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関西大学総合情報学部 浅野　晃 画像情報処理 2024年度秋学期 第2部・画像情報圧縮 ／ 第9回 離散フーリエ変換と 離散コサイン変換

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 JPEG方式による画像圧縮 2 画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らす ひとつのセルを， これらの波の重ね合わせで表す 8×8ピクセルずつのセルに分解 細かい部分は，どの画像でも大してかわら ないから，省略しても気づかない 省略すると，データ量が減る （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載）

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Karhunen-Loève変換（KL変換） 3 画像を主成分に変換してから伝送する p画素の画像 1 p 第１～第p / 2 主成分だけを 伝達する 主成分に 変換 もとの画 素に戻す p画素の画像 （情報の損失が最小） データ量が半分でも 情報の損失は最小

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 KL変換の大問題 4 主成分を求めるには，分散共分散行列が必要 分散共分散行列を求めるには， 「いまから取り扱うすべての画像」が 事前にわかっていないといけない そんなことは不可能😵😵

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 そこで 5 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 そこで 5 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 そこで 5 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 そこで 5 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 基底画像 どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 そこで 5 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 基底画像 基底画像 どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 そこで 5 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 基底画像 基底画像 基底画像 どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 そこで 5 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 基底画像 基底画像 基底画像 こんな「基底画像セット」なら， 最後の方の基底画像は ごまかせそうだ どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 そこで 6 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 基底画像 基底画像 基底画像 どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 そこで 6 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 基底画像 基底画像 基底画像 どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める 基底画像として 波を用いる フーリエ変換

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 JPEG方式による画像圧縮 7 画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らす ひとつのセルを， これらの波の重ね合わせで表す 8×8ピクセルずつのセルに分解 細かい部分は，どの画像でも大してかわら ないから，省略しても気づかない 省略すると，データ量が減る このひとつ ひとつが 基底画像

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20 8 2次元離散フーリエ変換を行列で🤔🤔

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２次元フーリエ変換 9 F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２次元フーリエ変換 9 指数関数の性質から F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx) exp(−i2πνyy)dxdy = ∞ −∞ ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)dy

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２次元フーリエ変換 9 指数関数の性質から x方向のフーリエ変換 F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx) exp(−i2πνyy)dxdy = ∞ −∞ ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)dy

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２次元フーリエ変換 9 指数関数の性質から x方向のフーリエ変換 y方向のフーリエ変換 F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx) exp(−i2πνyy)dxdy = ∞ −∞ ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)dy

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２次元フーリエ変換 9 指数関数の性質から x方向のフーリエ変換 y方向のフーリエ変換 F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx) exp(−i2πνyy)dxdy = ∞ −∞ ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)dy ２次元フーリエ変換は分離可能

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２次元離散フーリエ変換 10 １次元離散フーリエ変換 U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1)

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２次元離散フーリエ変換 10 １次元離散フーリエ変換 U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1)

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２次元離散フーリエ変換 10 １次元離散フーリエ変換 U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1)

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２次元離散フーリエ変換 10 １次元離散フーリエ変換 U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) U(k, l) = N−1 n=0 M−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp(−i2π l N n) ２次元離散フーリエ変換（分離可能な形式） 縦横の大きさが同じなら U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n)

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ２次元離散フーリエ変換 10 １次元離散フーリエ変換 U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) U(k, l) = N−1 n=0 M−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp(−i2π l N n) ２次元離散フーリエ変換（分離可能な形式） 縦横の大きさが同じなら U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n)

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) 　 　 　

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 12 前ページのように行列を配置すると R = m↓ k→          e−i2π 0 N 0 · · · e−i2π k N 0 · · · e−i2π N−1 N 0 . . . ... e−i2π 0 N m e−i2π k N m . . . ... e−i2π 0 N (N−1) e−i2π N−1 N (N−1)          R = l↓ n→          e−i2π 0 N 0 · · · e−i2π 0 N n · · · e−i2π 0 N (N−1) . . . ... e−i2π l N 0 e−i2π l N n . . . ... e−i2π N−1 N 0 e−i2π N−1 N (N−1)         

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換を行列で表す 13 指数関数がややこしいので とおくと， WN = exp(− i2π N ) R =          W0·0 N · · · W0·n N · · · W0·(N−1) N . . . ... Wl·0 N Wln N . . . ... W(N−1)·0 N W(N−1)(N−1) N          Z = RXR

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ところで，本当にユニタリー？ 14 「ある列」と「ある列の複素共役」の内積 異なる列なら０，同じ列なら１　ならユニタリー N−1 l=0 W(n−n )l N = 1 − W(n−n )N N 1 − W(n−n ) N = 1 − WN N (n−n ) 1 − W(n−n ) N = 1 − 1(n−n ) 1 − W(n−n ) N = 0 N−1 l=0 W(n−n )l N = N−1 l=0 1 = N 異なる列（等比数列の和） 同じ列 N−1 l=0 Wln N · (Wln N )∗ = N−1 l=0 exp(− i2πln N ) exp( i2πln N ) = N−1 l=0 exp(− i{(n − n )2π}l N ) = N−1 l=0 W(n−n )l N

