自己紹介 misskey: @[email protected] twitter: @sou7___ アンダーバー3つ 好きな言語: Coq Ruby 現在学部3年 4年で卒業できなそうです

プログラミング言語、いくつ書けますか？ 1個 2-4個 5個以上(いっぱい) ほんのちょっとでも書けたらOK 2

好きなプログラミング言語はありますか？ TypeScript Rust Haskell Ruby 3

mod_poppoさんのブログ記事 「これから流行る言語」 4

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次に流行る※言語「Lean4」の紹介 Zli OB/OG LT 2023-08-20 ※ 流行るといいな 6

Lean言語のプロ フィール 2013年にマイクロソフトの研究 所で開発がスタートしました。 現在は「Lean4」と呼ばれるバ ージョンが開発されています。 前バージョンのLean3からの変 更の過渡期です。 検索するときは注意してくださ い。 ロゴかっこいい → 7

関数型プログラミング HaskellやLispといった、関数型プログラミング言語の仲間です。 シンプルな関数型言語と違って、オブジェクト指向っぽい機能もあります。 実質マルチパラダイム言語かもしれないです。 関数型プログラミングの中でも、純粋関数型と呼ばれるタイプの言語です。 モ◯◯が出てきますが、◯ナ◯は単に変わった記法くらいに思いましょう。 ◯◯ドを使うのはそんな難しいことではありません！ 8

はろわ def main : IO Unit := let str := "Hello world!" IO.println str % lean --run hello_world.lean Hello world! 9

Leanの実行方法 1. オンラインエディタ https://lean.math.hhu.de 2. VSCodeの拡張機能 めっちゃ高機能！ 3. Lean処理系 10

定数(関数)の定義 -- 定数の定義 def hello := "Hello" -- 関数の定義(関数は第一級オブジェクトなので、定数に関数を代入するイメージ) def add1 (n : Nat) : Nat := n + 1 -- ラムダ式も使えます！ -- λ {α : Type} (x : α) => x def lam := λ {α : Type} (x : α) => x 11

条件分岐と入出力 def main : IO Unit := do let stdin ← IO.getStdin IO.println "年齢を入力してください" let str ← stdin.getLine match str.trim.toNat? with | none => IO.println "数字を入力してください" | some age => if age <= 12 then IO.println "こども" else IO.println "おとな" 入出力はdo構文というやつを使います。入出力に構文を使うのはPython2も同じです し楽勝ですね！ パターンマッチもあってプログラムも安全！ 12

代数的データ構造 inductive Option (α : Type u) where | none : Option α | some (val : α) : Option α みんな大好きOption型。上記の例でも使用してます。 inductive Bool : Type where | false : Bool | true : Bool Bool(真偽値)型です。trueとTrue、falseとFalseは別物なので注意しましょう。 inductive Nat where | zero : Nat | succ (n : Nat) : Nat 他の言語では見ないNat(自然数)型もあります。 13

依存型 pred関数(自然数nから1引いた数を返す)を実装したいとします。 このとき、引数に0が与えられた場合にどう対応するか困ります。 14

普通の言語であれば 1. 0を返す 2. 戻り値をOption型にする 3. 例外/パニックを起こす どれもあまり楽しくありません。 しかし、Leanではもっと楽しい選択肢を取れます！ 15

def pred (n : Nat) : n > 0 → Nat := fun h => match n with | Nat.zero => absurd h (Nat.not_lt_zero 0) | Nat.succ m => m -- checkコマンドは型を表示します。 #check pred -- pred : (n : Nat) → n > 0 → Nat n > 0 では、型が値(項)に依存しています。このような型を依存型といいます。 依存型を持つ言語はLeanの他にCoq、Isabelle、Idrisなどありますが、かなり希少で す。 16

リストからn番目の値を取り出す関数 このような関数は各言語にありますが、n番目が存在しないときはどのように実装する でしょうか。 1. 戻り値をOption型にする 2. 引数でデフォルト値を受け取る 3. 例外/パニックを起こす しかしLeanでは「nの範囲を制限する」という手法が使えます。 補足: 戻り値がOption型のList.get?、引数でデフォルト値を受け取るList.getD、パニックを起こすList.get!というふうに、実 は全通り用意してあります。 17

def List.get {α : Type u} : (as : List α) → Fin as.length → α | cons a _, ⟨0, _⟩ => a | cons _ as, ⟨Nat.succ i, h⟩ => get as ⟨i, Nat.le_of_succ_le_succ h⟩ Fin as.length は、0以上 as.length 未満の自然数(の集合)です。 これで、リストからn番目の要素を取ってくる操作を 例外を使わずに 必要ないデフォルト値を用意することなく Option型を戻り値にすることなく 実装できます。とても美しい！大好き！ 18

しかし問題が 長さがnのリストanと、長さがmのリストamがあったとします。 このとき、 an ++ am (anとamを連結したもの)から値を取り出すには、n+m番目より 小さい値が必要です。 標準ライブラリを探すと、List.length_appendという値があり、これを使えばなんと かなりそうです。 でも、これではより複雑になっていったとき、標準ライブラリだけでは解決できませ ん。 つまり、証明が必要になります。 19

定理証明支援系 Lean カリー・ハワード同型対応によって、以下のような対応があります。 数学 プログラミング 命題 型 証明 プログラム 場合分け パターンマッチ 20

証明の書き方 証明を書くには、「タクティック」(コマンドみたいなもの)を使います。 variable {p q : Prop} theorem t1 : (p → q) → p → q := by intros hpq hp -- (p → q)をhpq、pをhpと名付ける apply hpq -- qに対して、(p → q)を適用すると、pになる exact hp -- これはhpそのもの -- これと対応するプログラム theorem t1' : (p → q) → p → q := λ hpq hp => hpq hp 21

The Natural Number Game https://www.ma.imperial.ac.uk/~bu zzard/xena/natural_number_game/ 自然数の定理をレベル形式で証明す るゲームです。 22

まとめ Leanはプログラミング言語であり、定理証明支援系でもある そう！君は完璧で究極の言語！ みんなLeanに入門してみよう！ 23

参考文献 「Lean Manual」 https://leanprover.github.io/lean4/doc/ インストール方法から構文まで書いてある。難易度低め。 「Functional Programming in Lean」 https://leanprover.github.io/functional_programming_in_lean/ より関数型プログラミング言語っぽく書いてある。実践的。 「Documentation」 https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/ 標準ライブラリと、数学ライブラリmathlibのリファレンス。 「Theorem Proving in Lean 4 日本語訳」 https://aconite- ac.github.io/theorem_proving_in_lean4_ja/introduction.html 型理論や証明についてのドキュメント。数少ない日本語資料だけれど、難易度は高 め。 24