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（補講資料） OLSにおける 推定量 β1 = 共分散 ÷ 分散 の導出 2023-05-17 東京大学大学院経済学研究科・経済学部 横山翔 1

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学部生向け授業の補講資料として、以下テキストで省略されている導出過程を確認する。 西山慶彦ほか『計量経済学』有斐閣, 2019 B.1.1 単回帰の最小2乗推定量と漸近分散の導出 ・回帰分析では推定値と実測値の差（残差平方和）を最小化し、変数間の関係を求める（p111） ・推定量 b0, b1 についてそれぞれ偏微分して最小化問題を解く（p655） 2

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１）以下の連立方程式を解く。 3

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２）式を展開する。 ・Xi と Yi 以外の文字は Σ の前に出す。 ・Xi と Yi が含まれない式1の第2項はN倍になる。 4

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３）式全体に 1/N を掛ける。 5

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４−１）標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入 ４−２）分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx を代入 ４−３）共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar を代入 6

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４−１）標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入 ４−２）分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx を代入 ４−３）共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar を代入 7

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４−１）標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入 ４−２）分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx を代入 ４−３）共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar を代入 8

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４−１）標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入 ４−２）分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx を代入 ４−３）共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar を代入 9 (a-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 Xbarは定数なので Σ の前に出す Xbar は定数なので Σ を外してN倍 ４−１）と同様に 標本平均の定義を代入 右辺の第2項を左辺に移行

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４−１）標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入 ４−２）分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx を代入 ４−３）共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar を代入 10

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４−１）標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入 ４−２）分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx を代入 ４−３）共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar を代入 11 (a-b) (c-d) = ac - bc - ad + bc ・2,3,4項：Xi と Yi 以外は Σ の前に出せる ・2項：4-1 と同様に 1/N * ΣXi = Xbar を代入 ・3項：4-1 と同様に 1/N * ΣYi = Ybar を代入 ・4項：定数項なのでN倍して、1/Nと相殺させる

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４−１）標本平均の定義より 1/N * ΣXi = Xbar、1/N * ΣYi = Ybarを代入 ４−２）分散の定義より 1/N * ΣXi^2 = Xbar^2 + Vx を代入 ４−３）共分散の定義より 1/N * ΣXiYi = Vxy + Xbar * Ybar を代入 12

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ここで第1式にて切片 β0 が導出される 13 ⇔

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５−１）第1式にXbarを掛ける。 ５−２）第2式を式展開して並べ替える。 14

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５−１）第1式にXbarを掛ける。 ５−２）第2式を式展開して並べ替える。 15

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５−１）第1式にXbarを掛ける。 ５−２）第2式を式展開して並べ替える。 16

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５−１）第1式にXbarを掛ける。 ５−２）第2式を式展開して並べ替える。 17

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５−１）第1式にXbarを掛ける。 ５−２）第2式を式展開して並べ替える。 18

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６）第1式 を 第2式 に代入する。 19

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７）β1 について解く。 20 ・掲題「推定量 β1 = 共分散 ÷ 分散」は示された。 ・以降ではテキストの式を導出する。

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８）４−２（分散の定義）と４−３（共分散の定義）を代入し、1/Nを相殺する。 21

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８）４−２（分散の定義）と４−３（共分散の定義）を代入し、1/Nを相殺する。 22

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８）４−２（分散の定義）と４−３（共分散の定義）を代入し、1/Nを相殺する。 23 以上より、推定量 β1 = 共分散 ÷ 分散 ならびにテキストの式を導いた（終）