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関西大学総合情報学部 浅野　晃 応用数学（解析） 2024年度春学期 第３部・微分方程式に関する話題 ／ 第11回 振動と微分方程式

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今日は，「振動」を扱う微分方程式💡💡

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 振動とは 3 ある方向に進めば進むほど， 逆向きに進もうとする力が働く ときにおきる運動

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 振動とは 3 ある方向に進めば進むほど， 逆向きに進もうとする力が働く ときにおきる運動 釣り合い位置から両方に往復を繰り返す

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 F = mx′ ′ = m d2x dt2 質点の運動方程式 4 質点＝質量はあるが大きさはない点 　大きさがないので，物体自身の回転などは考えなくてよい ニュートンの運動方程式

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 F = mx′ ′ = m d2x dt2 質点の運動方程式 4 質点＝質量はあるが大きさはない点 　大きさがないので，物体自身の回転などは考えなくてよい 質点に働く力 ニュートンの運動方程式

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 F = mx′ ′ = m d2x dt2 質点の運動方程式 4 質点＝質量はあるが大きさはない点 　大きさがないので，物体自身の回転などは考えなくてよい 質点に働く力 ニュートンの運動方程式 質点の位置

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 F = mx′ ′ = m d2x dt2 質点の運動方程式 4 質点＝質量はあるが大きさはない点 　大きさがないので，物体自身の回転などは考えなくてよい 時刻 質点に働く力 ニュートンの運動方程式 質点の位置

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 F = mx′ ′ = m d2x dt2 質点の運動方程式 4 質点＝質量はあるが大きさはない点 　大きさがないので，物体自身の回転などは考えなくてよい 時刻 質点に働く力 ニュートンの運動方程式 質点の位置 質点の加速度

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 F = mx′ ′ = m d2x dt2 質点の運動方程式 4 質点＝質量はあるが大きさはない点 　大きさがないので，物体自身の回転などは考えなくてよい 時刻 質点に働く力 ニュートンの運動方程式 質点の位置 質点の加速度 質点の質量

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 F = mx′ ′ = m d2x dt2 質点の運動方程式 4 質点＝質量はあるが大きさはない点 　大きさがないので，物体自身の回転などは考えなくてよい 時刻 質点に働く力 ニュートンの運動方程式 質点の位置 質点の加速度 質点の質量 さまざまな振動について 力がどう表されるかを考える

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単振動⚖

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動 6 釣り合い位置にもどろうとする力［復元力］ もっとも単純な振動，復元力（下記）のみが働く

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動 6 原点を釣り合い位置とし，そこからの距離に比例する復元力が働くとすると 釣り合い位置にもどろうとする力［復元力］ もっとも単純な振動，復元力（下記）のみが働く

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動 6 原点を釣り合い位置とし，そこからの距離に比例する復元力が働くとすると 釣り合い位置にもどろうとする力［復元力］ もっとも単純な振動，復元力（下記）のみが働く F = −kx

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動 6 原点を釣り合い位置とし，そこからの距離に比例する復元力が働くとすると 釣り合い位置にもどろうとする力［復元力］ もっとも単純な振動，復元力（下記）のみが働く F = −kx 位置

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動 6 原点を釣り合い位置とし，そこからの距離に比例する復元力が働くとすると 釣り合い位置にもどろうとする力［復元力］ もっとも単純な振動，復元力（下記）のみが働く F = −kx 位置 正の定数

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動 6 原点を釣り合い位置とし，そこからの距離に比例する復元力が働くとすると 釣り合い位置にもどろうとする力［復元力］ もっとも単純な振動，復元力（下記）のみが働く F = −kx 位置 正の定数 釣り合い位置からの方向の逆向きの力なのでマイナス

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の運動方程式 7 F = mx′ ′

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の運動方程式 7 F = −kx F = mx′ ′

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の運動方程式 7 F = −kx より F = mx′ ′ mx′ ′ = − kx

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の運動方程式 7 F = −kx より ω0 = k m とおくと F = mx′ ′ mx′ ′ = − kx

