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使える！数学！ 応用数学入門 情報工学部情報工学科 准教授 小中 英嗣（こなか えいじ）
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数学を「使う」 高校で勉強する数学， どんな場面で使えるの？
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数学を「使う」 今日の内容：数学が「現象を記 述すること」に使える 「ニュートンの運動方程式」からス タート 変数，関数，微分，指数関数，代数 方程式，複素数，オイラーの公式，三 角関数，ベクトルと内積，… 高校で勉強する数学， どんな場面で使えるの？
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ニュートンの運動方程式： 動きの規則とその原理 ニュートンの運動方程式 𝑚𝑎 = 𝐹 「質量𝑚の物体に力𝐹が加わったとき の加速度𝑎がこのように決まる」という 主張 今のところこの規則に反する現象は 観測されていない 加速度とは？ (速度)=(位置の変化量)/(経過時間) (加速度)=(速度の変化量)/(経過時間) 数式を使って書ける
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変数と関数とグラフ 変数と関数 変数：値が変わる量を文字(記号)で 表す仕組み 時間，位置，速度，加速度⇔𝑡, 𝑥, 𝑣, 𝑎 関数：変数同士の依存関係を表すし くみ 「位置が時間ごとに変化する」⇔𝑥(𝑡) 簡潔に・わかりやすく表現する工夫 関数とグラフ グラフ：関数で結びつけられた変数 の関係を図示したもの
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速度と微分 (速度)=(位置の変化量)/(経過時間) 経過時間⇔Δ𝑡 𝑣 = 𝑥 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑥(𝑡) 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑡
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速度と微分 (速度)=(位置の変化量)/(経過時間) 経過時間⇔Δ𝑡 「瞬間の」⇔Δ𝑡 → 0 𝑣 = lim Δ𝑡→0 𝑥 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑥(𝑡) 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑡
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速度と微分 (速度)=(位置の変化量)/(経過時間) 経過時間⇔Δ𝑡 「瞬間の」⇔Δ𝑡 → 0 𝑣 = lim Δ𝑡→0 𝑥 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑥(𝑡) 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑡
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速度と微分 (速度)=(位置の変化量)/(経過時間) 経過時間⇔Δ𝑡 「瞬間の」⇔Δ𝑡 → 0 微小な変化量⇔変数の前に𝑑をつけ る “difference” 𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡
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速度と微分 (速度)=(位置の変化量)/(経過時間) 経過時間⇔Δ𝑡 「瞬間の」⇔Δ𝑡 → 0 微小な変化量⇔変数の前に𝑑をつけ る “difference” ×「微分を使うと位置から速度 を求められる」 ◎「位置から速度を求める計算 を一般化したものが微分である」 加速度は位置を時間で二階微分 𝑣 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑥, 𝑎 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑣 = 𝑑2 𝑑𝑡2 𝑥
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ばねを含む運動方程式 フックの法則 「ばねを長く伸ばすには力がたくさん 必要」 ばねは伸ばしたら縮む⇔伸びと力は 逆向き⇔負号がつく ばねにつながれたおもりの運動方程式 𝑚𝑎 = 𝐹, 𝐹 = −𝑘𝑥 ֞ 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝑘𝑥 𝑥(𝑡)とその微分を含んだ方程式： 「微分方程式」 物理の問題は微分方程式を解くこと である 𝐹 = −𝑘𝑥
