【論文紹介】 Forecasting at Scale Sean J. Taylor, Benjamin Letham, The American Statistician 2018 (NOT PEER REVIEWED) @fhiyo 1 

Outline - 論文: https://peerj.com/preprints/3190.pdf - 時系列データ分析の枠組みの開発。ソフトウェアとして提供 - time-series dataをprophetに入力するだけで自動的に複数の周期性を計算し、 trendを算出する 2 

時系列分析とは 時間的に得られる系列的なデータに対する分析。 - 過去の時点に対する推定: 平滑化 (smoothing) - 現在の時点に対する推定: 濾波 (filtering)←観測値をフィルタして「状態」を取り出 すイメージ？ - 未来の時点に対する推定: 予測 (forecast / prediction) 例 - 特定の株価の変動から未来の株価が上がるか下がるかを予測する (forecast) - 過去データから上手くデータ間の関係性を表現する線を書く (smoothing) 3 

普通の分析とどう違う？ 一般の回帰分析では最小二乗法 (Ordinary Least Square, OLS) と呼ばれる手法を用 いて分析を行う 最小二乗法の「前提」 - データの独立性: 個々のデータ点は他のデータに対して独立である - 誤差は正規分布 N(0, σ^2) に従い、その分散σ^2は既知である 4 OLSの例 

前提が成り立たないデータに対してOLSしてみる 5 互いに独立な時系列 データに対してOLS gist: https://gist.github.com/fhiyo/5f3a7b9f058d4410e79a4d086bc188fb 

前提が成り立たないデータに対してOLSしてみる 6 互いに独立な時系列 データに対してOLS 高い確度で相関があること が示されてしまった gist: https://gist.github.com/fhiyo/5f3a7b9f058d4410e79a4d086bc188fb 

交差検証がしにくい (できない？) 交差検証: 標本データを訓練用・交差検証用に分割して、解析の妥当性・性能を確認す ること。 時系列データはデータの関連性に方向があるため、下の図のような交差検証用のデー タの交換ができない 7 https://www.kaggle.com/dansbecker/cross-validation 

そもそも見た感じ難しそう - なんだか威圧感がある (こんなのどう やって分析するの？) - でもこの時系列がランダムに生成され たものではなく、何らかの内部構造が あるのならば、それを定式化できるは ず - 株価なら景気とか、広告なら商品訴求 とかの要因があるはず 8 

AR, MA, ARMA - AR(1) (Autoregressive): 自己回帰過程 データが自身の一つ前のデータに関係がある過程 9 φ1 = 0.5 ※ W.N.: ホワイトノイズ 平均が0 分散が時刻に依らず一定 自己共分散が0 であるような時系列データ のこと 

AR, MA, ARMA - MA(1) (Moving Average): 移動平均過程 あるデータとその一つ前のデータが共通成分を持っている ※ 経済学でいうところの「移動平均」とは異なる概念？ ref: https://www2.kumagaku.ac.jp/teacher/~sasayama/macroecon/mailmagaarma.html 10 θ1=1 

AR, MA, ARMA - ARMA(1, 1) (Autoregressive-Mean Average): 自己回帰移動平均モデル AR(1)モデルとMA(1)モデルを組み合わせたもの 11 φ1 = 0.5, θ1 = 1 

Prophetでやりたいこと 下の例にあるような困難な部分をなんとかしたい - 普通に回帰分析すると偽相関が現れてしまう (トレンドに傾きがあるため) - 周期性 (週、月、年、季節、...) や不規則な祝日などのイベントに対応する必要あり - 外れ値に引っ張られて上手くモデリングができない - そもそも、時系列分析についての知識を持っている人が少ない 自動的に外れ値の対処・周期性の検出を行い、かつ解析結果の解釈性を高めることで ドメイン知識を持っていれば時系列分析が行えるようにしたい 12 

Analyst-in-the-Loop 13 

Analyst-in-the-Loop 14 自動化 

Problems Settings decomposable time series model with three main model component → trend, seasonality, holidays 15 g(t): trend function (not periodic) s(t): periodic changes (e.g. weekly, yearly seasonality) h(t): the effects of holidays ε_t: error function (generally, obeyed normally distribution) 

Sample Data -- Number of Event on Facebook 16 

Sample Data -- Number of Event on Facebook 17 明らかに浮いて いるデータ 今までとは違う傾向 年末の謎の 落ち込み 

Prophet Forecast 18 

予測結果を分解するとこんな感じ 19 

既存手法との比較 既存の4つの手法との比較 (なぜ3点だけ？) auto.arima: ARIMAモデルでパラメータを自動推 定したもの ets: 指数平滑化法。直近の過去のデータに強い 影響を受ける snaive: ランダムウォークに週の周期性を加えたも の？ tbats: 指数平滑化された状態空間モデル？ 祝日などの効果も織り込める ARIMAXもあるがそ ちらとは比較していない様子 20 

既存手法との比較 21 end-of-year dipに対して 過剰に反応 trendの変化 を検出できて ない 

トレンド予測モデル: Saturating Growth Model - logistic function 22 https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function#/medi a/File:Logistic-curve.svg C: carrying capacity (環境収容力) k: growth rate (成長率) m: offset parameter 環境収容力と成長率が時 刻依存のバージョン → s_j: change pointsがある 時刻 (j=1, ..., S) δ_j: 時刻s_jにおけるトレン ドの変化率 

トレンド予測モデル: Piecewise Linear Model 閾値を設定しないバージョン。 piecewiseなので、区間ごとにlinearなtrendを持っている、と仮定したもの。 23 tが定まれば定数かつ、 aが1になるまではgは時 刻依存で変化しない →区間ごとに線形 

Trend Forecast Uncertainty - S個のChangePointsを定義、その点tjでは trendが変化し、その変化は δ_tj ~ Laplace(0, τ)である。 δ: 成長率のベクトル。 24 

Seasonality フーリエ変換 N: 整数倍の周波数の数 P: period > For yearly and weekly seasonality we have found N = 10 and N = 3 respectively to work well for most problems. > In our generative model we take β ∼ Normal(0, σ^2) to impose a smoothing prior on the seasonality. → 平滑化されたpriorのβを正規分布から発生させて作る 25 seasonalityの不確実性を計算したい場合は、 MAP推定で はなくMCMCを行うようにすればよい seasonalityのNはAICなどでProphet側が自動で調整する 例: N=10で年周期のX(t) 

Holidays and Events 周期的でない 祝日はその前後も似たような影響を受ける 26 Di: ある祝日とその前後の日にち (祝日とその前後何日含めるかは ユーザーが入力する )