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の運動方程式 7 F = −kx より ω0 = k m とおくと F = mx′ ′ mx′ ′ = − kx x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の運動方程式 7 F = −kx より ω0 = k m とおくと 斉次形の２階線形微分方程式 F = mx′ ′ mx′ ′ = − kx x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の運動方程式 7 F = −kx より ω0 = k m とおくと 斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は λ2 + ω2 0 = 0 F = mx′ ′ mx′ ′ = − kx x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の運動方程式 7 F = −kx より ω0 = k m とおくと 斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は λ2 + ω2 0 = 0 虚数解 λ = ±iω0 F = mx′ ′ mx′ ′ = − kx x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の運動方程式 7 F = −kx より ω0 = k m とおくと 斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は λ2 + ω2 0 = 0 虚数解 λ = ±iω0 x = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t) 一般解は F = mx′ ′ mx′ ′ = − kx x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の運動方程式 8 位置 x は実数だから，C1, C2 とも実数でなければならない x = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t) より x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の運動方程式 8 位置 x は実数だから，C1, C2 とも実数でなければならない x = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t) より 三角関数を合成すると x = A cos(ω0t + φ) x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の運動方程式 8 位置 x は実数だから，C1, C2 とも実数でなければならない x = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t) より 三角関数を合成すると x = A cos(ω0t + φ) A = C2 1 + C2 2 ， x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の運動方程式 8 位置 x は実数だから，C1, C2 とも実数でなければならない x = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t) より 三角関数を合成すると x = A cos(ω0t + φ) A = C2 1 + C2 2 ， φ = − tan−1(C2/C1) x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の運動方程式 8 位置 x は実数だから，C1, C2 とも実数でなければならない x = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t) より 三角関数を合成すると x = A cos(ω0t + φ) A = C2 1 + C2 2 ， φ = − tan−1(C2/C1) x 軸上で [–A, A] の範囲を往復する振動 単振動の式 x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の式 9 x = A cos(ω0t + φ) x 軸上で [–A, A] の範囲を往復する振動 ［振幅］ ［角振動数（角周波数）］ 時間が１秒進むと，(ω0t + φ)が何ラジアン進むか

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の式 9 x = A cos(ω0t + φ) x 軸上で [–A, A] の範囲を往復する振動 ［振幅］ ［角振動数（角周波数）］ 時間が１秒進むと，(ω0t + φ)が何ラジアン進むか １往復とは， 2π ラジアン進むこと それに必要な時間は 2π/ω0 ［周期］

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振動の式 9 x = A cos(ω0t + φ) x 軸上で [–A, A] の範囲を往復する振動 ［振幅］ ［角振動数（角周波数）］ 時間が１秒進むと，(ω0t + φ)が何ラジアン進むか １往復とは， 2π ラジアン進むこと それに必要な時間は 2π/ω0 ［周期］ ［振動数（周波数）］ １秒間に何往復するか？ その回数は，周期の逆数 ω0/2π

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振り子は単振動か？ 10 復元力は θ が小さいとき sinθ は θ で近似できる θ = x / L （ラジアン）なので， 復元力は – (mg / L) x これを k とみれば 単振動 −mg sin θ θ 重力 mg おもりの動く 円弧を x 軸とする θ x 軸方向に作用する 復元力 mgsinθ 糸の長さ L おもりの 位置 x 原点 O

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振り子は単振動か？ 10 復元力は θ が小さいとき sinθ は θ で近似できる θ = x / L （ラジアン）なので， 復元力は – (mg / L) x これを k とみれば 単振動 周期 2π ω0 = 2π m k = 2π m L mg = 2π L g L と g だけで決まる （振り子の等時性） −mg sin θ θ 重力 mg おもりの動く 円弧を x 軸とする θ x 軸方向に作用する 復元力 mgsinθ 糸の長さ L おもりの 位置 x 原点 O

