 x(t0) = x1e1 +x2e2 + 　 　 の形で表せる 　 t = t0 の 　 　 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の１次結合 を考えると 　 t = t0 の 　 　 のとき x1e1 + x2e2 　 を x(t) 　 　 ・一般解で表された ・特殊解の１次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t)

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 　 ， x(t0) = e1 　 　 をみたす ξ1(t) 　 をみたす 　 x(t0) = e2 　 　 　 　 ξ2(t) 　 　 　 初期値 初期値 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき のときの初期値は 　 x(t0) = x1e1 +x2e2 + 　 　 の形で表せる 　 t = t0 の 　 　 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の１次結合 を考えると 　 t = t0 の 　 　 のとき x1e1 + x2e2 　 を x(t) 　 　 ・一般解で表された ・特殊解の１次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t)

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 　 ， x(t0) = e1 　 　 をみたす ξ1(t) 　 をみたす 　 x(t0) = e2 　 　 　 　 ξ2(t) 　 　 　 初期値 初期値 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき のときの初期値は 　 x(t0) = x1e1 +x2e2 + 　 　 の形で表せる 　 t = t0 の 　 　 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の１次結合 を考えると 　 t = t0 の 　 　 のとき x1e1 + x2e2 　 を x(t) 　 　 ・一般解で表された ・特殊解の１次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t)

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 　 ， x(t0) = e1 　 　 をみたす ξ1(t) 　 をみたす 　 x(t0) = e2 　 　 　 　 ξ2(t) 　 　 　 初期値 初期値 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき のときの初期値は 　 x(t0) = x1e1 +x2e2 + 　 　 の形で表せる 　 t = t0 の 　 　 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の１次結合 を考えると 　 t = t0 の 　 　 のとき x1e1 + x2e2 　 を x(t) 　 　 ・一般解で表された ・特殊解の１次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t)

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 　 ， x(t0) = e1 　 　 をみたす ξ1(t) 　 をみたす 　 x(t0) = e2 　 　 　 　 ξ2(t) 　 　 　 初期値 初期値 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき のときの初期値は 　 x(t0) = x1e1 +x2e2 + 　 　 の形で表せる 　 t = t0 の 　 　 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の１次結合 を考えると 　 t = t0 の 　 　 のとき x1e1 + x2e2 　 を x(t) 　 　 ・一般解で表された ・特殊解の１次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) どちらも同じ初期値をもつ

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 　 ， x(t0) = e1 　 　 をみたす ξ1(t) 　 をみたす 　 x(t0) = e2 　 　 　 　 ξ2(t) 　 　 　 初期値 初期値 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき のときの初期値は 　 x(t0) = x1e1 +x2e2 + 　 　 の形で表せる 　 t = t0 の 　 　 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の１次結合 を考えると 　 t = t0 の 　 　 のとき x1e1 + x2e2 　 を x(t) 　 　 ・一般解で表された ・特殊解の１次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) どちらも同じ初期値をもつ 一意だから，それらは同じ解である

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 条件２の証明の概略 18 ２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる 　 ， x(t0) = e1 　 　 をみたす ξ1(t) 　 をみたす 　 x(t0) = e2 　 　 　 　 ξ2(t) 　 　 　 初期値 初期値 　 を x(t) 　 　 　 一般解を とするとき のときの初期値は 　 x(t0) = x1e1 +x2e2 + 　 　 の形で表せる 　 t = t0 の 　 　 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の１次結合 を考えると 　 t = t0 の 　 　 のとき x1e1 + x2e2 　 を x(t) 　 　 ・一般解で表された ・特殊解の１次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) どちらも同じ初期値をもつ 一意だから，それらは同じ解である x(t) = x1ξ1(t) + x2ξ2(t)

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25 19

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25 19 定数係数の 斉次形２階線形微分方程式を解く💡💡

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式を解く 20 定数係数の 斉次形２階線形微分方程式 x′′ + ax′ + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 　 　 をみたす λ について x = eλt は解

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式を解く 20 定数係数の 斉次形２階線形微分方程式 x′′ + ax′ + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 　 　 をみたす λ について x = eλt は解 特性方程式という

