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両対数極座標離散プロットによ る自然数の可視化 Mathematica研究会10周年記念発表会 2024-11-09 岩淵勇樹 (@butchi_y)

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自己紹介 岩淵 勇樹 金沢大学大学院 自然科学研究科 電子情報科学専攻 修了 博士（工学） Webエンジニアとして8年働いた後、 退職して言語の創造を企む WolframコンファレンスJapan 2018 登壇 発表タイトル: 「可視化と可聴化のための Mathematica～Wolfram言語による映像と音楽の融合～」

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研究で大事にしてること: 可視化 ● 視覚は重要な知覚 ● 人間がものごとを 理解するのは 一次元でも三次元 でもなく二次元 ● 目に見えることが 研究を促進する サイエンスアゴラ2015 研究100連発(日曜数学) 「目に見えて楽しい数学」

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『bion』『waon』(2008) 大学時代の数学の研究を CG作品に昇華 SNSアイコンにも使ってい たぐらいで「代表作」といえ る作品のひとつ

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両対数極座標の定義 連続だったら r = θ のグラフは アルキメデスの螺旋 （どちらも一緒では → ？） (線形)極座標: 両対数極座標: x = r cos(θ) x = log b r cos(2π log b θ) y = r sin(θ) y = log b r cos(2π log b θ)

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両対数極座標離散プロット 離散でプロット (r,θ) → (1,1), (2,2), (3,3), … ⇒ 違いが出てくる (線形)極座標: 両対数極座標: x = r cos(θ) x = log b r cos(2π log b θ) y = r sin(θ) y = log b r cos(2π log b θ)

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整数螺旋 離散プロットされた インデックスを整数として配置 して放射と螺旋が可視化される 数をそのまま置いてしまう プロット方法 (線形)極座標: 両対数極座標:

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整数螺旋を Mathematicaで描く方法

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Mathematicaで実践

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Mathematicaで実践

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Mathematicaで実践

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Mathematicaで実践

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さまざまな プロット

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物智の倍音配列と倍音整数螺旋

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物智の倍音整数螺旋

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対数の底を変えてみる: 3の底

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対数の底を変えてみる: 黄金比の底 ● ギザギザした放射を見つけられる ● フィボナッチ数が放射部分に現れる ● リュカ数も現れる

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フィボナッチの整数螺旋 フィボナッチが出 てくる数表を放 射 と 螺旋 の離 散プロットに落と し込めた 岩淵勇樹「フィボナッチの放射と螺旋」第 22回日本フィボナッチ研究集会 (2024) http://jfa.mathsalon.com/22ndJFAWorkshop.pdf

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応用: コラッツの問題

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コラッツの問題 f(n): nが奇数だったら3n+1, 偶数だったらn/2 任意のnが有限回の遷移 (関数fの適用) で1に到達する ⇒ 「コラッツ予想 」 多くの数学者から「難問」とされる未解決問題

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コラッツの遷移が奇数のとき n (奇数) → 3n + 1 (必ず偶数) → (3n + 1) / 2 (奇数か偶数) 次の奇数に行くまで 約3/2mの増減 ⇒ 増えるのは約3/2の遷移 (奇数→偶数→奇数) のみ 例: 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

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約3/2倍に増える経路 対数の底を3/2にすると 約3/2倍の値の偏角が ほぼ等しくなる ⇒ 可視化できた 数値のプロット (整数螺旋) 離散プロット

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眺めてみる メルセンヌ数 交互

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わかったこと 新しい法則を見つけるまでは至らなかったけれど、 法則性の道しるべになりそうな整然さが垣間見えた （カオスな挙動をシンプルに図示できる可能性） ブログ記事もご覧ください → https://blog.yu.butchi.jp/post/collatz-peak-first/

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「自然数」を「可視化」できたか 自然数同士の「関係」を 可視化できていると言える と考察

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まとめ ● 両対数極座標離散プロットを定義 ● 「整数螺旋」という自然数の可視化方法を提案 ● 対数の底を変えることでさまざまな可視化ができることを示せた

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ご静聴ありがとう ございました