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No:284 門松と魔法(2) 原案，解説: camypaper

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問題概要 • 一列に並んだN本の竹が与えられる • 以下の条件を満たすように0本以上の竹を抜くとき， 最大何本残すことが可能か？ – 隣り合う3本の竹の高さが異なり，真ん中の竹の高さが 最大または最小 – 竹が0本 • 制約: 6 5 10 1 10 1     i A N

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考察(1):竹の高さ • 座標圧縮すると竹の高さは最大でも高々N種類 – 竹の取りうる値の範囲はどうでもいい

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考察(2):特徴は？

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考察(2):特徴は？ • ジグザグしている

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考察(2):特徴は？ • ジグザグしている • 同じ高さのものには注意が必要

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考察(2):特徴は？ • ジグザグしている • 同じ高さのものには注意が必要 • 離れている場合には気にしなくても良さそう

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方針(1): どうやって答えを求める？ • 最長増加部分列の亜種っぽい？ – DPでできそう – 状態は？ • 求めたい列を最長門松部分列と呼ぶことにする – この数列は右端と右から2番目の高さによって状態が決まる • 右端の高さをr ，右から2番目の高さがmのときの， 最長門松部分列の長さをdp[m][r]としたとき で表せる   ) , , ( | 1 ] ][ [ max ] ][ [ m r l or m r l and r l m l dp r m dp     

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方針(1): どうやって答えを求める？ • ジグザグしている特徴があったことを考えると 増加してるときと減少してるときを分けてよさそう • mrのときをdec[m][r]で 管理することにすると で表せる。 • これは – 間に合わない     ) , ( | 1 ] ][ [ max ] ][ [ ) , ( | 1 ] ][ [ max ] ][ [ m r l and r l m l inc r m dec m r l and r l m l dec r m inc         ) ( 3 N O

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方針(2):どうやって状態を減らす？ • ここから先ではincだけ考える(対称なので) • 先ほどの漸化式のmを固定することを考える • するとx軸をlの値，y軸をinc[l][m]の値とした 棒グラフが描ける l inc[l][m]

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方針(2):どうやって状態を減らす？ • inc[l][m]のうち，いくつ調べる必要がある？ l inc[l][m]

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方針(2):どうやって状態を減らす？ • inc[l][m]のうち，いくつ調べる必要がある？ – 実はinc[l][m]が最大のものと2番目に大きいものの 2つだけ見ればよい l inc[l][m]

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方針(2):どうやって状態を減らす？ • inc[l][m]が最大のものと2番目に大きいものの どちらかはl≠rを満たす l inc[l][m]

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方針(2):どうやって状態を減らす？ • inc[l][m]が最大のものと2番目に大きいものの どちらかはl≠rを満たす • inc[l][m]が最大のものと2番目に大きいものの どちらもl≠rのとき:最大のものを取ればよい l inc[l][m] r

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方針(2):どうやって状態を減らす？ • inc[l][m]が最大のものと2番目に大きいものの どちらかはl≠rを満たす • inc[l][m]が最大のものがl=rのとき:2番目に大きいもの を取ればよい l inc[l][m] r

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方針(2):どうやって状態を減らす？ • inc[l][m]が最大のものと2番目に大きいものの どちらかはl≠rを満たす • inc[l][m]が2番目に大きいのものがl=rのとき:最大のも のを取ればよい l inc[l][m] r

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方針(2):どうやって状態を減らす？ • lについてinc[l][m]が最大のものと2番目に大きいもの だけを見ればいいことがわかった • 最大のもののlをa,二番目に大きいもののlをbとしたと き漸化式は以下のように表せる • 計算量は – まだ間に合わない ) ( 2 N O            m r b a otherwise m b dec r a m a dec r m inc , , ) ( 1 ] ][ [ ) ( 1 ] ][ [ max ] ][ [

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方針(3): さらに状態を減らせる？ • mを全て見る必要はある？ • ここでlを無視して先ほどの式を眺める            m r b a otherwise m b dec r a m a dec r m inc , , ) ( 1 ] ][ [ ) ( 1 ] ][ [ max ] ][ [

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方針(3): さらに状態を減らせる？ • mを全て見る必要はある？ • ここでlを無視して先ほどの式を眺める            m r b a otherwise m b dec r a m a dec r m inc , , ) ( 1 ] ][ [ ) ( 1 ] ][ [ max ] ][ [

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方針(3): さらに状態を減らせる？ • mを全て見る必要はある？ • ここでlを無視して先ほどの式を眺める • これはRMQ(Range Maximum Query)            m r b a otherwise m b dec r a m a dec r m inc , , ) ( 1 ] ][ [ ) ( 1 ] ][ [ max ] ][ [

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想定解法: RMQ+DP • セグメント木の葉ノードに {最長門松部分列の長さL, 右から2番目の高さl，右端の高さm} をlが異なり，Lが最大になるようなものと，2番目に大きいも のを持たせる(ここまでは配列と一緒) • 節ノードにも同様に2つの子ノードの情報から {最長門松部分列の長さL, 右から2番目の高さl，右端の高さm} をlが異なり， Lが最大になるようなものと，2番目に大きいも のを持たせる

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想定解法: セグメント木のノード • イメージ L1 l1 m1 L2 l2 m1 L2 l2 m2 L4 l4 m2 L1 l1 m1 L4 l4 m2 親ノードはlが異なりLを最大化 するように，子ノードから値を もらう 4 1 4 1 L L and l l   2 1 2 1 L L and l l   4 3 4 3 L L and l l  

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想定解法: セグメント木のノード • イメージ L1 l1 m1 L2 l2 m1 L2 l2 m2 L4 l4 m2 L1 l1 m1 L4 l4 m2 親ノードはlが異なりLを最大化 するように，子ノードから値を もらう 基本的には配列がセグメント木になっただけ！！！ 4 1 4 1 L L and l l   2 1 2 1 L L and l l   4 3 4 3 L L and l l  

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想定解法: セグメント木 • イメージ – さっきのがいっぱいある

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想定解法: RMQ • ある区間におけるlが異なり， Lが最大， 2番目に大きいものが O(log(N))で取得可能 – さっきのがいっぱいある

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想定解法: 最大値の取得 • rに着目しているときに最大のdec[l][m]を返すクエリ • ペアのどちらを返すか注意してやればよい

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想定解法: 2番目に大きい値の取得 • inc[m][r]を更新することを考えると，inc[m][r]が2番目に大きい ものも取得する必要があった 1回目のクエリで得られた位置mで2つの区間に分割して調査

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想定解法: 更新 • 葉ノードから丁寧に根まで押し上げればよい． O(log(N))

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想定解法: RMQ+DP • 以上のように，セグメント木にうまく情報を持たせることで 取得O(log(N))，更新O(log(N))でDPを行うことができる． • 全体としてO(N log(N))

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ジャッジ解 • camypaper: – C# 223行 /7724Bytes

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結果 • First Accepted: – そんなものはない • AC/submit: – 0/12 (0%) • AC/trying: – 0/4 (0%)