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 単振り子は単振動か？ 10 復元力は θ が小さいとき sinθ は θ で近似できる θ = x / L （ラジアン）なので， 復元力は – (mg / L) x これを k とみれば 単振動 周期 2π ω0 = 2π m k = 2π m L mg = 2π L g L と g だけで決まる （振り子の等時性） θ が小さい，つまり振れ幅が小さいときのみ成り立つ −mg sin θ θ 重力 mg おもりの動く 円弧を x 軸とする θ x 軸方向に作用する 復元力 mgsinθ 糸の長さ L おもりの 位置 x 原点 O

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減衰振動📉📉

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は x′

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は 抵抗力は x′ −ax′

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は 抵抗力は 正の定数 x′ −ax′

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は 抵抗力は 正の定数 逆向きでマイナス x′ −ax′

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は 抵抗力は 正の定数 逆向きでマイナス 運動方程式は x′ −ax′ mx′ ′ = − kx − ax′

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は 抵抗力は 正の定数 逆向きでマイナス 運動方程式は x′ −ax′ mx′ ′ = − kx − ax′

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は 抵抗力は 正の定数 逆向きでマイナス 運動方程式は 　 　 　 ω0 = k m µ = a 2m とおく ［抵抗係数］ x′ −ax′ mx′ ′ = − kx − ax′

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は 抵抗力は 正の定数 逆向きでマイナス 運動方程式は 　 　 　 ω0 = k m µ = a 2m とおく ［抵抗係数］ x′ −ax′ mx′ ′ = − kx − ax′ x′ ′ + 2μx′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2µλ + ω2 0 = 0 λ = −µ ± µ2 − ω2 0 x′ ′ + 2μx′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2µλ + ω2 0 = 0 の場合を考える µ2 < ω2 0 λ = −µ ± µ2 − ω2 0 x′ ′ + 2μx′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2µλ + ω2 0 = 0 の場合を考える µ2 < ω2 0 抵抗力が比較的小さい場合 λ = −µ ± µ2 − ω2 0 x′ ′ + 2μx′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2µλ + ω2 0 = 0 の場合を考える µ2 < ω2 0 抵抗力が比較的小さい場合 は虚数解 λ = −µ ± µ2 − ω2 0 λ = −µ ± µ2 − ω2 0 x′ ′ + 2μx′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2µλ + ω2 0 = 0 の場合を考える µ2 < ω2 0 抵抗力が比較的小さい場合 < 0 は虚数解 λ = −µ ± µ2 − ω2 0 λ = −µ ± µ2 − ω2 0 x′ ′ + 2μx′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2µλ + ω2 0 = 0 の場合を考える µ2 < ω2 0 抵抗力が比較的小さい場合 < 0 は虚数解 λ = −µ ± µ2 − ω2 0 λ = −µ ± µ2 − ω2 0 x = e−µt(C1 cos( ω2 0 − µ2 t) + C2 sin( ω2 0 − µ2 t)) 微分方程式の解 x′ ′ + 2μx′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2µλ + ω2 0 = 0 の場合を考える µ2 < ω2 0 抵抗力が比較的小さい場合 < 0 は虚数解 λ = −µ ± µ2 − ω2 0 λ = −µ ± µ2 − ω2 0 x = e−µt(C1 cos( ω2 0 − µ2 t) + C2 sin( ω2 0 − µ2 t)) 微分方程式の解 三角関数を合成 x = Ae−µt cos( ω2 0 − µ2 t + φ) x′ ′ + 2μx′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2µλ + ω2 0 = 0 の場合を考える µ2 < ω2 0 抵抗力が比較的小さい場合 < 0 は虚数解 λ = −µ ± µ2 − ω2 0 λ = −µ ± µ2 − ω2 0 x = e−µt(C1 cos( ω2 0 − µ2 t) + C2 sin( ω2 0 − µ2 t)) 微分方程式の解 振幅が時間とともに小さくなる ［減衰振動］ 三角関数を合成 x = Ae−µt cos( ω2 0 − µ2 t + φ) x′ ′ + 2μx′ + ω2 0 x = 0

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強制振動と共鳴🤔🤔

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動 15 復元力に加えて，外部から［強制力］がはたらく場合 質点を，角振動数 ω で強制的に振動させる

