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෦෼ূ໌Λ༻͍ͨূ໌ྫ 28 ((A B) (B C)) (B C) ͷূ໌ 1. (A B) (B C) P 2. B P [B C ͳͷͰ] 3. A B 2, Add 4. B C 1, 3, MP 5. C 4, Simp 6. B C 2-5, CP QED 1, 6, CP

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ड़ޠ࿦ཧͷಋग़ w 㱼Y Q Y 㱸™Q C ͸ॆ଍ෆೳ͔ʁ w Q C 㱸™Q C Ͱ͋ΔͷͰॆ଍ෆೳ w ͭ·ΓɺઅܗࣜͰද͢ͱ\Q Y ™Q C ^ͱͳΓɺҰͭ໨ͷϦςϥϧͷม ਺Yʹྑ͍ײ͡Ͱ஋Λ୅ೖ͢Δͱɺಋग़نଇΛ༻͍Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ w ม਺ʹྑ͍ײ͡ʹ஋ɺ·ͨ͸ผͷม਺Λ୅ೖ͢ΔͨΊͷํ๏ͱͯ͠ɺ୅ೖ ͱ୯ҰԽͱ͍͏ख๏͕͋Γɺͦͷख๏ʹ͍ͭͯઆ໌͢Δ 101

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 \G Y Z G B ^ͱͳΔ 113

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 LLͱઃఆͯ͠εςοϓ΁ɻͦ͏Ͱͳ͚Ε͹ɺ4͸୯ҰԽෆೳͰ͋Δͱͯ͠ܭࢉΛऴྃ 114

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અͷಋग़نଇͷద༻Մೳ৚݅ w ಋग़نଇ͕ద༻Մೳͳͱ͖ w ͭͷઅ͸ม਺Λڞ༗͠ͳ͍ w ૉ࿦ཧࣜͷू߹\- ʜ -L . ʜ .O^͕୯ҰԽՄೳͰɺ
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અͷಋग़نଇ w ू߹\- ʜ -L . ʜ .O^͕୯ҰԽՄೳͰɺВΛ͜ͷू߹ͷ࠷൚୯ҰԽࢠͱ͢Δͱɺ
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 ͨͩ͠ɺ͜͜Ͱ/-JВ.KВͰɺ$Вʔ/ͱ%Вʔ/͸ɺ$В·ͨ͸%В͔Β/ͷग़ݱΛ औΓআ͍ͨ੔࿦ཧࣜͱͳΔ
 ͢ͳΘͪɺ 119 L1 · · · Lk C, ¬M1 · · · ¬Mn D (C N) (D N)

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અͷಋग़نଇͷྫ w R C Y 㱹Q Y 㱹R C B ͱɺ™R Z B 㱹Q Z ͷͭͷઅͷಋग़نଇΛٻΊΑ w ͭ໨ͷࣜR C Y ɺR C B ͱɺͭΊͷࣜͷR Z B ͕୯ҰԽՄೳͰ࠷൚ ୯ҰԽࢠ͸В\YB ZC^ͱͳΓɺ୯ҰԽ݁Ռ͸R C B ͱͳΔ w ͭ໨ͷ͔ࣜΒR C B ͱͳΔૉ࿦ཧࣜΛ࡟আͯ͠୯ҰԽͨ݁͠Ռ͕ɺ Q Y ВQ B ͱͳΔ w ಉ༷ʹɺͭΊͷ͔ࣜΒ͸Q Z ВQ C ͱͳΔ w ಋग़نଇΑΓQ B 㱹Q C ͱ͍͏৽ͨͳઅ͕ಘΒΕΔ 120

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ಋग़Λ༻͍ͨఆཧূ໌ͷྫ ͷલʹ༻ޠͷઆ໌ w 㱼B C D㱨9ʹؔ͢Δೋ߲ؔ܎3ʹ͍ͭͯ w ൓ࣹؔ܎ w B3B͕੒ΓཱͭͳΒ͹൓ࣹతɺ੒Γཱͨͳ͍ͳΒඇ൓ࣹత w ྫɿBB͸൓ࣹతɺBB͸ඇ൓ࣹత w ਪҠؔ܎ w B3CɺC3Dͷͱ͖ʹB3D͕੒ΓཱͭͳΒਪҠతɺͦ͏Ͱͳ͍ͳΒඇਪҠత w ྫɿBC CD͸BDͱ੒ΓཱͭͷͰ͸ਪҠతɺB㱠CɺC㱠D͸ඇਪҠత w ରশؔ܎ w B3Cͷͱ͖ʹɺC3B͕੒ΓཱͭͳΒରশతɺͦ͏Ͱͳ͍ͳΒඇରশత w ྫɿBC͸ରশతɺBC͸ඇରশత 123