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ところで，本当にユニタリー？ 14 「ある列」と「ある列の複素共役」の内積 異なる列なら０，同じ列なら１　ならユニタリー N−1 l=0 W(n−n )l N = 1 − W(n−n )N N 1 − W(n−n ) N = 1 − WN N (n−n ) 1 − W(n−n ) N = 1 − 1(n−n ) 1 − W(n−n ) N = 0 N−1 l=0 W(n−n )l N = N−1 l=0 1 = N 異なる列（等比数列の和） 同じ列 OK N−1 l=0 Wln N · (Wln N )∗ = N−1 l=0 exp(− i2πln N ) exp( i2πln N ) = N−1 l=0 exp(− i{(n − n )2π}l N ) = N−1 l=0 W(n−n )l N

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ところで，本当にユニタリー？ 14 「ある列」と「ある列の複素共役」の内積 異なる列なら０，同じ列なら１　ならユニタリー N−1 l=0 W(n−n )l N = 1 − W(n−n )N N 1 − W(n−n ) N = 1 − WN N (n−n ) 1 − W(n−n ) N = 1 − 1(n−n ) 1 − W(n−n ) N = 0 N−1 l=0 W(n−n )l N = N−1 l=0 1 = N 異なる列（等比数列の和） 同じ列 OK NG N−1 l=0 Wln N · (Wln N )∗ = N−1 l=0 exp(− i2πln N ) exp( i2πln N ) = N−1 l=0 exp(− i{(n − n )2π}l N ) = N−1 l=0 W(n−n )l N

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ユニタリー離散フーリエ変換 15 いままでに説明した R だと RR ∗ = NI

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ユニタリー離散フーリエ変換 15 いままでに説明した R だと RR ∗ = NI ユニタリーでない

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ユニタリー離散フーリエ変換 15 いままでに説明した R だと RR ∗ = NI WN = 1 √ N exp(− i2π N ) X = R∗ZR∗ RR ∗ = I とおけば となって，ユニタリーになる Z = RXR ユニタリーでない

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ユニタリー離散フーリエ変換 15 いままでに説明した R だと RR ∗ = NI WN = 1 √ N exp(− i2π N ) X = R∗ZR∗ RR ∗ = I とおけば となって，ユニタリーになる Z = RXR ユニタリーでない 離散フーリエ変換はユニタリー変換の一種である → 離散フーリエ変換も「座標の回転」の一種である

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ユニタリー離散フーリエ変換 15 いままでに説明した R だと RR ∗ = NI WN = 1 √ N exp(− i2π N ) X = R∗ZR∗ RR ∗ = I とおけば となって，ユニタリーになる Z = RXR ユニタリーでない 離散フーリエ変換はユニタリー変換の一種である → 離散フーリエ変換も「座標の回転」の一種である 「画素値の並び」から，「『波』を表す基底画像の組み合わせ」へ

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20 16

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20 16 離散コサイン変換🤔🤔

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換 17 フーリエ変換では，複素数を扱う必要がある そこで，実数だけで計算できる変換 R = l↓ n→     ... r(n, l) ...    , r(n, l) = 1 √ N l = 0 2 √ N cos (2n+1)lπ 2N l = 0 JPEG方式もこれを用いている

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換とフーリエ変換 18 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ ）のフーリエ変換は，実数の計算になる f(x) = f(−x) F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx ∞ ∞ 第１項の を に変数変換 x −x

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換とフーリエ変換 18 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ ）のフーリエ変換は，実数の計算になる f(x) = f(−x) F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx ∞ ∞ 第１項の を に変数変換 x −x

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換とフーリエ変換 18 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ ）のフーリエ変換は，実数の計算になる f(x) = f(−x) F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx ∞ ∞ 第１項の を に変数変換 x −x

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換とフーリエ変換 18 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ ）のフーリエ変換は，実数の計算になる f(x) = f(−x) F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx ∞ ∞ 第１項の を に変数変換 x −x

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換とフーリエ変換 18 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ ）のフーリエ変換は，実数の計算になる f(x) = f(−x) F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx ∞ ∞ 第１項の を に変数変換 x −x

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換とフーリエ変換 18 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ ）のフーリエ変換は，実数の計算になる f(x) = f(−x) F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx ∞ ∞ 第１項の を に変数変換 x −x i2π(vx x)

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換とフーリエ変換 18 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ ）のフーリエ変換は，実数の計算になる f(x) = f(−x) F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx ∞ ∞ 第１項の を に変数変換 x −x i2π(vx x) f(x)

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換とフーリエ変換 18 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数（ ）のフーリエ変換は，実数の計算になる f(x) = f(−x) F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx ∞ ∞ 第１項の を に変数変換 x −x i2π(vx x) f(x) ∫ ∞ 0 … dx

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 偶関数のフーリエ変換 19 F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx ∞ つまり

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 偶関数のフーリエ変換 19 F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx ∞ F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx つまり

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 偶関数のフーリエ変換 19 F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx ∞ F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx つまり 指数関数と三角関数の関係から