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動 15 復元力に加えて，外部から［強制力］がはたらく場合 質点を，角振動数 ω で強制的に振動させる 復元力は −kx 　 　

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動 15 復元力に加えて，外部から［強制力］がはたらく場合 質点を，角振動数 ω で強制的に振動させる 強制力は F cos ωt 　 　 復元力は −kx 　 　

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動 15 復元力に加えて，外部から［強制力］がはたらく場合 質点を，角振動数 ω で強制的に振動させる 強制力は F cos ωt 　 　 復元力は −kx 　 　 運動方程式は mx′ ′ = − kx + F cos ωt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動 15 復元力に加えて，外部から［強制力］がはたらく場合 質点を，角振動数 ω で強制的に振動させる ω0 = k m 強制力は F cos ωt 　 　 復元力は −kx 　 　 運動方程式は f = F m mx′ ′ = − kx + F cos ωt x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動 15 復元力に加えて，外部から［強制力］がはたらく場合 質点を，角振動数 ω で強制的に振動させる ω0 = k m 強制力は F cos ωt 　 　 復元力は −kx 　 　 運動方程式は f = F m mx′ ′ = − kx + F cos ωt x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動 15 復元力に加えて，外部から［強制力］がはたらく場合 質点を，角振動数 ω で強制的に振動させる ω0 = k m 強制力は F cos ωt 　 　 復元力は −kx 　 　 運動方程式は f = F m これは非斉次形の２階線形微分方程式 mx′ ′ = − kx + F cos ωt x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動の運動方程式 16 単振動の式と同じ 対応する斉次形の微分方程式は 一般解は x = A cos(ω0t + φ) x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動の運動方程式 16 単振動の式と同じ 対応する斉次形の微分方程式は 一般解は x = A cos(ω0t + φ) 特殊解をひとつ見つける x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動の運動方程式 16 単振動の式と同じ 対応する斉次形の微分方程式は 一般解は x = A cos(ω0t + φ) 特殊解をひとつ見つける x = C cos ωt を入れてみると x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動の運動方程式 16 単振動の式と同じ 対応する斉次形の微分方程式は 一般解は x = A cos(ω0t + φ) 特殊解をひとつ見つける x = C cos ωt を入れてみると C(ω2 0 − ω2) cos ωt = f cos ωt x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動の運動方程式 16 単振動の式と同じ 対応する斉次形の微分方程式は 一般解は x = A cos(ω0t + φ) 特殊解をひとつ見つける x = C cos ωt を入れてみると C(ω2 0 − ω2) cos ωt = f cos ωt よって， C = f ω2 0 − ω2 のとき ω ̸= ω0 x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動の運動方程式 16 単振動の式と同じ 対応する斉次形の微分方程式は 一般解は x = A cos(ω0t + φ) 特殊解をひとつ見つける x = C cos ωt を入れてみると C(ω2 0 − ω2) cos ωt = f cos ωt よって， C = f ω2 0 − ω2 のとき ω ̸= ω0 非斉次形の一般解は x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動の運動方程式 16 単振動の式と同じ 対応する斉次形の微分方程式は 一般解は x = A cos(ω0t + φ) 特殊解をひとつ見つける x = C cos ωt を入れてみると C(ω2 0 − ω2) cos ωt = f cos ωt よって， C = f ω2 0 − ω2 のとき ω ̸= ω0 非斉次形の一般解は x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 − ω2 cos ωt x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt x′ ′ + ω2 0 x = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動 17 ［強制振動］の式 x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 − ω2 cos ωt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動 17 強制力のないときの振動 ［固有振動］ ［強制振動］の式 x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 − ω2 cos ωt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動 17 強制力のないときの振動 ［固有振動］ ［強制振動］の式 x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 − ω2 cos ωt ω0 ［固有角振動数］

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動 17 強制力のないときの振動 ［固有振動］ ［強制振動］の式 x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 − ω2 cos ωt ω0/2π 　 　 ［固有振動数］ ω0 ［固有角振動数］

