化学プロセスシステム工学　第１０回

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化学プロセスシステム工学第１０回 2017年12月7日 (木) 0 理工学部応用化学科データ化学工学研究室専任講師⾦⼦弘昌

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講義に入る前に確認事項 このスライドはOh-o! Meiji の授業お知らせでダウンロード可能 出席︓Oh-o! Meiji 応用化学科専任講師⾦⼦弘昌 • データ化学工学研究室 • 部屋: 第二校舎D館D409 • E-mail: hkaneko@meiji.ac.jp • Tel: 044-934-7197 • Website: http://datachemeng.com/ • Twitter: @hirokaneko226 1

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前回までの復習 2

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流体加熱プロセス 3 Q T, V, ρ, cP F, Ti F, T F [m3・s-1]︓入⼝・出⼝流量 Ti [K]︓入⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 i ︓input o︓output

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連続槽型反応器 連続槽型反応器 (Continuous Stirred Tank Reactor, CSTR) • 反応︓⼀次反応の A → B とする • 流入する A の濃度 CAi で流出する A の濃度 CA (Bの濃度) を制御 4 CAi , F CA , F V, T, rA F [m3・min-1]︓入⼝・出⼝流量 CAi [kmol・m-3]︓入⼝のAの濃度 CA [kmol・m-3]︓CSTR内のAの濃度 V [m3]︓CSTR内の液体体積 T [K]︓CSTR内の液体温度 i ︓input o︓output rA [kmol・m-3 m2]︓Aの反応速度

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タンクの液面高さ(液レベル)制御 5 A Fi Fo Fi [m3・s-1]︓入⼝流量 Fo [m3・s-1]︓出⼝流量 L [m2]︓タンクの液レベル A [m2]︓タンクの断面積 (5 とする) x [-]︓バルブの弁解度 i ︓input o︓output バルブの弁開度 x で液面高さ (液レベル) L を制御 L x

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少し複雑な流体加熱プロセス︓問題設定 6 Q Tm , V1 , ρ, cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓入⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓入⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク１内流体の温度 T [K]︓タンク２内流体の温度 V1 [m3]︓タンク１内流体の体積 V2 [m3]︓タンク２内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク１タンク２ 加熱量 Q で、タンク２の温度 T を制御

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設定値変更してみよう 2500 s・・・まで設定値 25℃ それ以降・・・設定値 30℃ 7

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外乱を加えてみよう 設定値︓ 25 ℃ 2500 s から F を 0.00003 に 8

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PID制御の問題点 出⼒変数が細かく上下に振動したときに、微分項が不安定になる • 微分時間を小さくする • PI制御にする 設定値を変更したときに、誤差 e(t) が急激に変化するため • 微分項が不安定になる ⁃ 微分先⾏型PID制御 (PI-D制御) • ⽐例項の影響により、入⼒変数もステップ状になる ⁃ ⽐例微分先⾏型PID制御 (I-PD制御) 9

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微分先⾏型PID制御 (PI-D制御) PID制御の微分項について、e(t) ではなく制御変数 y(t) を微分する 外乱に対してはPID制御と同じ挙動 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D de t u t K e t e r dr T u T dt   = + + +      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D dy t u t K e t e r dr T u T dt   = + − +      ( ) ( ) target e t y y t = − t︓時刻 y︓出⼒変数 u︓入⼒変数

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⽐例微分先⾏型PID制御 (I-PD制御) PID制御の⽐例項についても、e(t) ではなく制御変数 y(t) にする 外乱に対してはPID制御と同じ挙動 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D de t u t K e t e r dr T u T dt   = + + +      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D dy t u t K y t e r dr T u T dt   = − + − +      ( ) ( ) target e t y y t = − t︓時刻 y︓出⼒変数 u︓入⼒変数

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PID制御これから ⼀次遅れモデル 二次遅れモデルでは︖ 12 ( ) ( ) ( ) C p dy t T y t K u t dt + = ( ) p C 1 exp t y t K T     = − −           のステップ応答がになったのはどうして︖ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F p 2 2 d y t dy t a D a y t K u t dt dt + + = 微分方程式を解いたり式変形したりする必要がある

