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Unit propagation と 最大流 と 分枝限定法 @wata_orz 1
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自己紹介 東大博士(2016) → 国立情報学研究所（NII） 助教 面白いアルゴリズムを作って遊んでいる 2 ICFPC ◎wata
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以下の論文の紹介 0/1/All CSPs, Half-Integral A-Path Packing, and Linear-Time FPT Algorithms. Yoichi Iwata, Yutaro Yamaguchi, Yuichi Yoshida. FOCS 2018 3 コンテストで出るかも！？ ぜひ、実装してね
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二部グラフ判定 奇数長の閉路があるか？ 4
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二部グラフ判定 5 奇数長の閉路があるか？
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二部グラフ判定 6 奇数長の閉路があるか？
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二部グラフ判定 7 奇数長の閉路があるか？
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二部グラフ判定 8 奇数長の閉路があるか？
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二部グラフ判定 9 Even cycle 奇数長の閉路があるか？
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二部グラフ判定 10 奇数長の閉路があるか？
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二部グラフ判定 11 Odd cycle! 奇数長の閉路があるか？
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-閉路判定 = 1 , 2 12 1 2 の辺を通る閉路があるか？
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-閉路判定 13 ∗ 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
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-閉路判定 14 ∗ 1 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
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-閉路判定 15 ∗ 1 1 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
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-閉路判定 16 ∗ 1 1 1 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
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-閉路判定 17 ∗ 1 1 1 1 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
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-閉路判定 18 ∗ 1 1 1 1 1 2 を通らない閉路 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
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-閉路判定 19 ∗ 1 1 1 1 2 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
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-閉路判定 20 ∗ 1 1 1 1 2 1 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
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-閉路判定 21 ∗ 1 1 1 1 2 1 2 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
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-閉路判定 22 ∗ 1 1 1 1 2 1 2 1 2 を通る閉路 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか？
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Unit Propagation 一点のラベルを決めると、周りのラベルが連鎖的に 決まって行って、線形時間で矛盾が見つかる手法。 他にも… • = , 上で ⊆ が全部非連結か？ • = + という形の連立方程式 • 2-SAT （線形時間にするのは少し非自明） など様々な問題が解ける 23
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判定問題 判定問題 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 24 Unit Propagation で 時間
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最適化問題 判定問題 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 25 Unit Propagation で 時間 最適化問題 Odd Cycle Transversal Subset Feedback Vertex Set Multiway Cut Group Feedback Vertex Set Max 2-SAT Noの場合に、出来るだけ少ない頂点（辺）を取り除いてYesにせよ 有名なNP-hard問題
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最適化問題 判定問題 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 26 Unit Propagation で 時間 最適化問題 Odd Cycle Transversal Subset Feedback Vertex Set Multiway Cut Group Feedback Vertex Set Max 2-SAT Noの場合に、出来るだけ少ない頂点（辺）を取り除いてYesにせよ 有名なNP-hard問題 大きなギャップ
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示したこと = 0 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 27 Unit Propagation で 時間 > Odd Cycle Transversal Subset Feedback Vertex Set Multiway Cut Group Feedback Vertex Set Max 2-SAT 個頂点（辺）を取り除いてYesにせよ Unit Propagation + 最大流の一般化 + 分枝限定法 で (4) 時間 ギャップが消えた！
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示したこと = 0 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 28 Unit Propagation で 時間 > Odd Cycle Transversal Subset Feedback Vertex Set Multiway Cut Group Feedback Vertex Set Max 2-SAT 個頂点（辺）を取り除いてYesにせよ Unit Propagation + 最大流の一般化 + 分枝限定法 で (4) 時間 自然な拡張
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分枝限定法 LP緩和を解いて、 1. 緩和解が を超えたら枝刈り 2. 整数解なら終了 3. 整数でない変数を選んで、0 or 1 で分岐 29 … 2 良い性質 (half-integrality, persistency) のおかげで、分岐の度に緩和解が 0.5以上増加 22 = (4 ) : LP緩和を解く時間
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矛盾ウォーク 分岐等により既にラベルの決まった点集合をとする。 からの unit propagationにより、の二点（同じ場合あり） を結ぶウォーク型の矛盾が見つかる。 30 二部グラフ？ 矛盾!
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LP緩和 を矛盾ウォーク全体の集合とする。 minimize:→ℝ≥0 s. t. ∈() ≥ 1 (∀ ∈ ) 31 0.5 1 0.5
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双対LP 矛盾ウォーク詰め込み問題 maximize:→ℝ≥0 s. t. :∈() ≤ 1 (∀ ∈ ) 32 1 0.5 0.5
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LP緩和の解き方 増大路あり ⇒ フローを増大 増大路なし ⇒ 同じ大きさのカットが得られる () time (Ford–Fulkerson) 33 Max flow Min cut 双対 増大路あり ⇒ 矛盾詰め込みを増大 増大路なし ⇒ 同じ大きさのLP緩和解が得られる () time 矛盾詰め込み LP緩和 双対
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増大路 34 二部グラフ？ 大きさ１の詰め込み
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増大路 35 矛盾判定 alternating path
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増大路 36 alternating path 矛盾
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増大路 37 増大路 矛盾 矛盾 XORを取る
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増大路 38 大きさ2の詰め込み
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増大ペア 39 大きさ１の詰め込み
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40 2つの矛盾する alternating paths wheel を作成 矛盾 増大ペア
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増大ペア 41 3つの重み0.5の矛盾ウォークの和 wheel
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増大路その２ 42 wheel
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増大路その２ 43 alternating path wheelを分解 wheel
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増大路その２ 44 大きさ2の詰め込み
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主LP解の構築 最小カットの構築： 最後の増大路探索（失敗）で到達 できた点と到達出来なかった点の境目の辺を選ぶ 主LP解の構築：最後の増大路探索（失敗）で到達出 来た辺と到達出来なかった辺の境目の点を 0.5 or 1 にする 45 0.5 0.5 alternating paths
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主LP解の構築 最小カットの構築： 最後の増大路探索（失敗）で到達 できた点と到達出来なかった点の境目の辺を選ぶ 主LP解の構築：最後の増大路探索（失敗）で到達出 来た辺と到達出来なかった辺の境目の点を 0.5 or 1 にする 46 1 alternating paths
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主LP解の構築 最小カットの構築： 最後の増大路探索（失敗）で到達 できた点と到達出来なかった点の境目の辺を選ぶ 主LP解の構築：最後の増大路探索（失敗）で到達出 来た辺と到達出来なかった辺の境目の点を 0.5 or 1 にする 47 wheel 0.5 alternating paths
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例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 48
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例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 49 大きさ 3.5 の詰め込み
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例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 50 増大路探索に 失敗
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例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 51 大きさ 3.5 のLP緩和解 0.5 1
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例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 52 この頂点で分岐 0.5 1
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例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 53 1 大きさ 4 の整数解
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まとめ = 0 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 54 Unit Propagation で 時間 > Odd Cycle Transversal Subset Feedback Vertex Set Multiway Cut Group Feedback Vertex Set Max 2-SAT 個頂点（辺）を取り除いてYesにせよ Unit Propagation + 最大流の一般化 + 分枝限定法 で (4) 時間