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ಋग़Λ༻͍ͨఆཧূ໌ͷྫ w ඇ൓ࣹతɿ㱼Y™Q Y Y w ਪҠతɿ㱼Y㱼Z㱼[ Q Y Z 㱸Q Z [ ˠQ Y [ w ඇରশతɿ㱼Y㱼Z Q Y Z ˠ™Q Z Y w ೋ߲ؔ܎͕ඇ൓ࣹత͔ͭਪҠతͳΒ͹ɺඇରশతͰ͋Δ͜ͱΛূ໌ͤΑ 124 W = ඇ൓ࣹత ਪҠత ඇରশతɹͳͷͰ ¬W = ඇ൓ࣹత ਪҠత ¬ඇରশతɹͱͳΔ ͜͜Ͱɺ¬ඇରশత = ¬ x y(p(x, y) ¬p(y, x)) = x y¬(p(x, y) ¬p(y, x)) = x y(p(x, y) p(y, x)) ؔ܎ ੔࿦ཧࣜ અܗࣜ ඇ൓ࣹత x¬p(x, x) ¬p(x, x) ਪҠత x y z(p(x, y) p(y, z) p(x, y)) ¬p(u, v) ¬p(v, w) p(u, w) ¬ඇରশత x y(p(x, y) p(y, x)) p(a, b) ͱ p(b, a) ͳͷͰɺઅܗࣜ͸ҎԼͷΑ͏ʹͳΔ [

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ೋ߲ؔ܎͕ඇ൓ࣹత͔ͭਪҠతͳΒ͹ ඇରশతͰ͋Δ͜ͱͷূ໌ 125 1. ¬p(x, x) P 2. ¬p(u, v) ¬p(v, w) p(u, w) P 3. p(a, b) P 4. p(b, a) P 5. ¬p(x, v) ¬p(v, x) 1, 2, R, {u/x, w/x} 6, ¬p(b, a) 3, 5, R, {x/a, v/b} 7. 4, 6, R, {} QED

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ԋश໰୊ɿಋग़Λ༻͍ͨఆཧূ໌ w ࣍ͷٞ࿦ΛܗࣜԽ͠ɺܗࣜԽͨ͠੔࿦ཧ͕ࣜଥ౰Ͱ͋Δ͜ͱΛɺಋग़نଇ Λ༻͍ͯূ໌ͤΑ w ೥ੜʹΑͬͯ͸ɺ͢΂ͯͷ೥ੜ͕޷͖Ͱ͋Δɻ೥ੜΛ޷͖ͳ೥ੜ ͸͍ͳ͍ɻ͕ͨͬͯ͠ɺ೥ੜͰ͋Δ೥ੜ͸͍ͳ͍ɻ 126

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ཱํ࠷ີॆర ࿡ํ࠷ີॆర ͜ͷͭͷٿͷ഑ஔͷ࢓ํ͕Ұ൪ߴີ౓Ͱ͋Δͱ͍͏༧૝ έϓϥʔ༧૝

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ΧϦʔϋϫʔυಉܕରԠ w ͜Ε·Ͱֶशͨࣗ͠વԋ៷๏ͱɺϓϩάϥϛϯάݴޠʢܕ෇͖Еܭࢉʣͷߏ଄͕Ұக w ྫ w 9͔ͭ9ˠ:ͳΒ͹:Ͱ͋ͬͨʢϞʔμεϙωϯεʣ w 9ͱ͍͏ܕͷ஋ΛೖྗʹͱΓɺ:ͱ͍͏ܕͷ஋Λฦؔ͢਺ʹɺ9ͱ͍͏ܕͷ஋Λ౉͢৔߹ w G9ˠ: w B9 w G B : w ৄࡉ͸ུʢͱ͍͏͔ৄࡉ·ͰޠΕΔ΄Ͳৄ͘͠͸ͳ͍ʣ w ࣗવԋ៷తʹɺܕ͕ਪ࿦Ͱ͖ΔͷͰ͸ͳ͍͔ 129

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5JOZ.-ͷߏจ w આ໌Λ؆୯ʹ͢ΔͨΊɺ.-෩ͷߏจΛ࣋ͭ5JOZ.-Λར༻ͯ͠આ໌ 130 EXPR := VAR | NUM | BOOL | FUN | CALL | LET | FIX | IF VAR := alphabet (alphabet | num)* NUM := number BOOL := true | false FUN := fun VAR = EXPR . CALL := EXPR EXPR LET := let VAR = EXPR in EXPR . FIX := fix VAR = EXPR . IF := if EXPR then EXPR else EXPR .