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微分方程式を解くための (高校での)準備 「微分したらどうなる関数」を知りたいのか？ 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝑘𝑥 「微分したら自分自身の定数倍 になる関数」がわかるとうれしそ う 知ってる？
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微分方程式を解くための (高校での)準備 「微分したらどうなる関数」を知りたいのか？ 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝑘𝑥 「微分したら自分自身の定数倍 になる関数」がわかるとうれしそ う 知ってる？ 𝑑 𝑑𝑡 𝑥 𝑡 = 𝑐𝑥 𝑡 高校数学っぽい書き方だと… 𝑓 𝑥 ′ = 𝑎𝑓(𝑥)
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微分方程式を解くための (高校での)準備 「微分したらどうなる関数」を知りたいのか？ 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝑘𝑥 「微分したら自分自身の定数倍 になる関数」がわかるとうれしそ う 知ってる？ 𝑑 𝑑𝑡 𝑥 𝑡 = 𝑐𝑥 𝑡 高校数学っぽい書き方だと… 𝑓 𝑥 ′ = 𝑎𝑓(𝑥) 𝑒𝑎𝑥 ′ = 𝑎𝑒𝑎𝑥
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指数関数と𝑒(ネイピア数)を 知っておくべき理由 Q: どうして𝑒って知らないといけない の？ A： 𝑒𝑎𝑥が上の条件を満たす特別にき れいな関数だから． 余談： 𝑒は物理ではなく金融(福利の 利息の計算)の問題を考える必要に迫 られて導出された定数 𝑒𝑎𝑥 ′ = 𝑎𝑒𝑎𝑥
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微分の記号として 𝑑 𝑑𝑥 が便利な理由 𝑒𝑎𝑥 ′ = 𝑎𝑒𝑎𝑥
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微分の記号として 𝑑 𝑑𝑥 が便利な理由 𝑑 𝑑𝑥 𝑒𝑎𝑥 = 𝑎𝑒𝑎𝑥
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微分の記号として 𝑑 𝑑𝑥 が便利な理由 「左から何かを施す演算」として見通しが良い． 「左から微分したもの」(左辺)と「左から定数をかけたもの」(右辺) が「等しい」(等号)という主張，がわかりやすい 𝑑 𝑑𝑥 𝑒𝑎𝑥 = 𝑎𝑒𝑎𝑥
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微分の記号として 𝑑 𝑑𝑥 が便利な理由 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝑘𝑥
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微分の記号として 𝑑 𝑑𝑥 が便利な理由 関数𝑥(𝑡)として， 「二階微分したら」(左辺) 「自分自身の負の定数倍」(右辺) 「と等しくなる」(等号) が解である(それを見つけなさい！) という主張． 𝑑2 𝑑𝑡2 𝑥 = − 𝑘 𝑚 𝑥
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指数関数とばねの問題 ⇒代数方程式(二次方程式) 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝑘𝑥, 𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒𝑠𝑡 ֞ 𝑚𝐶𝑎2𝑒𝑠𝑡 = −𝑘𝐶𝑒𝑠𝑡 ֞ 𝑚𝑠2 = −𝑘 𝑠の二次方程式が現れた！ 𝑚𝑠2 = −𝑘, ∴ 𝑠 = ±𝑗 𝑘 𝑚 (𝑗2 = −1) 複素数(虚数)が現れた！
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二次方程式と複素数を 知っておくべき理由 運動方程式は二階微分方程式 指数関数が解の候補 二次方程式に帰着される⇒解けない 二次方程式があると困る 波を理解するために必要
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指数関数の肩に複素数って，何なの？ 𝑠 = ±𝑗 𝑘 𝑚 = ±𝑗𝜔0 𝑥 𝑡 = 𝐶1 𝑒𝑗𝜔0𝑡 + 𝐶2 𝑒−𝑗𝜔0𝑡 知識：ばね・重り系なので位置は単 振動となるはず オイラーの公式 利点：オイラーの公式を使って指数 関数と複素数を組み合わせる ⇒振動とその微積分が簡単に書ける ようになる 𝑒𝑗𝜔𝑡 = cos 𝜔𝑡 + 𝑗 sin 𝜔𝑡
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確認：2階微分してみる 三角関数 𝑥 𝑡 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 ֞ 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝐴𝜔2 sin 𝜔𝑡 = −𝜔2𝑥(𝑡) 指数関数 𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒±𝑗𝜔𝑡 ֞ 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝐶𝜔2𝑒±𝑗𝜔𝑡 = −𝜔2𝑥(𝑡) どちらも「二階微分したら自分自身の負の定数倍になる関数」 𝑒𝑗𝜔𝑡 = cos 𝜔𝑡 + 𝑗 sin 𝜔𝑡