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簡単にやりたい︕ ラプラス変換を使おう︕ 13 微分方程式など答え難しいラプラス変換普通の代数方程式式変形後ラプラス逆変換式変形やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界)

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よく使うラプラス変換の特性 ① 線形性 ② 合成積 ③ 積分 ④ 微分 14 ( ) ( ) ( ) ( ) L a f t b g t a L f t b L g t       + = +       ( ) ( ) ( ) ( ) 0 L f t r g r dr L f t L g t ∞       − =          ( ) ( ) 0 1 L f r dr L f t s ∞     =        ( ) ( ) ( ) 0 df t L sL f t f dt     = −      

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よく使うラプラス変換の特性 ⑤ n 回微分 ⑥ むだ時間 15 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 ' 0 0 n n n n n n d f t L s L f t s f s f f dt − − −     = − − −       ⋯ ( ) ( ) ( ) exp L f t r rs L f s     − = −    

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よく使うラプラス(逆)変換 16 t (時間) 領域 s 領域 (あっちの世界) a s 2 1 s 1 s a + ( ) exp at − ( ) sin t ω ( ) cos t ω 2 2 s ω ω + 2 2 s s ω + a t

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⼀次遅れモデルまとめ 17 微分方程式など答え難しいラプラス変換普通の代数方程式式変形後ラプラス逆変換式変形やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界) ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) S S C 1 K K Y s s s T = − + ( ) ( ) ( ) C S T sY s Y s K U s + = ステップ応答 ( ) 1 U s s = ( ) C 1 exp S t y t K T     = − −          

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[練習] 流体加熱プロセス 18 Q T, V, ρ, cP F, Ti F, T F [m3・s-1]︓入⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓入⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 ( ) i P dT F Q T T dt V V c ρ = − +

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[練習] 流体加熱プロセス 19 Q T, V, ρ, cP F, Ti F, T F [m3・s-1]︓入⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓入⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 DIFF DIFF P dT F Q T dt V V c ρ = − + DIFF i T T T = − として、

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[練習] 流体加熱プロセス 20 微分方程式など答え難しいラプラス変換普通の代数方程式式変形後ラプラス逆変換式変形やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界) ステップ応答 ( ) ( ) ( ) DIFF DIFF P dT t Q t F T t dt V V c ρ = − + ( ) DIFF P 1 1 F T t t F c V ρ   = −    

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伝達関数 21 ( ) ( ) ( ) S C 1 Y s K G s U s T s = = + G(s) を伝達関数と呼び、プロセスの入⼒と出⼒との間の関係を表す Y(s) = G(s)U(s) 出⼒ = 伝達関数 × 入⼒ ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) ( ) ( ) C S 1 T s Y s K U s + = ラプラス変換１次遅れモデル

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[練習] １次遅れ＋むだ時間モデルの伝達関数は︖ tD [s]︓むだ時間 22 ( ) ( ) ( ) C S D dy t T y t K u t t dt + = − １次遅れ+むだ時間モデルラプラス変換 ( ) ( ) ( ) ( ) S C exp 1 D Y s K G s t s U s T s = = − + ( ) ( ) ( ) ( ) C S 1 exp D T s Y s K t s U s + = −

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[練習] ２次遅れモデルの伝達関数は︖ ２次遅れモデル (２次遅れ系、２次遅れプロセス、２次遅れ要素) 23 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F p 2 2 d y t dy t a D a y t K u t dt dt + + = a︓パラメータ (定数) DF ︓減衰係数 (定数) KS ︓定常ゲイン (定数) ( ) ( ) ( ) P 2 2 F 2 1 Y s K G s U s a s D as = = + +

