Improved Driving Functions for Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by Sound Field Synthesis Sascha Spors, Frank Schultz und Till Rettberg Universität Rostock, Institut für Nachrichtentechnik Jahrestagung der Deutschen Gesellschaft für Akustik 16. März 2015, Aachen 

Motivation 

Motivation [Spors et al., DAGA 2015] Synthese einer virtuellen Punktquelle (500 Hz) 4m (Universität Rostock, 64 Lautsprecher, 4 × 4 m, 2.5D Wellenfeldsynthese, xref = [0, 0] m, virtuelle Punktquelle R = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Motivation 2 

Motivation [Spors et al., DAGA 2015] Pegel für verschiedene virtuelle Quellenpositionen (500 Hz) 4m −9 −6 −3 0 3 6 9 12 15 18 relative level (dB) (Universität Rostock, 64 Lautsprecher, 4 × 4 m, 2.5D Wellenfeldsynthese, xref = [0, 0] m, virtuelle Punktquelle R = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Motivation 2 

Motivation [Spors et al., DAGA 2015] Pegel für verschiedene virtuelle Quellenpositionen (500 Hz) 4m −9 −6 −3 0 3 6 9 12 15 18 relative level (dB) (Universität Rostock, 64 Lautsprecher, 4 × 4 m, 2.5D Wellenfeldsynthese, xref = [0, 0] m, virtuelle Punktquelle R = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Motivation 2 

Motivation [Spors et al., DAGA 2015] Pegel für verschiedene virtuelle Quellenpositionen (500 Hz) 4m −9 −6 −3 0 3 6 9 12 15 18 relative level (dB) (Universität Rostock, 64 Lautsprecher, 4 × 4 m, 2.5D Wellenfeldsynthese, xref = [0, 0] m, virtuelle Punktquelle R = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Motivation 2 

Motivation [Spors et al., DAGA 2015] Pegel für verschiedene virtuelle Quellenpositionen am Referenzpunkt 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 angle (deg) 102 103 104 frequency (Hz) −3.0 −1.5 0.0 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 relative level (dB) (Universität Rostock, 64 Lautsprecher, 4 × 4 m, 2.5D Wellenfeldsynthese, xref = [0, 0] m, virtuelle Punktquelle R = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Motivation 2 

Verfahren der Schallfeldsynthese Explizite Lösung Zirkulär/Sphärisch → Higher-Order Ambisonics (HOA) Linear/Planar → Spectral Division Method (SDM) Implizite Lösung Kirchhoff-Helmholtz Integral (KHI) Näherung des KHI → Wellenfeldsynthese (WFS) Equivalent Scattering Approach (ESA) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Grundlagen 3 

Der Equivalent Scattering Approach [Fazi et al. 2012, Colton et al. 1983] Beugung der virtuellen Quelle S(x) am Beugungskörper Vsc Annahme: Keine akustische Interaktion zwischen Vin und Vsc Gesamtes Schallfeld P(x) = S(x) + Ssc(x) ∂Vin −p(r) −p(r)/2 0 Vin 0 ∂Vsc Vsc −pin (r) pin (r) −psc (r) n(s) Abbildung: Franz Zotter −S(x)+ Vsc S(x0 ) ∂G(x − x0 ) ∂n(x0 ) −G(x−x0 ) ∂S(x0 ) ∂n(x0 ) dS(x0 ) =      0, x ∈ Vsc −S(x)/2, x ∈ ∂Vsc −S(x), x / ∈ Vsc Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Grundlagen 4 

