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⾃⼰関⼿の圏における モノイド対象 in Scala @phenan

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おことわり ´ 圏論的に厳密な話はしません ´ 雰囲気だけ分かった気持ちになるところが⽬標

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モナドは単なる⾃⼰関⼿の圏における モノイド対象だよ。何か問題でも︖ Philip Lee Wadler

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有名な煽り⽂句 ´ モナドを勉強しようとした⼈の意思を粉砕する ´ 雰囲気だけでも理解しておきたい︕

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分解: ⾃⼰関⼿の圏におけるモノイド対象 ´ 圏 ´ 関⼿ ´ ⾃⼰関⼿ ´ ⾃⼰関⼿の圏 ´ モノイド対象

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圏 (category) ´ 数学的対象とそれらの間の関係(射)の集まり ´ 射は合成可能 ´ 抽象的すぎていまいちピンとこない

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型を対象とし、関数の型の関係を考える ´ 右図だと Byte, Int, String が対象 ´ Byte => Int, Int => String, Byte => String が射 ´ 射の合成可能性 = 関数の合成可能性 Int String Byte

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全部 Option 型にしてみる ´ これも圏 ´ 対象: Option[Byte], Option[Int], Option[String] ´ 射: Option[Byte] => Option[Int], (略) Option[Int] Option[String] Option[Byte]

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⾼階型 F[_] の表現する圏 ´ 対象: 任意の型 T に対する F[T] ´ 射: 任意の型 T1, T2 に対して F[T1] => F[T2] ´ だいたいこいつを考えておけばOK

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Hask圏 ´ 対象: 任意の型 ´ 射: 任意の型 T1, T2 に対して T1 => T2 ´ ⾼階型 F[_] の表現する圏の F が Id のバージョンとも考えられる

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関⼿ ´ 圏から圏への対応付け ´ 射の合成を保存する

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具体例 ´ Option をつけたものに対応させる Int String Byte Option[Int] Option[String] Option[Byte]

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我々はこれを知っている ´ Int => String が Option[Int] => Option[String] に対応する ´ Option.map: (A => B) => Option[A] => Option[B] Int String Byte Option[Int] Option[String] Option[Byte]

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Cats, Scalaz の Functor ´ 射 A => B を 射 F[A] => F[B] に対応させる ´ Hask圏から⾼階型F[_]の表現する圏への関⼿ trait Functor[F[_]] { def map[A, B](f: A => B): F[A] => F[B] }

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⾃⼰関⼿ ´ 関⼿のうち、圏をその圏⾃⾝の⼀部分に対応させるもの ´ フラクタル的なイメージ︖

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Cats, Scalaz の Functor は⾃⼰関⼿ ´ 射 F[A] => F[B] は⾃明にHask圏の射でもある trait Functor[F[_]] { def map[A, B](f: A => B): F[A] => F[B] }

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関⼿の圏 ´ 関⼿は圏を別の圏に移す ´ 関⼿同⼠も合成可能 ´ 関⼿を射とみなして圏を作れる B C A 関⼿ F: A => B 関⼿G∘F: A => C 関⼿G: B => C

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具体例 ´ Option と Future の合成 ´ Option.map: (A => B) => Option[A] => Option[B] ´ Future.map: (A => B) => Future[A] => Future[B] Id Option.map Future.map Future[Option[_]] Option[_]

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⾃⼰関⼿の圏 ´ ⾃⼰関⼿同⼠は合成しても⾃⼰関⼿ ´ ⾃⼰関⼿同⼠を合成する演算 ⊗ を考えると、結果も⾃⼰関⼿になる ´ モノイドっぽい︕==> モノイド圏と呼ばれる ´ モノイドの要件として単位元が必要

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具体例 ´ G[_] ⊗ F[_] -> G[F[_]] になる ´ 単位元: Id Id Option.map Future.map Future[Option[_]] def compose[A, B](f: A => B): G[F[A]] => G[F[B]] = { Functor[G].map(Functor[F].map(f)) } Option[_]

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モノイド対象 ´ モノイド圏の対象Mのうち以下の条件を満たすもの ´ M ⊗ M が M に戻る ´ 単位元 を I として I => M の射が存在する ´ イメージとしては、それ⾃⾝がモノイドであるような対象 ´ ⊗ がそれ⾃⾝の⼆項演算になる ´ それ⾃⾝の単位元をモノイド圏全体の単位元から導ける

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OptionはFunctorの圏のモノイド対象 ´ Option[_] ⊗ Option[_] = Option[Option[_]] ´ flatten すれば Option[_] に戻せる︕ ´ 単位元 Id から Option への射: T => Option[T] ´ これは Some(_) のこと

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Functorの圏のモノイド対象 ´ flatten: F[F[A]] => F[A] と unit: A => F[A] があれば良い ´ つまりこうなる trait Monad[F[_]] extends Functor[F[_]] { def flatten[A](f: F[F[A]]): F[A] def unit[A](f: A): F[A] }