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電気回路を微分方程式で書いてみる 電磁誘導 「電流の変化を妨げる方向に誘導起電 力が生じる」 𝑅𝐼 𝑡 + 𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝐸(𝑡)
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抵抗・コイル回路の微分方程式を 複素数だけで解いてみる 𝐸 𝑡 = 𝐸0 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝐼 𝑡 = 𝐼0 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 𝐼0 𝑒𝑗𝜔𝑡 = 𝐸0 𝑒𝑗𝜔𝑡 ∴ 𝐼0 = 𝐸0 /(𝑅 + 𝑗𝜔𝐿) 𝑅𝐼 𝑡 + 𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝐸(𝑡)
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抵抗・コイル回路の微分方程式を 複素数だけで解いてみる(続き) 𝐼0 = 𝐸0 𝑅+𝑗𝜔𝐿 正弦波を確定させる3つの要素 振幅𝐴，位相𝜃，角周波数𝜔 振幅(比)：複素数の絶対値 位相(差)：複素数の偏角 角周波数：変わらない 𝐼0 = 𝐸0 ⋅ 1 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 = 𝐸0 𝑅2 + 𝜔𝐿 2 ∠𝐼0 = ∠𝐸0 + ∠ 1 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 = ∠𝐸0 − ∠(𝑅 + 𝑗𝜔𝐿) 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜃) 複素数の四則演算だけで 振幅と位相の変化がわかる
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複素数の絶対値と偏角の関係を 知っておくべき理由 𝑧1 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 , ∠ 𝑧1 𝑧2 = ∠𝑧1 + ∠𝑧2 三角関数(正弦波)が解となるような微分方程式を四則演算だ けで解ける 複素数の絶対値と偏角が正弦波の振幅比と位相差に対応
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複素数の絶対値と偏角の関係を 知っておくべき理由 𝑧1 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 , ∠ 𝑧1 𝑧2 = ∠𝑧1 + ∠𝑧2 三角関数(正弦波)が解となるような微分方程式を四則演算だ けで解ける 複素数の絶対値と偏角が正弦波の振幅比と位相差に対応 人類が現在持ちうる，最も簡潔で簡単な微分方程式の解法 ×複素数，なんだかよくわからないし存在しないとか言われている し勉強するの無駄じゃないの…？ ◎複素数まで数を拡張するだけなのに，四則演算で微分方程式が 解けるなんて感動的！！！！！
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微分方程式を複素数で解く例 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑥 = sin 𝑡 ⇒ 𝑗 + 1 𝑋0 = 1 ⇒ 𝑋0 = 1 1+𝑗 ⇒ 𝑋0 = 1 2 , ∠𝑋0 = − 𝜋 4 ∴ 𝑥 𝑡 = 1 2 sin 𝑡 − 𝜋 4 (検算) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 1 2 cos 𝑡 − 𝜋 4 , 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑥 = 1 2 cos 𝑡 − 𝜋 4 + 1 2 sin 𝑡 − 𝜋 4 = sin 𝑡 = (右辺) 複素数の四則演算だけで 振幅と位相の変化がわかる
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ここからは駆け足で！ ベクトルと内積と分解 ベクトルの分解 ベクトルの内積 Ԧ 𝑥 Ԧ 𝑒 𝐿 = Ԧ 𝑥 cos 𝜃 = Ԧ 𝑥 ⋅ Ԧ 𝑒 Ԧ 𝑒 𝜃
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ここからは駆け足で！ ベクトルと内積と分解 直交ベクトルへの分解 Ԧ 𝑥 = Ԧ 𝑥 ⋅ 𝑒1 𝑒1 + Ԧ 𝑥 ⋅ 𝑒2 𝑒2 前提 𝑒1 = 𝑒2 = 1 𝑒1 ⋅ 𝑒2 = 0 𝑒1 𝑒2 Ԧ 𝑥
