流体加熱プロセス︓問題設定 2
Q
T, V, ρ, cP
F, Ti
F, T
F [m3・s-1]︓⼊⼝・出⼝流量
Ti
[K]︓⼊⼝流体の温度
T [K]︓タンク内流体の温度
V [m3]︓タンク内流体の体積
ρ [kg・m-3]︓流体の密度
cP
[J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱
Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量
i ︓input
o︓output
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熱収支 式変形 3
( )
i
P
dT F Q
T T
dt V V c
ρ
= − +
出⼒変数 (お湯の温度) と⼊⼒変数 (加熱量) との
間の関係を式で表せた︕モデリングできた︕
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熱収支 コンピュータシミュレーション 4
( ) ( ) ( )
( ) ( )
i
P
Q t t
F
T t T t t T T t t t
V V c
ρ
− ∆
= − ∆ + − − ∆ + ∆
( ) ( )
( )
( ) ( )
i
P
T t T t t Q t t
F
T T t t
t V V c
ρ
− − ∆ − ∆
= − − ∆ +
∆
繰り返し計算によって、T(t) の時間変化を求めていく
T(tーΔt)
Q(tーΔt)
T(t)
Q(t)
T(t+Δt)
Q(t+Δt)
T(t+2Δt) ・・・
・・・
PID制御 (⽐例・積分・微分)
出⼒変数の目標値との差 e をふまえて、⼊⼒変数の値をどうするか︖
⽐例積分微分動作︓PID (Derivative) 制御
• ただ実際は、コンピュータで⾏うので、
⁃ 微分 → 差分 / Δt
6
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1
I
1
1
0
t
P D
r
e t e t
Q t K e t e r t T Q
T t
=
− −
= + ∆ + +
∆
② モデルの概形 積分
積分モデル (積分系、積分プロセス、積分要素)
12
( )
S
y t K t
= t︓時刻
y︓出⼒変数
KS
︓定常ゲイン (定数)
ステップ応答のとき、
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② モデルの概形 １次遅れ
１次遅れモデル (１次遅れ系、１次遅れプロセス、１次遅れ要素)
y(∞) は︖
13
( )
( ) ( )
C S
dy t
T y t K u t
dt
+ =
t︓時刻
y︓出⼒変数
u︓⼊⼒変数
TC
︓時定数 (定数)
KS
︓定常ゲイン (定数)
( )
C
1 exp
S
t
y t K
T
= − −
⼊⼒変数を0 → 1 としたステップ応答
(単位ステップ応答)のとき、
となります [後で詳しくやります]
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② モデルの概形 １次遅れ
１次遅れモデル (１次遅れ系、 １次遅れ要素)
14
単位ステップ応答
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② [クイズ] 15
( ) ( )
i 0
P
1
exp exp
t
F F
T t T t t Q t dt
V c V V
ρ
= + −
加熱流体プロセス
について、Q(t) を 0 → 1 としたステップ応答のとき、T(t) - Ti
が
( )
C
1 exp
S
t
y t K
T
= − −
と表されることを確認し、KS
, TC
を求めてみよう
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② [クイズ 回答] 16
( )
i 0
P
P 0
P
P
1
exp exp
1
exp exp
1
exp exp 1
1
1 exp
t
t
F F
T t T t t dt
V c V V
F V F
t t
V c V F V
F V F
t t
V c V F V
F
t
F c V
ρ
ρ
ρ
ρ
− = −
= −
= − −
= − −
Q(t) = 1 より、
S
P
1
K
F c
ρ
=
よって、
C
V
T
F
=
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② モデルの概形 １次遅れ＋むだ時間
１次遅れ＋むだ時間 モデル
• tD
[s]︓むだ時間
• t → t - tD
多くのプロセスを、このモデルで近似することができる
17
( ) D
S
C
1 exp
t t
y t K
T
−
= − −
0 ≦ t < tD
tD
≦ t
( ) 0
y t =
単位ステップ応答
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② モデルの概形 １次遅れ＋むだ時間
１次遅れ＋むだ時間 モデル
18
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② モデルの概形 ２次遅れ(＋むだ時間)
２次遅れモデル (２次遅れ系、２次遅れプロセス、２次遅れ要素)
減衰係数 DF