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pYࣜʢෆಈ఺ίϯϏωʔλʣ w ࠶ؼΛදͨ͢Ίʹ༻͍Δ w ఆٛɿpYGG pYG w ྫɿ֊৐ܭࢉ 131 fix factorial = fun n = if n == 0 then 1 else n * factorial(n - 1). . .

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ܕม਺ w ϓϩάϥϛϯάݴޠதͷม਺Λɺम০ࢠͳ͠Ͱม਺ͱݺͿ w ܕਪ࿦Λߦ͏ͨΊͷม਺Λɺܕม਺ͱݺͼม਺ͱ۠ผ w ม਺ͱ۠ผ͢ΔͨΊʹɺܕม਺ͷઌ಄ʹόοΫΫΥʔτΛ͚ͭͯදه w ྫɿAUɺAB 132

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ܕม਺ͷܕ w ܕม਺΋ܕΛ࣋ͭ w ܕม਺ͷܕ w ੔਺ܕɿJOUͱදهɻ੔࿦ཧࣜͰݴ͏ఆ਺஋ʹ૬౰ w ਅِ஋ܕɿCPPMͱදهɻ੔࿦ཧࣜͰݴ͏ఆ਺஋ʹ૬౰ w ؔ਺ܕɿABˠACͱදهɻABͱ͍͏ܕΛҾ਺ʹͱΓɺACͱ͍͏ܕͷ஋Λฦ͢ ؔ਺ͱ͍͏ҙຯɻ੔࿦ཧࣜͰॻ͘ͱɺQ AB AC ͱॻ͚Δ w JOUˠCPPMͳΒɺ੔਺஋ΛͱΓɺਅཧ஋Λฦؔ͢਺ 133

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ܕ؀ڥ 134 if flag then let var1 = func1 a in mul var1. else let var2 = func2 b in pow var2. . { flag: `flag, var1: `var1, func1: `func1, a: `a, mul: `mul, var2: `var2, func2: `func2, b: `b, pow: `pow } wϓϩάϥϜதͷม਺ͱܕͷϚοϐϯάΛߦ͏ܕ ؀ڥΛܕਪ࿦தʹར༻ wܕ؀ڥதͷܕม਺Λɺܕਪ࿦தʹߋ৽͍ͯ͘͠ ϓϩάϥϜ ܕ؀ڥ

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ܕਪ࿦ w ͋Δ.-ࣜͷܕΛਪ࿦͢Δؔ਺ΛUZQJOHؔ਺ͱ͢Δ w UZQJOHؔ਺ʹࣜΛ౉͢ͱɺܕ͕ؼͬͯ͘Δ w UZQJOHؔ਺͸ɺࣜͷछྨʹԠͯ͡ਪ࿦ͷํ๏Λมߋͯ͠ܕΛܾΊ͍ͯ͘ w UZQJOHؔ਺தʹɺܕ؀ڥ͕ߋ৽͞Εɺܕ͕ܾ·͍ͬͯ͘ 135

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੔਺஋ͱਅِ஋ͷUZQJOHؔ਺ w UZQJOHؔ਺͸ɺ੔਺஋͕Ҿ਺ͷ৔߹ɺJOUͱ͍͏ఆ਺Λฦ͢ w ྫɿUZQJOH͸ఆ਺஋JOUΛฦ͢ w ಉ༷ʹɺਅِ஋͕Ҿ਺ͷ৔߹ɺCPPMͱ͍͏ఆ਺Λฦ͢ w ྫɿUZQJOHUSVF͸ఆ਺஋CPPMΛฦ͢ 136

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ม਺ͷUZQJOHؔ਺ w UZQJOHม਺ͷ৔߹ w طʹͦͷม਺͕ܕ؀ڥʹ͋Δͱ͖ɺܕ؀ڥதͷ஋Λฦ͢ w ܕ؀ڥதʹແ͍ม਺ͷͱ͖ɺ৽ͨͳܕม਺AUΛܕ؀ڥʹ௥Ճͯ͠ɺAU Λฦ͢ w ྫɿܕ؀ڥ͕ӈਤͷ৔߹ʢ্͕ॳظ஋ʣ w UZQJOHWBS͸ɺJOUΛฦ͢ w UZQJOHWBS͸ɺAUΛฦ͢ w UZQJOHWBS͸ɺ৽ͨͳܕม਺AUΛܕ؀ڥதʹ௥Ճͯ͠ɺAUΛฦ͢ 137 { var1: int, var2: `t } ܕ؀ڥ { var1: int, var2: `t, var3: `t1 } UZQJOHWBS

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