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東京工業大学ロボット技術研究会 2019年度 制御理論講習会 古典制御論編 第 1 回 Lecturer: Yuki Onishi (16-yuki) 東京工業大学ロボット技術研究会 2019/7/19 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 1 / 45

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目次 1 はじめに 2 ラプラス変換 3 伝達関数 4 ブロック線図 5 システム解析 6 次回予告 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 2 / 45

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1 はじめに 2 ラプラス変換 3 伝達関数 4 ブロック線図 5 システム解析 6 次回予告 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 3 / 45

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制御とは何か 制御とは， 「制し御する」ことである． 制する: 対象が暴れないようにする． 御する: 対象を思うように操る． 制御を行う具体例： エアコンで部屋の温度を 20 度にする． モータを回してロボットを 10 m だけ前に走らせる． 右腕でボールをまっすぐ投げる． Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 4 / 45

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制御の基本的な考え方 本講習では，制御の対象について，次の 3 条件を仮定する． 入力: 操作できる量が存在する． 出力: 実際に操作したい量が存在する． 入力と出力の間に，ある関係が存在する． これらの条件が満たされるとき， 「入力を適切に操作して，望ましい出力を得よう」 というのが制御の基本的な考え方である． Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 5 / 45

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制御の指針 実際に適切な入力を知るには， どのような手順が必要になるだろうか？ 以降では，制御を行う対象をシステムまたは系と呼ぶ． 制御理論の分野では，一般に次のような流れを取る． 1. モデル化： システムを数式で表現する 微分関係を導く，運動方程式を立てるなど 2. 制御則を選ぶ： システムの特性や，実現したい挙動から選ぶ 古典制御論？ 現代制御論？ 3. 適切な制御器を設計する 時定数は？ ロバスト性（モデル化誤差への強さ）は？ Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 6 / 45

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1 はじめに 2 ラプラス変換 3 伝達関数 4 ブロック線図 5 システム解析 6 次回予告 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 7 / 45

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ラプラス変換 ラプラス変換 (Laplace transform) とは，関数変換の一種． ※ここでは数学的に厳密な議論は行わない． なぜラプラス変換を使うの？ 微分・積分を四則演算で表現することができる（後述） ⇒ 微分方程式を代数方程式に書き直せる 力学系の挙動は多くの場合， 時間 t に関する微分方程式にて記述可能である． 12 1もちろん，微分方程式で表現されないものもある 2熱伝導など，空間に関する微分を含むものもあるが，今回は考えない Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 8 / 45

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ラプラス変換の定義 ラプラス変換の定義 実数 t > 0 の関数を f(t)，s を複素数とする．次の積分 ∞ 0 f(t)e−stdt が収束するとき，f(t) のラプラス変換として定義する． F(s) = ∞ 0 f(t)e−stdt 簡単のため，以降ではラプラス演算子 L を用いて， F(s) = L[f(t)] のように書くことにする． Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 9 / 45

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ラプラス変換の性質 ラプラス変換は，次の性質を有する． （証明は省略） t > 0, F(s) = L[f(t)], G(s) = L[g(t)]，a と b は実数． 1. 線形性： L[af(t) + bg(t)] = aF(s) + bG(s) 2. 時間微分はおよそ s の乗算に相当： L df dt = sF(s) − f(0) L dnf dtn = snF(s)−sn−1f(0)−sn−2 df dt t=0 −· · · − dn−1f dtn−1 t=0 3. 時間積分は 1 s の乗算に相当： L t 0 f(τ)dτ = 1 s F(s) Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 10 / 45

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ラプラス変換の性質 t > 0, F(s) = L[f(t)]，a は実数． 4. 相似性： L[f(at)] = 1 a F s a 5. s 領域で推移： L[eatf(t)] = F(s − a) 6. t 領域で推移： L[f(t − a)] = e−asF(s) ただし，0 < t < a において f(t − a) = 0 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 11 / 45

