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マツコの知らない「数学」の世界 〜 エンジニアとして知っておきたい計算量O(n)のお話 〜 Hiromu Tsuruta

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こんな記事がバズってました

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動的計画法によるDVDのディスク分割の改善

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何でバズってるの？

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アルゴリズムを使って実際に業務改善をしている！

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・家族の「写真や動画」をDVDにして注文できる機能がある ・「写真や動画」は1枚に収まらないので複数のディスクに分割する ⇨ 「月ごとに分けて各ディスクに入れていく」というアルゴリズム 【前提】

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１月の思い出 データベース ２月の思い出 ３月の思い出 １２月の思い出 ・・・・・ １２枚 【現状】

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ディスクの枚数をもっと減らせないのか ⇨ ユーザーから問い合わせが寄せられていた 【課題】

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どうやって減らす？

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月ごとではなく最適化して入れる！

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１月の思い出 データベース ２月の思い出 ３月の思い出 １２月の思い出 ・・・・・ １２枚よりは少ない 【解決例】

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最適化する = データを分割する

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ディスクの枚数課題を解決！

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ではありません

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ただ、分割すれば良いと言うものではない！

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なんで？

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データ分割の計算量を意識する必要がある

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No content

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ユーザー サーバー ① アルバムの注文 ④ 注文枚数を表示 サーバー/データ ② 枚数の計算を実行 ③ 計算結果を返す 〜 注文フロー 〜

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計算が遅いとユーザーの画面反映も遅れる

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UXの低下・機会損失

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ユーザー サーバー ① アルバムの注文 ④ 注文枚数を表示 サーバー/データ ② 枚数の計算を実行 ③ 計算結果を返す 〜 注文フロー 〜 この部分をなんとかしたい！

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計算量を抑えました

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O(MN²) から O(MN log N) まで減らし 最終的に O(NM²) までになりました （1 ≦ N ≦ 10⁵, 1 ≦ M ≦ 50）

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ん？

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O とは？

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ランダウの記号 ギリシア文字の O（オミクロン）を用いて表される 大文字をビッグオー、小文字をスモールオーと呼んだりもする 数学においてはオーダーという呼び方をする 計算量を大雑把に評価する（見積もる）際に使用する example O(n) ：オーダーのエヌ O(log n) ：オーダーのログエヌ

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具体例を見てみよう！

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Example.1 「世界のナベアツ」

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ナベアツは線形探索しているだけ！

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線形探索とは？

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・検索アルゴリズムの１つ ・リストや配列に入ったデータの検索を行う ・先頭から順に比較を行い、見つかれば終了する

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「世界のナベアツ」パターン - ３の倍数 or ３が付くなら true - それ以外は false を必ず１回ずつ確認を行っている and 40までしか探索しない

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「世界のナベアツ」＝ O(40)

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「世界のナベアツ」が 100 まで探索する場合は？

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「世界のナベアツ」＝ O(100)

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「世界のナベアツ」が n まで探索する場合は？

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「世界のナベアツ」＝ O(n)

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話を戻すと、、 結局、計算量は減ってるの？ （ここから普通に数学なのでつまらなかったらすいません）

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O(MN²) ⇨ O(MN log N) ⇨ O(NM²) 先の話では、、 計算量を以下の順番で減らした O(NM²) ≦ O(MN log N) ≦ O(MN²) （1 ≦ N ≦ 10⁵, 1 ≦ M ≦ 50）

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全然わからん、、から 具体的な数字に落とし込んでみよう！

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取りうる最大値を代入する

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1 ≦ N ≦ 10⁵ 1 ≦ M ≦ 50

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1 ≦ M ≦ 50 1 ≦ M ≦ 10 * 5 1 ≦ M ≦ 10 * 5 ≦ 10 * 10 Mの範囲をNに合わせて拡張する 上記のことから 1 ≦ M ≦ 10²

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O(NM²) ≦ O(MN log N) ≦ O(MN²) O(MN²) ≦ O(10² * (10⁵)²) ≦ O(10² * 10¹⁰) ≦ O(10¹²) O(MN log N) ≦ O(10² * 10⁵ * log10⁵) ≦ O(10⁷ * 10⁵) ≦ O(10¹²) O(NM²) ≦ O(10⁵ * (10²)²) ≦ O(10⁵ * 10⁴) ≦ O(10⁹) N = 10⁵, M = 10²

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O(NM²) ≦ O(MN log N) ≦ O(MN²) O(10⁹) ≦ O(10¹²) ≦ O(10¹²) 10⁹ ≦ 10¹² ≦ 10¹²

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確かに計算上は計算量が小さくなっている！

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どうやって小さくしているの？ というのはバズっていた記事にある アルゴリズムを読んでください （この資料はあくまでもO(オーダー)について説明に焦点を当てています）

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