Der Equivalent Scattering Approach [Fazi et al. 2012, Colton et al. 1983] Beugung der virtuellen Quelle S(x) am Beugungskörper Vsc Annahme: Keine akustische Interaktion zwischen Vin und Vsc Gesamtes Schallfeld P(x) = S(x) + Ssc(x) ∂Vin −p(r) −p(r)/2 0 Vin 0 ∂Vsc Vsc −pin (r) pin (r) −psc (r) n(s) Abbildung: Franz Zotter Schallweiche Randbedingung P(x0) = 0 für x0 ∈ Vsc − ∂Vsc ∂S(x0 ) ∂n(x0 ) + ∂Ssc (x0 ) ∂n(x0 ) −D(x0 0 0) G(x − x0 ) dS(x0 ) =      S(x), x ∈ Vsc S(x), x ∈ ∂Vsc −Ssc (x), x / ∈ Vsc → Grundlage der Boundary Element Method (BEM) [Juhl, 1993] Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Grundlagen 4 

Beugung an der halbunendlichen Ecke [Rawlings 1987, Möser 2011/15] Beugung eine Linienquelle an einer schallweichen halbunendlichen Ecke (2D) P(ϕ, r, ω) = − jπ α ∞ n=0 1 n sin(νϕ) sin(νϕs ) Jν (ω c r) H(2) ν (ω c rs ) für r ≤ rs Jν (ω c rs ) H(2) ν (ω c r) für r > rs mit ν = nπ α und n = 1 + δ[n]. P(x) = 0 α rs xs ϕs r x ϕ V Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Grundlagen 5 

Beugung an der halbunendlichen Ecke [Rawlings 1987, Möser 2011/15] Beugung eine Linienquelle an einer schallweichen halbunendlichen Ecke (2D) P(ϕ, r, ω) = − jπ α ∞ n=0 1 n sin(νϕ) sin(νϕs ) Jν (ω c r) H(2) ν (ω c rs ) für r ≤ rs Jν (ω c rs ) H(2) ν (ω c r) für r > rs mit ν = nπ α und n = 1 + δ[n]. Gesamtes Schallfeld Gebeugter Anteil (2D, virtuelle Linienquelle xs = [−2, 2] m, 500 Hz, N = 400) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Grundlagen 5 

Ansteuerungsfunktion für 2D Synthese ϕ0 = 0 ϕ0 = α α (ϕ0 , r0 ) −eϕ eϕ V ⇒ D(ϕ0 , r0 , ω) = ∂P(x, ω) ∂n(x0 ) = − 1 r ∂P(ϕ, r, ω) ∂ϕ ϕ=ϕ0,r=r0 D(ϕ0 , r0 , ω) = ± jπ α ∞ n=0 1 n cos(νϕ0 ) sin(νϕs ) ν r0 · Jν (ω c r0 ) H(2) ν (ω c rs ) für r0 ≤ rs Jν (ω c rs ) H(2) ν (ω c r0 ) für r0 > rs für ϕ0 = {0, α} Lösung identisch zu 2D WFS/SDM für α = 180o Beschränkung der Reihenentwicklung N ≥ 2ω c r0 [Möser 2011] Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 6 

2D Synthese einer Linienquelle (500 Hz) Equivalent Scattering Approach 4m (2D ESA, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 7 

2D Synthese einer Linienquelle (500 Hz) Equivalent Scattering Approach 4m 0.0 dB 3 2 1 0 1 2 3 relative level (dB) (2D ESA, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 7 

2D Synthese einer Linienquelle (500 Hz) Wellenfeldsynthese 4m 0.0 dB 3 2 1 0 1 2 3 relative level (dB) (2D ESA, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 7 

2D Synthese einer Linienquelle (500 Hz) Equivalent Scattering Approach 4m 0.0 dB 3 2 1 0 1 2 3 relative level (dB) (2D ESA, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 7 

2D Synthese einer Linienquelle (500 Hz) Equivalent Scattering Approach 4m 0.0 dB 3 2 1 0 1 2 3 relative level (dB) (2D ESA, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 7 

2D Synthese einer Linienquelle (500 Hz) Pegel am Referenzpunkt 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 angle (deg) 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 relative level (dB) WFS ESA (2D ESA/WFS, xref = [2, −2] m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 8 

