(2022) Règle, compas et au-delà

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Règle, compas et au-delà Que permettent de construire les outils géométriques? Roger Mansuy Time World Paris, 29 juin 2022

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Introduction

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Savez-vous reconnaître le drapeau français? 1. 2. 3.

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Savez-vous reconnaître le drapeau français? 1. 2. 3. 1. drapeau français 2. pavillon français 3. drapeau français (du 24 février au 5 mars 1848)

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Savez-vous reconnaître le drapeau français? 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

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Savez-vous reconnaître le drapeau français? 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Format du drapeau de: 1. la Suisse, 1/1 2. la Belgique, 13/15 3. la France, 2/3 4. la Pologne, 5/8 5. le Luxembourg, 3/5 6. les États-Unis, 10/19 7. l’Australie, 1/2 8. le Qatar, 11/28

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Voici quelques exceptions dans la liste des drapeaux:

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Le compas et la règle Déterminer les ﬁgures que l’on peut tracer avec: • une règle non graduée et arbitrairement longue, • un compas non gradué.

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Le compas et la règle Déterminer les ﬁgures que l’on peut tracer avec: • une règle non graduée et arbitrairement longue, • un compas non gradué. On peut donc tracer • une droite passant par deux points déjà construits • un cercle centré sur un point déjà construit et d’écartement la distance entre deux points déjà construits • les intersections de ces droites et cercles

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On vériﬁe immédiatement que l’on sait construire • des milieux • des symétriques • des parallèles • des perpendiculaires • ...

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La bisection des angles: couper un angle donné en deux angles égaux. θ θ 2

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La bisection des angles: couper un angle donné en deux angles égaux. θ 2

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La bisection des angles: couper un angle donné en deux angles égaux. θ 2

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La bisection des angles: couper un angle donné en deux angles égaux. θ 2

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La quadrature du rectangle: construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un rectangle donné.

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La quadrature du rectangle: construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un rectangle donné.

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La quadrature du rectangle: construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un rectangle donné.

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La quadrature du rectangle: construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un rectangle donné.

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La duplication du cube: construire un cube de volume double d’un cube donné. 1 3 √ 2 Cela revient à savoir construire un point dont une coordonnée est 3 √ 2.

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La quadrature du cercle: construire un carré d’aire égale à celle d’un disque donné. 1 √ π Cela revient à savoir construire un point dont une coordonnée est √ π.

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La trisection des angles: couper un angle donné en trois angles égaux. θ θ 3 Cela revient à savoir construire un point dont une coordonnée est tan θ 3 .

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Une théorie de la règle et du compas

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Théorème Si on sait construire un point A d’abscisse x et un point B d’ordonnée y, alors on sait construire le point C de coordonnées (x, y). A B x y

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Théorème Si on sait construire un point A d’abscisse x et un point B d’ordonnée y, alors on sait construire le point C de coordonnées (x, y). A B x y C

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Un nombre est constructible si on peut construire un point dont c’est l’abscisse (ou l’ordonnée).

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Un nombre est constructible si on peut construire un point dont c’est l’abscisse (ou l’ordonnée). 1 2 3 1

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Un nombre est constructible si on peut construire un point dont c’est l’abscisse (ou l’ordonnée). 1 2 3 1

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Un nombre est constructible si on peut construire un point dont c’est l’abscisse (ou l’ordonnée). 1 2 3 1 1 3

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Un nombre est constructible si on peut construire un point dont c’est l’abscisse (ou l’ordonnée). 1 2 3 1 1 3 Théorème Tout nombre rationnel est constructible.

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Le théorème de Wantzel (1837) résout entièrement la question de la constructibilité des nombres. Théorème Un nombre x est constructible si, et seulement si, il existe une suite d’extensions de corps quadratiques L0 , …, Ln telle que L0 = Q et x ∈ Ln . Théorème Si un nombre x est constructible, alors il est algébrique et son polynôme minimal est de degré une puissance de 2.

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Retour sur les problèmes grecs: • π (et donc √ π) n’est pas algébrique (Ferdinand von Lindemann, 1882) • le polynôme minimal de 3 √ 2 est de degré 3 • il existe un angle problématique pour la trisection

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Théorème Un polygone régulier à n côtés est constructible à la règle et au compas si, et seulement, si n est le produit d’une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat distincts. Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et 65537. En particulier, les polygones réguliers à 7, 9, 11 côtés ne sont pas constructibles à la règle et au compas.

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D’autres outils

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Avec une règle ”courte”? Théorème Deux points peuvent toujours être reliés avec un règle courte (peu importe leur distance).

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Sans la règle? Théorème Tout point constructible à la règle et au compas est constructible au compas seul. Georg Mohr (1672) puis Lorenzo Mascheroni (1797)

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Sans la règle? Théorème Tout point constructible à la règle et au compas est constructible au compas seul. Georg Mohr (1672) puis Lorenzo Mascheroni (1797)

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Avec un trisecteur d’angle? Théorème La duplication du cube et la quadrature du cercle ne sont pas réalisables avec une règle, un compas et un trisecteur d’angles.

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Conclusion Et si la bonne idée n’était pas d’abandonner les tracés?

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Conclusion Et si la bonne idée n’était pas d’abandonner les tracés? Il existe une méthode qui permet de construire tous les points constructibles à la règle et au compas

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Conclusion Et si la bonne idée n’était pas d’abandonner les tracés? Il existe une méthode qui permet de construire tous les points constructibles à la règle et au compas et davantage: l’origami!

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Théorème Un polygone régulier à n côtés est constructible par origami si, et seulement, si n est le produit d’une puissance de 2, d’une puissance de 3 et de nombres premiers de Pierpont distincts. Voici quelques nombres premiers de Pierpont connus: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257... En particulier, les polygones réguliers à 7, 9 côtés sont constructibles par origami mais celui à 11 côtés ne l’est pas.