Principios variacionales y análisis de Bloch por elementos finitos en elastodinámica de esfuerzos de par

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Principios variacionales y análisis de Bloch por elementos finitos en elastodinámica de esfuerzos de par Nicolás Guarín-Zapata @nicoguaro Junio 2022

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Artículo publicado Preprint

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Nos interesa estudiar materiales periódicos en los que la celda unitaria esté hecha de un continuo generalizado

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Celda unitaria

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¿Cuándo necesitamos continuos generalizados?

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Modelos con influencia de la microestructura

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Cuando no podemos separar escalas

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Materiales dispersivos

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Consecuencias de esta generalización

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• Aparición de esfuerzos de par • Tensor de esfuerzos no simétrico • Dependencia de derivadas de orden superior

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Adicional a los esfuerzos asociados a fuerzas aparecen otros asociados a momentos.

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Tracciones en el punto material Los esfuerzos antisimétricos equilibran los esfuerzos de par = +

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La ecuación diferencial sería + condiciones de frontera

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Forma variacional del problema

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Nuestro funcional es

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Estamos resolviendo el problema en el dominio de la frecuencia

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Asociado a la energía potencial elástica

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Asociado a la energía cinética

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Asociado a las condiciones de frontera y término fuente

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Energía cinética

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Parte clásica Energía potencial Efecto de orden superior

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Clásicamente, las rotaciones son necesarias pero no aportan a la energía potencial del sistema

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No content

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Cargas externas En nuestro caso: • No hay fuerzas de cuerpo • Las condiciones de frontera naturales son nulas

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Problema variacional

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Encontrar una tupla (u, ω) que satisfaga con u en H2.

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Esta solución existe Ya que nuestro funcional es: • Hermítico; y • Positivo Definido

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Formulación por elementos finitos

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Encontrar una solución aproximada u en H2 requeriría usar interpoladores continuamente derivables (C1)

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Usamos multiplicadores de Lagrange para franquear este problema

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Encontrar una terna (u, θ, ω) que satisfaga con u, θ en H1, y λ en L2.

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Con el multiplicador λ corresponde a la parte antisimétrica del tensor de esfuerzos.

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Nuestro elemento aproxima los desplazamientos y rotaciones en los nodos y el multiplicador en cada elemento

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Resultados

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Nuestros resultados son curvas de dispersión

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Número de onda Velocidad de grupo Aproximación de baja frecuencia Frecuencia angular Velocidad de fase

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Comparación con el caso analítico 0 5 10 Ω Γ X 0 5 10 Ω Γ X

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Convergencia 2.32 1×1 elements 4×4 elements 8×8 elements 2×2 elements

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Un caso más complicado Microestructura

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Nicolás Guarín-Zapata nicoguaro.github.io [email protected] @nicoguaro Contacto