2D Synthese einer Linienquelle Ansteuerungsfunktion – Betrag 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 r0 in m 20 15 10 5 0 5 |D(r0 ,ω)| in dB ESA 500 Hz ESA 200 Hz WFS 500 Hz WFS 200 Hz (2D ESA/WFS, virtuelle Linienquelle ϕ0 = 135o, r0 = 4 m, N = 250) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 9 

2D Synthese einer Linienquelle Ansteuerungsfunktion – Phasenlaufzeit 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 r0 in m 3 2 1 0 1 2 3 4 5 τph(r0 ,ω) in ms ESA 500 Hz ESA 200 Hz WFS 500 Hz WFS 200 Hz (2D ESA/WFS, virtuelle Linienquelle ϕ0 = 135o, r0 = 4 m, N = 250) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 9 

Räumliche Diskretisierung der Sekundärquellenkontur Equivalent Scattering Approach 4m 0.0 dB 3 2 1 0 1 2 3 relative level (dB) (2D ESA/WFS, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 0.15 m, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Abtastung 10 

Räumliche Diskretisierung der Sekundärquellenkontur Wellenfeldsynthese 4m 0.0 dB 3 2 1 0 1 2 3 relative level (dB) (2D ESA/WFS, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 0.15 m, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Abtastung 10 

Räumliche Diskretisierung der Sekundärquellenkontur Equivalent Scattering Approach 4m 0.0 dB 3 2 1 0 1 2 3 relative level (dB) (2D ESA/WFS, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 0.15 m, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Abtastung 10 

Räumliche Diskretisierung der Sekundärquellenkontur Equivalent Scattering Approach 4m 0.0 dB 3 2 1 0 1 2 3 relative level (dB) (2D ESA/WFS, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 0.15 m, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Abtastung 10 

Ansteuerungsfunktion für 2.5-dimensionale Synthese Vergleich Punkt-/Linienquelle für ω c r 1 mit r = |x − x0| − j 4 H(2) 0 ( ω c r) ≈ 1 j ω c · √ 2πr · 1 4π e−j ω c r r ⇒ Vorfilterung und Korrektur des Pegels bezüglich eines Referenzpunktes xref 1 Ref 3 4 5 distance in m -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 level in dB corrected point source line source Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | 2.5-dimensionale Synthese 11 

Ansteuerungsfunktion für 2.5-dimensionale Synthese Vergleich Punkt-/Linienquelle für ω c r 1 mit r = |x − x0| − j 4 H(2) 0 ( ω c r) ≈ 1 j ω c · √ 2πr · 1 4π e−j ω c r r ⇒ Vorfilterung und Korrektur des Pegels bezüglich eines Referenzpunktes xref 1 Ref 3 4 5 distance in m -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 phase in rad phase deviation Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | 2.5-dimensionale Synthese 11 

2.5-dimensionale Synthese einer Punktquelle Synthetisiertes Schallfeld (500 Hz) 4m 0.0 dB 3 2 1 0 1 2 3 relative level (dB) (2.5D ESA, xref = [2, −2] m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle ϕs = 135o, rs = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | 2.5-dimensionale Synthese 12 

2.5-dimensionale Synthese einer Punktquelle Pegel am Referenzpunkt für verschiedene Quellenpositionen (500 Hz) 3 4 5 6 7 8 9 10 distance rs in m 8 6 4 2 0 2 relative level in dB 2.5D ESA point source (2.5D ESA, xref = [2, −2] m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle ϕs = 135o, rs = 4 m) Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | 2.5-dimensionale Synthese 12 

Schlussfolgerungen Korrekte Synthese ist im Prinzip möglich Räumliche Abtastung der Sekundärquellenkontur ⇒ Lautsprecher in der Ecke Amplitudenfehler im Schallfeld bei der 2.5D Synthese Alternativen für rechteckige Arrays → Vortrag Fiete Winter Do 15:20 Uhr Ausblick Optimale räumliche Abtastung der Sekundärquellenkontur Numerische Stabilität und Effizienz Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Schlussfolgerungen 13 

https://github.com/sfstoolbox/sfs-python http://spatialaudio.net Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Schlussfolgerungen 14