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ラプラス変換の性質 t > 0, F(s) = L[f(t)], G(s) = L[g(t)]. 7. 初期値定理： lim t→0 f(t) = lim s→∞ sF(s) 8. 最終値定理： lim t→∞ f(t) = lim s→0 sF(s) 9. 合成積（畳み込み積分） ： L t 0 f(t − τ)g(τ)dτ = F(s)G(s) Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 12 / 45

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逆ラプラス変換 ラプラス変換の逆写像である逆ラプラス変換は， 次のように定義される． 逆ラプラス変換の定義 c を正の実数とする． ラプラス変換（像関数）F(s) の原関数 f(t) は f(t) = 1 2πj c+j∞ c−j∞ F(s)estds により計算される． ラプラス演算子 L を用いると， f(t) = L−1[F(s)] のように表される． Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 13 / 45

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ラプラス変換表 実用上，ラプラス変換や逆ラプラス変換は， 変換表を用いるのが便利である． 代表的な関数のラプラス変換を下表に示す． 原関数 f 像関数 F 原関数 f 像関数 F δ(t) 1 sin ωt ω s2+ω2 us (t) 1 s cos ωt s s2+ω2 t 1 s2 e−at sin ωt ω (s+a)2+ω2 tn n! 1 sn+1 e−at cos ωt s+a (s+a)2+ω2 e−at 1 s+a te−at 1 (s+a)2 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 14 / 45

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1 はじめに 2 ラプラス変換 3 伝達関数 4 ブロック線図 5 システム解析 6 次回予告 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 15 / 45

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伝達関数 出力 y(t) のラプラス変換を Y (s)， 入力 u(t) のラプラス変換を U(s) とする． ここで，y(0) = ˙ y(0) = · · · = y(n)(0) = 0 を仮定する． 注目するシステム（系）が，ある関数 G(s) を用いて Y (s) = G(s)U(s) の形で表現できるとき， G(s) をこのシステムの伝達関数3と呼ぶ． 逆に，伝達関数は次のように与えられる． G(s) = Y (s) U(s) 3今回の場合，厳密には「入力から出力までの伝達関数」と呼ぶ Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 16 / 45

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伝達関数の例 次の運動方程式で表されるマス・バネ・ダンパ系を考える． m¨ x = −kx − c ˙ x + f m は質量，k はバネ定数，c は粘性摩擦係数である． このシステムの出力を位置座標 x，入力を外力 f とする． 両辺をラプラス変換すると，X = L[x], F = L[f] とすれば m · s2X = −kX − c · sX + F これを整理すると， このシステムの入力から出力までの伝達関数 G(s) は G(s) = X F = 1 ms2 + cs + k となる． Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 17 / 45

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伝達関数の分母と分子 一般に伝達関数は，次のように分母分子が多項式となる． G(s) = N(s) D(s) = bm sm + bm−1 sm−1 + · · · + b1 s + b0 an sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0 ここで N(s) を分子多項式，D(s) を分母多項式と呼ぶ． 分子の最高次数 m と分母の最高次数 n を考える． m ≤ n を満たすとき， この伝達関数はプロパーである4と言い，G(∞) = 0 となる． N(s) = 0 を満たす s を零点， D(s) = 0 を満たす s を極という． 4プロパーでないものは物理的に実現不可能である Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 18 / 45

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1 はじめに 2 ラプラス変換 3 伝達関数 4 ブロック線図 5 システム解析 6 次回予告 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 19 / 45

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ブロック線図 ブロック線図とは，システムの信号5や構成を 視覚的にわかりやすく表現するためのツールである． 取り扱うシステムが複雑になると， 数式だけでは全体を把握することが難しくなる． 5ここでいう信号は，いわゆる電気的な信号に限らない Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 20 / 45

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ブロック線図の基本単位 ブロック線図の基本単位は，次の 3 つである． G u y ブロック y = Gu − + u w y 加え合わせ点 y = u − w u y z 引き出し点 y = u, z = u ブロック線図は，これらを組み合わせて構成される． Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 21 / 45

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ブロック線図の基本結合 (1) 1. 直列結合 G1 u G2 y 結合前 G2 G1 u y 結合後 2. 並列結合 u G1 G2 + + y 結合前 G1 + G2 u y 結合後 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 22 / 45

