外積やロドリゲスの回転公式を利用した 点群の回転について ImVisionLabs株式会社 代表取締役 板倉健太

自己紹介：板倉健太 1  ImVisionLabs株式会社 代表取締役  3次元点群という3次元データの処理やアルゴリズム開発などを行っています ※[b] 東京都より公開されている 東京都デジタルツイン実現プロジェクトの データを利用しています [a] オフィス(東大本郷キャンパス) [b] 青ヶ島（東京）の3次元点群 [c] 3次元点群を処理した時の例

LiDARの利用について 2  LiDAR (Light Detection And Ranging) は レーザービームを対象に照射し、その光が 返ってくるまでの時間を利用して、対象までの距離や形状を求めることができる ドローン画像出典：emesent Hovermap ST https://www.mirukuru.co.jp/products/pdf/HVM-ST_jp_2208.pdf 自動運転車のイメージ お掃除ロボットのイメージ LiDARを搭載したドローン iPhoneに搭載されたLiDAR iPhone画像出典：OpenTopography https://opentopography.org/blog/iphone-lidar-applications- geosciences  3次元点群の取得や自己位置の推定に利用可能

LiDARデータの例 3  歩きながらLiDAR計測を行っているときの様子  各フレームでの点群情報が記録されており、周辺の状況がわかる

LiDARデータの例 4  LiDARを傾けることで計測できる範囲を調整できる  傾けて計測した場合、点群でのXYZ軸の向きが実際の世界と異なる 外積などを利用して点群の向きを簡単に補正する例について紹介します

外積とは？ 5 iPhone12 LiDAR  定義 • 3次元空間内の2つのベクトルに対して計算される演算 • もとのベクトルがなす平面に垂直なベクトルが得られる  公式 O A B C Ԧ 𝑎 × 𝑏 θ • 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝐵 sin𝜃𝑛 • 𝑛は 𝐴と 𝐵がなす平面に垂直な単位ベクトル Ԧ 𝑎 𝑏 Z X Y

傾いた点群の向きの補正 6  回転角度の決定 • 外積のベクトルが鉛直上向きと一致すればよい [動画] 理想の平面の向き （鉛直上向き）  回転軸の決定 • 外積のベクトルと鉛直上向きのベクトルに垂直なベクトル • 回転角度は外積のベクトルと鉛直上向きのベクトルの内積で計算できる • 外積のベクトルと鉛直上向きのベクトルの外積を利用 𝑏 Ԧ 𝑎 傾いた軸

傾いた点群の向きの補正 7  回転角度の決定 • 外積のベクトルが鉛直上向きと一致すればよい [動画]  回転軸の決定 • 外積のベクトルと鉛直上向きのベクトルに垂直なベクトル • 回転角度は外積のベクトルと鉛直上向きのベクトルの内積で計算できる • 外積のベクトルと鉛直上向きのベクトルの外積を利用 傾いた軸 赤と青に垂直（手前や奥を向く）な軸を中心に回転 具体的にどのような流れで回転させられるか？

ロドリゲスの回転公式：公式 8  公式 [動画] 画像出典:高校数学の美しい物語 ロドリゲスの回転公式https://manabitimes.jp/math/2649 • 𝑉𝑟𝑜𝑡 = (cos𝜃)Ԧ 𝑟 + sin𝜃 𝑛 × Ԧ 𝑟 + (1 − cos𝜃)(𝑛 ∙ Ԧ 𝑟)𝑛 ➢ Ԧ 𝑟は変換前のベクトル（点のXYZ座標） ➢ 𝜃は回転角度 ➢ 𝑛は回転軸に沿った単位ベクトル • 3次元空間内の対象の点を特定の軸周りに指定された角度だけ回転させることができる

ロドリゲスの回転公式：前提条件 9 画像出典:高校数学の美しい物語 ロドリゲスの回転公式https://manabitimes.jp/math/2649

ロドリゲスの回転公式：導出① 11 θ A X Y [動画] 画像出典:高校数学の美しい物語 ロドリゲスの回転公式https://manabitimes.jp/math/2649 Z

ロドリゲスの回転公式：導出② 13 [動画] 画像出典:高校数学の美しい物語 ロドリゲスの回転公式https://manabitimes.jp/math/2649

ロドリゲスの回転公式：導出③ 14  正射影ベクトルの公式 [動画] θ O H B A 画像出典:高校数学の美しい物語 ロドリゲスの回転公式https://manabitimes.jp/math/2649

ロドリゲスの回転公式：導出④ 15 [動画] 画像出典:高校数学の美しい物語 ロドリゲスの回転公式https://manabitimes.jp/math/2649

ロドリゲスの回転公式：導出⑤ 16

ロドリゲスの回転公式：導出⑥ 17

ロドリゲスの回転公式：行列表記 18

ロドリゲスの回転公式：行列表記の導出① 19

ロドリゲスの回転公式：行列表記の導出② 20

ロドリゲスの回転公式：行列表記の導出③ 21

ロドリゲスの回転公式：行列表記の導出④ 22

ロドリゲスの回転公式：行列表記の導出⑤ 23

ロドリゲスの回転公式の実行：点群ファイル 24  計測時の事情などで、傾いてしまった点群がある  ロドリゲスの回転公式を利用し、地面を水平にすることを目指す Z X Y

ロドリゲスの回転公式の実行 25  プログラミングを利用して、点群を構成する各点を回転させる  外積を使用して、地面の法線ベクトルを計算  法線ベクトルと、鉛直上向きのベクトルを利用して、内積により点群を回転する角度を計算  ロドリゲスの回転公式などを利用し、以下のような回転行列を得ることができた • 式(12)で表された形式

ロドリゲスの回転公式の実行 26  回転角度を変更して実行: 段階的に回転角度を変化させ、演算の過程を可視化  角度が変わるごとに、地面の傾きが改善されていることがわかる

まとめ 27 iPhone12 LiDAR  丁寧に式展開することで、内積や外積が活躍していることがわかりました  回転公式を使用して、傾いた点群の向きを変換することができました  本資料では、傾いた点群の向きを補正するために、外積やロドリゲスの回転公式を 利用しました

参考ページ 28 iPhone12 LiDAR  高校数学の美しい物語: ロドリゲスの回転公式 https://manabitimes.jp/math/2649