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 偶関数のフーリエ変換 19 F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx ∞ F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx つまり 指数関数と三角関数の関係から

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 偶関数のフーリエ変換 19 F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx ∞ F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx つまり 指数関数と三角関数の関係から 実数の計算になる

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換 20 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) 1次元の場合

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換 20 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) 1次元の場合 折り返す u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0)

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換 20 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) 1次元の場合 折り返す u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) 要素の数列 2N

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換 21 要素の離散コサイン変換は N の場合を考えると k ≠ 0 U(k) = 1 √ N N−1 n=0 u(n) k = 0 2 √ N u(n) cos (2n+1)kπ 2N k = 0 U(k) = 2 √ N N−1 n=0 u(n) cos (2n + 1)kπ 2N = 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp i(2n + 1)kπ 2N + 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i(2n + 1)kπ 2N = 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i((−n) − 1/2)kπ 2N + 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i(n + 1/2)kπ 2N を指数関数で表す cos

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換 22 これは，折り返した数列に対して U(k) = 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i((−n) − 1/2)kπ 2N + 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i(n + 1/2)kπ 2N u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0)

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換 22 これは，折り返した数列に対して （ 番） 0 U(k) = 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i((−n) − 1/2)kπ 2N + 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i(n + 1/2)kπ 2N u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0)

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換 22 これは，折り返した数列に対して （ 番） 0 U(k) = 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i((−n) − 1/2)kπ 2N + 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i(n + 1/2)kπ 2N u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) 番 1 2

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換 22 これは，折り返した数列に対して （ 番） 0 U(k) = 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i((−n) − 1/2)kπ 2N + 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i(n + 1/2)kπ 2N u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) 番 1 2 番 3 2

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換 22 これは，折り返した数列に対して （ 番） 0 U(k) = 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i((−n) − 1/2)kπ 2N + 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i(n + 1/2)kπ 2N u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) 番 1 2 番 3 2 …

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換 22 これは，折り返した数列に対して （ 番） 0 U(k) = 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i((−n) − 1/2)kπ 2N + 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i(n + 1/2)kπ 2N u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) 番 1 2 番 3 2 … 番 − 1 2

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換 22 これは，折り返した数列に対して （ 番） 0 U(k) = 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i((−n) − 1/2)kπ 2N + 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i(n + 1/2)kπ 2N u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) 番 1 2 番 3 2 … 番 − 1 2 番 − 3 2

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換 22 これは，折り返した数列に対して （ 番） 0 U(k) = 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i((−n) − 1/2)kπ 2N + 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i(n + 1/2)kπ 2N u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) 番 1 2 番 3 2 … 番 − 1 2 番 − 3 2 …

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換 22 これは，折り返した数列に対して （ 番） 0 U(k) = 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i((−n) − 1/2)kπ 2N + 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i(n + 1/2)kπ 2N u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) 番 1 2 番 3 2 … 番 − 1 2 番 − 3 2 と番号をつけ直して フーリエ変換をしたのと同じ …

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散コサイン変換 22 これは，折り返した数列に対して （ 番） 0 U(k) = 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i((−n) − 1/2)kπ 2N + 1 √ N N−1 n=0 u(n) exp −i(n + 1/2)kπ 2N u(0), u(1), …, u(N − 2), u(N − 1) u(N − 1), u(N − 2), …, u(1), u(0) 番 1 2 番 3 2 … 番 − 1 2 番 − 3 2 と番号をつけ直して フーリエ変換をしたのと同じ … 2N項のフーリエ変換をしていることになるので， が周波数0， の順に周波数が高くなる k = 0 k = 1,…, N − 1

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換と正負の周波数 23 ν k ［周波数空間］ １周期 N等分 ［離散フーリエ変換］ 周波数0 U(0) 正の周波数 U(1), U(2), ..., U(N / 2 – 1) 負の周波数 U(N – 1), U(N – 2), ..., U(N / 2) ［数列のフーリエ変換］ １次元の離散フーリエ変換では こういう折り返し

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 離散フーリエ変換と正負の周波数 24 k l 0 N / 2 N – 1 N / 2 0 N – 1 正の周波数 負の周波数 正の周波数 負の周波数 A B C D 入れ替える (a) k l 0 N / 2 N / 2 – 1 N / 2 0 N – 1 正の周波数 負の周波数 正の周波数 負の周波数 D C B A (b) N – 1 N / 2 – 1 2次元の離散フーリエ変換でもこういう折り返しがあったが， 離散コサイン変換では折り返しはない

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20 25 実例📺📺

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像の例 26 コサイン変換 A. K. Jain, Fundamentals of B. Digital Image Processing (1988) サイン変換 Hadamard変換(-1と1） Haar変換

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 画像情報圧縮の例 27 データ量：80KB データ量：16KB （８×８ピクセルのセルが見える）

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 リンギング（モスキートノイズ） 28 ※粗い波だけを重ねて エッジ（明暗の境界線）を 表すと生じる

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28 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 リンギング（モスキートノイズ） 28 ※粗い波だけを重ねて エッジ（明暗の境界線）を 表すと生じる