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ブロック線図の基本結合 (2) 3. フィードバック結合 u − + G1 y G2 結合前 G1 1+G1G2 u y 結合後 これら 3 つが， ブロック線図の基本的な結合方式である． 加え合わせの符号に応じて， 結合後の伝達関数の符号も変化する． Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 23 / 45

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例：DCモータ ここで，ブロック線図を利用して DC モータをモデル化し， 伝達関数を導いてみよう． 印加電圧 e(t) を入力，速度 ω(t) を出力とする． モータの抵抗を R，インダクタンスを L，電機子電流を i(t)， 逆起電力定数を Kr ，トルク定数を Kτ ，発生トルクを τ(t)， 出力軸の慣性モーメントを J， 回転軸の粘性摩擦係数を B とする． また， E(s) = L[e(t)], Ω(s) = L[ω(t)], I(s) = L[i(t)], T(s) = L[τ(t)] とする． Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 24 / 45

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例：DCモータ まず，回路方程式から見ていこう． e(t) = Ri(t) + L d dt i(t) + Kr ω(t) だから，両辺ラプラス変換すると， E(s) = RI(s) + L · sI(s) + Kr Ω(s) このとき，ブロック線図は次のようになる． − + E Kr Ω 1 Ls+R I Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 25 / 45

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例：DCモータ 電流と発生トルクの関係は明らか． τ(t) = Kτ i(t) より，両辺ラプラス変換して T(s) = Kτ I(s) ブロック線図は次のようになる． Kτ I T Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 26 / 45

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例：DCモータ 最後に，オイラーの運動方程式を考える． J d dt ω(t) = τ(t) − Bω(t) だから，両辺ラプラス変換して J · sΩ(s) = T(s) − BΩ(s) ブロック線図は次のようになる． 1 Js+B T Ω Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 27 / 45

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例：DCモータ これらのブロック線図を統合すると，次のようになる． − + E Kr 1 Ls+R Kτ I 1 Js+B T Ω これから，印加電圧から速度までの伝達関数 P(s) が P(s) = Kτ (Ls + R)(Js + B) + Kr Kτ であることを導ける． Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 28 / 45

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1 はじめに 2 ラプラス変換 3 伝達関数 4 ブロック線図 5 システム解析 6 次回予告 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 29 / 45

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単位インパルス入力 単位インパルス入力 δ(t) は， t = 0 で大きな値を，それ以外で 0 を取る． δ(t) はディラックのデルタ関数で，次の 2 条件を満たす． ∞ −∞ δ(t)dt = 1 ∞ −∞ f(t)δ(t) = f(0) また，次のように 考えることができる． δ(t) = lim →0 1 (0 < t < ) 0 (else) Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 30 / 45 -1 -0.5 0 0.5 1 0 2 4 6 8 10

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インパルス応答 システムの初期状態を 0 としたときに， 単位インパルス入力を加えたときのシステムの出力を， インパルス応答という． Y (s) = G(s)U(s) であり， U(s) = L[δ(t)] = 1 であることから， インパルス応答は y(t) = L−1[G(s)] によって計算できる． Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 31 / 45

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単位ステップ入力 単位ステップ入力 us (t) は， t < 0 で 0 を，t > 0 で 1 を取る． us (t) はヘヴィサイドの階段関数であり， us (t) = 0 (t < 0) 1 (t > 0) である． Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 32 / 45 -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2

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ステップ応答 システムの初期状態を 0 としたときに， 単位ステップ入力を加えたときのシステムの出力を， ステップ応答という． Y (s) = G(s)U(s) であり， U(s) = L[us (t)] = 1 s であることから， ステップ応答は y(t) = L−1 G(s) 1 s によって計算できる． Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 33 / 45