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[練習] PID制御の伝達関数は︖ PID制御 24 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 t P D de t u t K e t e r dr T T dt   = + +      t [s]︓時刻 e︓制御変数の偏差 u︓操作変数 KP ︓⽐例ゲイン (定数) TI ︓積分時間 (定数) TD [s]︓微分時間 (定数) ( ) ( ) ( ) I 1 1 P D U s G s K T s E s T s   = = + +    

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ブロック線図 s 領域において、箱(伝達関数) と線 (入⼒・出⼒) で表したモノ メリット︓プロセスが複数あるとき、⾒通しがよくなる • プロセスシステム・・・単位操作のプロセス (工程) を組み合わせたもの • プラント・・・装置を組み合わせたもの 25 G(s) U(s) Y(s) 入⼒プロセス (伝達関数) 出⼒ Y(s) = G(s)U(s)

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ブロック線図直列結合 26 Greaction (s) U(s) Ym (s) 入⼒反応プロセス (伝達関数) 出⼒ Gseparation (s) 分離プロセス (伝達関数) 入⼒ Y(s) 出⼒ Ym (s) = Greaction (s)U(s) Y(s) = Gseparation (s) Ym (s) Y(s) = Greaction (s) Greaction (s) U(s) プロセス全体の伝達関数は、Greaction (s) Gseparation (s) それぞれ、プロセスの出⼒を伝達関数の式で表してみよう︕

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ブロック線図並列結合 交じるときは、符号を書く 27 Greaction1 (s) U(s) Ym1 (s) 反応プロセス1 (伝達関数) Greaction2 (s) 反応プロセス2 (伝達関数) Ym2 (s) Y(s) + + 全体の伝達関数を求めてみよう︕ Greaction1 (s) + Greaction2 (s)

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ブロック線図フィードバック結合 28 Greaction (s) U (s) Y(s) 反応プロセス (伝達関数) Grecycle (s) リサイクルプロセス (伝達関数) + + Um (s) Ym (s) 全体の伝達関数を求めてみよう︕ ( ) ( ) ( ) reaction reaction recycle 1 G s G s G s −

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ブロック線図フィードバック結合計算過程 29 ( ) ( ) ( ) m m U s U s Y s = + ( ) ( ) ( ) reaction m Y s G s U s = ( ) ( ) ( ) m recycle Y s G s Y s = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) reaction m reaction m reaction recycle Y s G s U s G s U s Y s G s U s G s Y s = = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) reaction reaction recycle 1 G s Y s U s G s G s = − よって、

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ブロック線図フィードバック制御 30 GFB (s) T(s) Y(s) フィードバック制御 (伝達関数) Gprocess (s) − + E(s) 全体の伝達関数を求めてみよう︕ 入⼒︓T(s)、出⼒︓Y(s) ( ) ( ) ( ) ( ) process FB process FB 1 G s G s G s G s + プロセス (伝達関数) U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差

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ブロック線図フィードバック制御計算過程 31 ( ) ( ) ( ) FB U s E s G s = ( ) ( ) ( ) E s T s Y s = − ( ) ( ) ( ) process Y s G s U s = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) process process FB process FB Y s G s U s G s E s G s G s G s T s Y s = = = − よって、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) process FB process FB 1 G s G s Y s T s G s G s = + 目標値と、プロセス・フィードバック制御の伝達関数がわかれば、Yがわかる

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ちなみに・・・PID制御のブロック線図 PID制御の伝達関数は︖ 以前のクイズ参照 32 T(s) Y(s) フィードバック制御 Gprocess (s) − + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 ( ) FB P D I 1 1 G s K T s T s   = + +     P D I 1 1 K T s T s   + +    

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いろいろなプロセスでPID制御系の いろいろなプロセスでPID制御系の全体の伝達関数を求めてみよう • ⼀次遅れ • ⼀次遅れ + むだ時間 • 二次遅れ • 流体加熱プロセス (水槽１つ) • 流体加熱プロセス (水槽２つ) • CSTRプロセス • 水槽の液レベル制御 33