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動 17 強制力のないときの振動 ［固有振動］ ［強制振動］の式 x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 − ω2 cos ωt 強制振動 ω0/2π 　 　 ［固有振動数］ ω0 ［固有角振動数］

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動 17 強制力のないときの振動 ［固有振動］ ［強制振動］の式 x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 − ω2 cos ωt 強制振動 ω0/2π 　 　 ［固有振動数］ 強制振動の角振動数 ω が固有角振動数 ω0 に近づくと 強制振動の項が大きくなる ω0 ［固有角振動数］

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 強制振動 17 強制力のないときの振動 ［固有振動］ ω = ω0 のときは発散する 💥💥 ［強制振動］の式 x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 − ω2 cos ωt 強制振動 ω0/2π 　 　 ［固有振動数］ 強制振動の角振動数 ω が固有角振動数 ω0 に近づくと 強制振動の項が大きくなる ω0 ［固有角振動数］

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 共鳴 18 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 共鳴 18 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 共鳴 18 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 共鳴 18 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， また右辺も ω = ω0 としてそれぞれ代入すると x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 共鳴 18 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る −2C1ω0 sin ω0t + 2C2ω0 cos ω0t = f cos ω0t x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， また右辺も ω = ω0 としてそれぞれ代入すると x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 共鳴 18 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る −2C1ω0 sin ω0t + 2C2ω0 cos ω0t = f cos ω0t よって C1 = 0, C2 = f 2ω0 x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， また右辺も ω = ω0 としてそれぞれ代入すると x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 共鳴 18 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る −2C1ω0 sin ω0t + 2C2ω0 cos ω0t = f cos ω0t よって C1 = 0, C2 = f 2ω0 x = A cos(ω0t + φ) + ft 2ω0 sin ω0t 解は x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， また右辺も ω = ω0 としてそれぞれ代入すると x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 共鳴 18 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る −2C1ω0 sin ω0t + 2C2ω0 cos ω0t = f cos ω0t よって C1 = 0, C2 = f 2ω0 x = A cos(ω0t + φ) + ft 2ω0 sin ω0t 解は x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， また右辺も ω = ω0 としてそれぞれ代入すると x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 共鳴 18 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る −2C1ω0 sin ω0t + 2C2ω0 cos ω0t = f cos ω0t よって C1 = 0, C2 = f 2ω0 x = A cos(ω0t + φ) + ft 2ω0 sin ω0t 解は 時間がたつと振動しながら発散する x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， また右辺も ω = ω0 としてそれぞれ代入すると x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 共鳴 18 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る −2C1ω0 sin ω0t + 2C2ω0 cos ω0t = f cos ω0t よって C1 = 0, C2 = f 2ω0 x = A cos(ω0t + φ) + ft 2ω0 sin ω0t 解は 時間がたつと振動しながら発散する［共鳴］ x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， また右辺も ω = ω0 としてそれぞれ代入すると x′ ′ + ω2 0 x = f cos ωt

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問題🌀🌀

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 20 単振動の運動方程式の一般解は 単振動において， のとき となるとき，運動方程式の特殊解を求めよ。 t = 0 x = 0, x′ = ν x = A cos(ω0 t + ϕ) 両辺を t で微分すると x′ = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 20 単振動の運動方程式の一般解は 単振動において， のとき となるとき，運動方程式の特殊解を求めよ。 t = 0 x = 0, x′ = ν x = A cos(ω0 t + ϕ) 両辺を t で微分すると x′ = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ) x = 0, x′ = v のとき 　 となるので t = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 20 単振動の運動方程式の一般解は 単振動において， のとき となるとき，運動方程式の特殊解を求めよ。 t = 0 x = 0, x′ = ν x = A cos(ω0 t + ϕ) 両辺を t で微分すると x′ = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ) x = 0, x′ = v のとき 　 となるので t = 0 x(0) = A cos ϕ = 0 x′ (0) = − Aω0 sin ϕ = v

