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Principios variacionales y análisis de Bloch por elementos finitos en elastodinámica de esfuerzos de par Nicolás Guarín-Zapata @nicoguaro Junio 2022
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Artículo publicado Preprint
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Nos interesa estudiar materiales periódicos en los que la celda unitaria esté hecha de un continuo generalizado
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Celda unitaria
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¿Cuándo necesitamos continuos generalizados?
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Modelos con influencia de la microestructura
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Cuando no podemos separar escalas
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Materiales dispersivos
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Consecuencias de esta generalización
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• Aparición de esfuerzos de par • Tensor de esfuerzos no simétrico • Dependencia de derivadas de orden superior
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Adicional a los esfuerzos asociados a fuerzas aparecen otros asociados a momentos.
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Tracciones en el punto material Los esfuerzos antisimétricos equilibran los esfuerzos de par = +
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La ecuación diferencial sería + condiciones de frontera
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Forma variacional del problema
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Nuestro funcional es
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Estamos resolviendo el problema en el dominio de la frecuencia
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Asociado a la energía potencial elástica
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Asociado a la energía cinética
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Asociado a las condiciones de frontera y término fuente
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Energía cinética
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Parte clásica Energía potencial Efecto de orden superior
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Clásicamente, las rotaciones son necesarias pero no aportan a la energía potencial del sistema
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No content
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Cargas externas En nuestro caso: • No hay fuerzas de cuerpo • Las condiciones de frontera naturales son nulas
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Problema variacional
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Encontrar una tupla (u, ω) que satisfaga con u en H2.
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Esta solución existe Ya que nuestro funcional es: • Hermítico; y • Positivo Definido
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Formulación por elementos finitos
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Encontrar una solución aproximada u en H2 requeriría usar interpoladores continuamente derivables (C1)
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Usamos multiplicadores de Lagrange para franquear este problema
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Encontrar una terna (u, θ, ω) que satisfaga con u, θ en H1, y λ en L2.
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Con el multiplicador λ corresponde a la parte antisimétrica del tensor de esfuerzos.
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Nuestro elemento aproxima los desplazamientos y rotaciones en los nodos y el multiplicador en cada elemento
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Resultados
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Nuestros resultados son curvas de dispersión
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Número de onda Velocidad de grupo Aproximación de baja frecuencia Frecuencia angular Velocidad de fase
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Comparación con el caso analítico 0 5 10 Ω Γ X 0 5 10 Ω Γ X
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Convergencia 2.32 1×1 elements 4×4 elements 8×8 elements 2×2 elements
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Un caso más complicado Microestructura
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Nicolás Guarín-Zapata nicoguaro.github.io nguarinz@eafit.edu.co @nicoguaro Contacto