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PID制御のブロック線図外乱があるときは︖ 外乱︓D(s) Y, D, T, 伝達関数のみで表すと︖ 34 T(s) Y(s) フィードバック制御 Gprocess (s) − + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 ( ) FB G s + + D(s) ( ) FB P D I 1 1 G s K T s T s   = + +    

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PID制御のブロック線図外乱があるときは︖ 外乱︓D(s) 35 T(s) Y(s) フィードバック制御 Gprocess (s) − + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 P D I 1 1 K T s T s   + +     + + D(s)

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微分先⾏型PID制御のブロック線図は︖ まずはラプラス変換 • PID制御 • 微分先⾏型PID制御 36 ( ) ( ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t de t u t K e t e r dr T T dt   = + +      ( ) ( ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t dy t u t K e t e r dr T T dt   = + −      ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U t K E t E t T sY t T s   = + −     ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K E s E s T sE s T s   = + +    

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微分先⾏型PID制御のブロック線図は︖ 37 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 + + D(s) I 1 1 T s + P K D T s + − ( ) ( ) ( ) ( ) D I 1 P U t K E t E t T sY t T s   = + −    

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I-PD制御のブロック線図は︖ まずはラプラス変換 • 微分先⾏型PID制御 • I-PD制御 38 ( ) ( ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t dy t u t K y t e r dr T T dt   = − + −      ( ) ( ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t dy t u t K e t e r dr T T dt   = + −      ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K E s E s T sY s T s   = + −     ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K Y s E s T sY s T s   = − + −    

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I-PD制御のブロック線図は︖ 39 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 + + D(s) I 1 T s P K D 1 T s + + − ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K Y s E s T sY s T s   = − + −    

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[練習] 少し複雑な流体加熱プロセス これは何結合︖ 40 Q Tm , V1 , ρ, cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓入⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓入⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク１内流体の温度 T [K]︓タンク２内流体の温度 V1 [m3]︓タンク１内流体の体積 V2 [m3]︓タンク２内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク１タンク２

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[練習] 少し複雑な流体加熱プロセス 41 ( ) 2 m dT F T T dt V = − ( ) m i m 1 P dT F Q T T dt V V c ρ = − + Q Tm , V1 , ρ, cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓入⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓入⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク１内流体の温度 T [K]︓タンク２内流体の温度 V1 [m3]︓タンク１内流体の体積 V2 [m3]︓タンク２内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク１タンク２

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[練習] 伝達関数を求めよう︕ 42 ( ) 2 m dT F T T dt V = − ( ) m i m 1 1 P dT F Q T T dt V V c ρ = − + タンク１タンク２ mDIFF m i T T T = − として、 mDIFF mDIFF 1 1 P dT F Q T dt V V c ρ = − + DIFF i T T T = − ( ) DIFF mDIFF DIFF 2 dT F T T dt V = − タンク１、タンク２の伝達関数をそれぞれ求めて、全体の伝達関数を求めてみよう︕

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[練習] 伝達関数 43 タンク１タンク２ ( ) ( ) ( ) mDIFF P 1 1 T s Q s c V s F ρ = + ( ) ( ) DIFF mDIFF 2 F T s T s V s F = + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) DIFF P 1 2 2 2 P 1 2 P 1 2 P F T s Q s c V s F V s F F Q s c VV s c F V V s c F ρ ρ ρ ρ = + + = + + + ⾒たことは︖

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２次遅れモデル 44 ( ) ( ) S 2 2 F 2 1 K Y s U s a s D as = + + 少し複雑な流体加熱プロセスは二次遅れモデルの１つだった︕ 今回の系では、一次遅れ＋むだ時間モデルと似ている

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２次遅れモデルのPID制御のパラメータ ２次遅れモデルのPID制御のパラメータについて考える １次遅れモデル＋むだ時間モデルのパラメータ決定法はあったけど、２次遅れモデルは︖ 内部モデル制御 (Internal Model Control, IMC) 法 • ラプラス変換・伝達関数・ブロック線図を学んだ今ならできる︕ 45