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 20 単振動の運動方程式の一般解は 単振動において， のとき となるとき，運動方程式の特殊解を求めよ。 t = 0 x = 0, x′ = ν x = A cos(ω0 t + ϕ) 両辺を t で微分すると x′ = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ) x = 0, x′ = v のとき 　 となるので t = 0 x(0) = A cos ϕ = 0 x′ (0) = − Aω0 sin ϕ = v A = 0 だと x ≡ 0 振動にならない

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 20 単振動の運動方程式の一般解は 単振動において， のとき となるとき，運動方程式の特殊解を求めよ。 t = 0 x = 0, x′ = ν x = A cos(ω0 t + ϕ) 両辺を t で微分すると x′ = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ) x = 0, x′ = v のとき 　 となるので t = 0 x(0) = A cos ϕ = 0 x′ (0) = − Aω0 sin ϕ = v A = 0 だと x ≡ 0 振動にならない よって cos ϕ = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 21 x = A cos(ω0 t + ϕ) x′ = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ) x(0) = A cos ϕ = 0 x′ (0) = − Aω0 sin ϕ = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ϕ = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 21 x = A cos(ω0 t + ϕ) x′ = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ) x(0) = A cos ϕ = 0 x′ (0) = − Aω0 sin ϕ = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ϕ = 0 ϕ = π 2 にできる

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 21 x = A cos(ω0 t + ϕ) x′ = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ) x(0) = A cos ϕ = 0 x′ (0) = − Aω0 sin ϕ = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ϕ = 0 ϕ = π 2 にできる sin ϕ = 1 このとき

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 21 x = A cos(ω0 t + ϕ) x′ = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ) x(0) = A cos ϕ = 0 x′ (0) = − Aω0 sin ϕ = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ϕ = 0 ϕ = π 2 にできる sin ϕ = 1 このとき つまり

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 21 x = A cos(ω0 t + ϕ) x′ = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ) x(0) = A cos ϕ = 0 x′ (0) = − Aω0 sin ϕ = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ϕ = 0 ϕ = π 2 にできる sin ϕ = 1 このとき −Aω0 = v つまり

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 21 x = A cos(ω0 t + ϕ) x′ = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ) x(0) = A cos ϕ = 0 x′ (0) = − Aω0 sin ϕ = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ϕ = 0 ϕ = π 2 にできる sin ϕ = 1 このとき −Aω0 = v つまり A = − v ω0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 21 x = A cos(ω0 t + ϕ) x′ = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ) x(0) = A cos ϕ = 0 x′ (0) = − Aω0 sin ϕ = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ϕ = 0 ϕ = π 2 にできる sin ϕ = 1 このとき −Aω0 = v つまり A = − v ω0 以上から，求める特殊解は

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 21 x = A cos(ω0 t + ϕ) x′ = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ) x(0) = A cos ϕ = 0 x′ (0) = − Aω0 sin ϕ = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ϕ = 0 ϕ = π 2 にできる sin ϕ = 1 このとき −Aω0 = v つまり A = − v ω0 以上から，求める特殊解は x = − v ω0 cos(ω0 t + π 2 )

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 21 x = A cos(ω0 t + ϕ) x′ = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ) x(0) = A cos ϕ = 0 x′ (0) = − Aω0 sin ϕ = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ϕ = 0 ϕ = π 2 にできる sin ϕ = 1 このとき −Aω0 = v つまり A = − v ω0 以上から，求める特殊解は x = − v ω0 cos(ω0 t + π 2 ) すなわち

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題 21 x = A cos(ω0 t + ϕ) x′ = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ) x(0) = A cos ϕ = 0 x′ (0) = − Aω0 sin ϕ = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ϕ = 0 ϕ = π 2 にできる sin ϕ = 1 このとき −Aω0 = v つまり A = − v ω0 以上から，求める特殊解は x = − v ω0 cos(ω0 t + π 2 ) すなわち x = v ω0 sin ω0 t

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 22 振動を表す微分方程式 　単振動 　減衰振動 　強制振動 ２階線形微分方程式で表され， それを解くと振動を表す式が得られる