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式を解く 20 定数係数の 斉次形２階線形微分方程式 特性方程式の解の形によって，３パターン x′′ + ax′ + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 　 　 をみたす λ について x = eλt は解 特性方程式という

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２階線形微分方程式を解く 20 定数係数の 斉次形２階線形微分方程式 特性方程式の解の形によって，３パターン x′′ + ax′ + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 　 　 をみたす λ について x = eλt は解 特性方程式という 異なる２つの実数解の場合 異なる２つの虚数解の場合 重解の場合

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数解が２つの場合 21 特性方程式の 異なる２つの実数解 λ1, λ2 eλ1t, eλ2t 　 微分方程式の １次独立な解 一般解は 　 x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t 解 表 　

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 実数解が２つの場合 21 特性方程式の 異なる２つの実数解 （つまり，最初のとおり） λ1, λ2 eλ1t, eλ2t 　 微分方程式の １次独立な解 一般解は 　 x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t 解 表 　

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 虚数解が２つの場合 22 一般解は 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 虚数解が２つの場合 22 さらに計算すると 一般解は 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　 　 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) 　

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 虚数解が２つの場合 22 さらに計算すると 一般解は 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　 　 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) 　 なぜ三角関数になるのかは， また先で

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 虚数解が２つの場合 22 さらに計算すると 一般解は 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　 　 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) 　 なぜ三角関数になるのかは， また先で 　 　 x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 　 定数を置き直して，一般解は

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 虚数解が２つの場合 22 さらに計算すると 一般解は 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　 　 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) 　 なぜ三角関数になるのかは， また先で 　 　 x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 　 定数を置き直して，一般解は 振動を表している

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 虚数解が２つの場合 22 さらに計算すると 一般解は 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t 　 　 　 x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) 　 なぜ三角関数になるのかは， また先で 　 　 x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 　 定数を置き直して，一般解は 振動を表している これも先で

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 23 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 23 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 23 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 23 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 23 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 23 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる 微分方程式の左辺に代入すると

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 23 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 23 これと１次独立なもうひとつの解は ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 23 これと１次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 23 これと１次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 23 これと１次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると 特性方程式の 解と係数の関係により0

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 23 これと１次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると 特性方程式の 解と係数の関係により0 C1eλ1t + C2teλ1t 一般解は

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 重解の場合 23 これと１次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると，微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t 　 teλ1t 　 　 　 (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 　 　 確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると 特性方程式の 解と係数の関係により0 見つけ方はテキストで（定数変化法） C1eλ1t + C2teλ1t 一般解は

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25 24

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25 24 例題🤔🤔

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 25 を解いて， x′′ − 5x′ + 6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 25 を解いて， x′′ − 5x′ + 6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 　 　

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 25 を解いて， x′′ − 5x′ + 6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 　 　 λ = 2, 3 　 　 その解は

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 25 を解いて， x′′ − 5x′ + 6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 　 　 λ = 2, 3 　 　 その解は 異なる２つの実数解なので，微分方程式の一般解は x(t) = C1e2t + C2e3t

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 25 を解いて， x′′ − 5x′ + 6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 　 　 λ = 2, 3 　 　 その解は 異なる２つの実数解なので，微分方程式の一般解は x(t) = C1e2t + C2e3t 初期条件から x(0) = C1 + C2 = 1 x′(0) = 2C1 + 3C2 = 0

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 25 を解いて， x′′ − 5x′ + 6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 　 　 λ = 2, 3 　 　 その解は 異なる２つの実数解なので，微分方程式の一般解は x(t) = C1e2t + C2e3t 初期条件から x(0) = C1 + C2 = 1 x′(0) = 2C1 + 3C2 = 0 C1 = 3, C2 = −2

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 25 を解いて， x′′ − 5x′ + 6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 　 　 λ = 2, 3 　 　 その解は 異なる２つの実数解なので，微分方程式の一般解は x(t) = C1e2t + C2e3t 初期条件から x(0) = C1 + C2 = 1 x′(0) = 2C1 + 3C2 = 0 C1 = 3, C2 = −2 よって，求める特殊解は x(t) = , 3e2t − 2e3t

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25 2023年度秋学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 26 定数係数・斉次形の ２階線形微分方程式 次回は非斉次形 （右辺が０でない）をやります x′′ + ax′ + bx = 0