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内積を関数に拡張する 関数の内積 内積：同じ位置の要素の積を足す Ԧ 𝑝 ⋅ Ԧ 𝑞 = 𝑝𝑥 ⋅ 𝑞𝑥 + 𝑝𝑦 ⋅ 𝑞𝑦 直交関数への分解 前提 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 1 𝑖 = 𝑗 𝑓, 𝑔 = න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑛=1 ∞ 𝑓 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑥 𝑒𝑛 (𝑥)
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内積を関数に拡張する 直交関数への分解 前提 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 1 𝑖 = 𝑗 𝑓 𝑥 = 𝑛=1 ∞ 𝑓 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑥 𝑒𝑛 (𝑥) 直交ベクトルへの分解 𝑒1 𝑒2 Ԧ 𝑥
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内積を関数に拡張する 直交関数への分解 前提 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 1 𝑖 = 𝑗 𝑓 𝑥 = 𝑛=1 ∞ 𝑓 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑥 𝑒𝑛 (𝑥) 直交ベクトルへの分解 𝑒1 𝑒2 Ԧ 𝑥 ベクトルの分解→関数の分解 につながる
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正弦波の和でいろいろな関数を作る 赤線の関数を異なる円の 和で作る 「フーリエ級数展開」
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正弦波の和でいろいろな関数を作る 4 𝜋 sin 𝑡 + 1 3 sin 3𝑡 + 1 5 sin 5𝑡 + ⋯
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正弦波の和でいろいろな関数を作る 赤線の関数を異なる円の 和で作る 「フーリエ級数展開」
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正弦波の和でいろいろな関数を作る 赤線の関数を異なる円の 和で作る 「フーリエ級数展開」
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正弦波の和でいろいろな関数を作る 赤線の関数からギザギザ の部分(雑音)を取り除く (ディジタル)「フィルタ」 音声・画像処理の一例
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さらに駆け足！：漸化式 漸化式 𝑛を時刻だと思うと… 例：𝑎𝑛 = 𝑘𝑎𝑛−1 + (1 − 𝑘)
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さらに駆け足！：漸化式 漸化式 「時間とともに変化する規則」の計算 実は微分方程式にとても近い 音声/画像処理に使われている 𝑛を時刻だと思うと… 例：𝑎𝑛 = 𝑘𝑎𝑛−1 + (1 − 𝑘)
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漸化式を使った音声処理 (のシンプルな例) 𝑏𝑛 : 元の音 𝑎𝑛 :処理後の音 𝑎𝑛 = 0.3259𝑎𝑛−1 + 0.3375 𝑏𝑛 + 𝑏𝑛−1
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漸化式を使った音声処理 (のシンプルな例) 𝑏𝑛 : 元の音 𝑎𝑛 :処理後の音 𝑎𝑛 = (もうちょっと複雑な式)
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30分では語りつくせませんが… 「勉強」と「研究」 「勉強」と「研究」はつながっている 高校までの数学・物理は情報工学の 強力な武器！ 「受験のため」ではもったいない！！ △研究では今まで全く知らない高度 な手法を使う ◎研究では「すでに知っている/知ら れている方法」で解けるかどうかを最 初に検討 しっかり数学を学んでから大学に来てください！ 数学が「役に立つ」日々が待っています！！
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教員SNSなど Twitter@konakalab https://twitter.com/konakalab Webサイト https://www-ie.meijo- u.ac.jp/~konaka/index.html 発表済みスライド https://speakerdeck.com/konakalab イラスト素材 「いらすとや」 https://www.irasutoya.com/