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畳み込み積分 システムの初期状態を 0 としたときに， 一般の入力 u(t) を加えたときのシステムの出力を考える． このとき，Y (s) = G(s)U(s) であることから，出力は y(t) = L−1 [G(s)U(s)] = t 0 g(t − τ)u(τ)dτ と表現される． 右辺の演算は畳み込み積分 (convolution) と呼ばれ， ある時刻 t における出力は過去の入力に依存する 過去の入力による影響の重みは g によって決まる ということが読み取れる． Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 34 / 45

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一次系 K, T を正の実数として，伝達関数が G(s) = K Ts + 1 で与えられるシステムを， 一次系（または一次遅れ系）と呼ぶ． 一次系において，K はゲイン，T は時定数と呼ぶ． Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 35 / 45

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一次系のインパルス応答 一次系のインパルス応答は y(t) = L−1[G(s)] = K T e− t T 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 36 / 45

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一次系のステップ応答 一次系のステップ応答は y(t) = L−1 G(s) 1 s = L−1 K s − KT Ts + 1 = K 1 − e− t T 一次系はステップ応答においては，次の性質を有する． 出力は定常値 K に収束する 時刻 t = T において，出力は定常値 K の 63.2% となる 応答の t = 0 における接線は，t = T で値 K を取る 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 37 / 45

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二次系 K, ζ, ωn を正の実数として，伝達関数が G(s) = Kω2 n s2 + 2ζωn s + ω2 n で与えられるシステムを， 二次系（または二次遅れ系）と呼ぶ． 二次系において，K はゲイン，ζ は減衰係数， ωn は自然角周波数と呼ぶ． p.17 で紹介したマス・バネ・ダンパ系 G(s) = 1 ms2+cs+k では， ζ は粘性摩擦係数 c に比例し， ωn は固有周波数 k m に一致する． Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 38 / 45

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二次系のインパルス応答 二次系のインパルス応答は y(t) = L−1 [G(s)] = L−1 Kωn 1 − ζ2 1 − ζ2ωn (s + ζωn )2 + (1 − ζ2)ω2 = Kωn 1 − ζ2 e−ζωnt sin ωn 1 − ζ2t 0 10 20 30 -1 -0.5 0 0.5 1 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 39 / 45

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二次系のステップ応答 二次系のステップ応答は，部分分数展開を用いて導ける． y(t) = L−1 G(s) 1 s = L−1 K s − K(s + 2ζωn) s2 + 2ζωns + ω2 n = L−1 K s − K(s + ζωn) (s + ζωn)2 + (1 − ζ2)ω2 n − Kζ 1 − ζ2 q − ζ2ωn (s + ζωn)2 + (1 − ζ2)ω2 n = K 1 − e−ζωnt cos(ωn 1 − ζ2t) + ζ 1 − ζ2 sin(ωn 1 − ζ2t) = K 1 − e−ζωnt 1 − ζ2 sin(ωn 1 − ζ2t + θ) (θ = tan−1 1 − ζ2 ζ ) Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 40 / 45

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二次系のステップ応答 減衰係数 ζ を変化させた場合． 0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 41 / 45

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二次系のステップ応答 自然角周波数 ωn を変化させた場合． 0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 42 / 45

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1 はじめに 2 ラプラス変換 3 伝達関数 4 ブロック線図 5 システム解析 6 次回予告 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 43 / 45

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次回予告 次回は，古典制御論に基づいた制御器の設計を行います． MathWorks 社の提供する MATLAB6を利用しますので， 必ずインストールして来るようにしてください． ※本講習後インストールのサポートを行いますので， 心配な方は講習会場前方へお集まりください また，C 言語による実装例の紹介も行いますので， 余裕のある方は C 言語の復習もしておいてください． 6東工大に在籍している方は，無償での利用が可能です． 詳しくは下記リンク先をご覧ください． https://www.t3.gsic.titech.ac.jp/matlab_individual/ Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 44 / 45

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参考書の紹介 古典制御の聖書です． 制御をやるならこの本やシリーズにお世話になります． コロナ社 システム制御工学シリーズ 『フィードバック制御入門』 Tokyo Tech, the Society for the Study of Robotics, 2019 Classical Control Theory Seminar, the 1st Class 45 / 45