の値 (の範囲) によって異なる挙動を⽰す
• 後で詳しくやります
２次遅れ ＋ むだ時間 モデル もある
19
( ) ( )
( ) ( )
2
2
F p
2
2
d y t dy t
a D a y t K u t
dt dt
+ + =
a︓パラメータ (定数)
DF
︓減衰係数 (定数)
KS
︓定常ゲイン (定数)
② クイズ1
「流体加熱プロセス」 は何モデルでしょうか︖
21
( )
i
P
dT F Q
T T
dt V V c
ρ
= − +
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② クイズ2
「流体加熱プロセス」の
• 定常ゲイン
• 時定数
はいくつでしょうか︖
22
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② モデルの概形をどうやって決める︖
モデルの概形の種類は分かった︕
では、その中からどうやって選んだらよいでしょうか︖
• ① プロセスモデル (理論的なモデル) を⾒て選ぶ
• ② 実験結果であるステップ応答のプロットを⾒て選ぶ
23
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③ PID制御の３つのパラメータを決める
PID制御の３つのパラメータを決める前に、
どうやってモデルのパラメータを決める︖
１次遅れ＋むだ時間 モデルを対象にして考えてみよう
24
t︓時刻
y︓出⼒変数
u︓⼊⼒変数
TC
︓時定数 (定数)
KS
︓定常ゲイン (定数)
tD
︓むだ時間 (定数)
( ) D
S
C
1 exp
t t
y t K
T
−
= − −
0 ≦ t < tD
tD
≦ t
( ) 0
y t =
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③ むだ時間・定常ゲイン・時定数を決める
むだ時間 tD
・定常ゲイン KS
・時定数 TC
をどう決めればよいか、
考えてみよう︕
25
y
0
こんな単位ステップ応答の結果が得られたとする
yi
ye
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③ 一般的な⽅法 むだ時間・定常ゲイン 26
y
0
tD
K
KS
= ye
- yi
yi
ye
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③ 時定数は︖
時刻 tD
における接線を求めてみよう︕
27
( ) D
S
C
1 exp
t t
y t K
T
−
= − −
( )
S D
C C
exp
dy t K t t
dt T T
−
= −
t で微分すると、
接線の傾きは、 S
C
K
T
接線は、( tD
, yi
) を通るので、接線は ( )
S
D i
C
K
y t t y
T
= − +
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③ 一般的な⽅法 時定数 28
y
0
tD
KS
= ye
- yi
( )
D i
C
K
y t t y
T
= − +
tD
+ TC
TC
yi
ye
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③ ただ実際の(単位)ステップ応答は・・・ 29
きれいでない︕
t [s]
y
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③ 実際の一般的な⽅法 30
t [s]
y
傾きが最も急なところ
(変曲点) に接線を引く
tD tD
+ TC
TC
KS
= ye
- yi
TC
=
KS
傾き
yi
ye
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③ 単位ステップ応答でないとき
⼊⼒変数を 0 → UMAX
としたステップ応答のとき、
その結果から求められた それぞれの値を tD
’, KS
’, TC
’ とすると、
31
S
S
MAX
'
K
K
U
=
C C
'
T T
=
D D
'
t t
=
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③ 絨毯爆撃的な⽅法もある
むだ時間・定常ゲイン・時定数をグリッドサーチ
実際のステップ応答の結果との誤差の二乗和が最小になるものを選ぶ
32
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③ PID制御の３つのパラメータを決める
むだ時間 tD
・定常ゲイン KS
・時定数 TC
はわかった︕
では、 PID制御の３つのパラメータは︖
⁃ ① Ziegler-Nichols のステップ応答法 (ZN法)
⁃ ② Cohen-Coon 法 (CC法)
⁃ ③ Chien-Hrones-Reswick 法 (CHR法)
33
先⼈たちの知恵と経験を使わせていただきます︕
CC法 35
制御の
種類
⽐例ゲイン
KP
積分時間
TI
微分時間
TD
P - -
PI -
PID
C D
S D C
1
3
T t
K t T
+
C D
S D C
9
10 12
T t
K t T
+
C D
S D C
4
3 4
T t
K t T
+
D
C
D
D
C
3
30
20
9
t
T
t
t
T
+
+
D
C
D
D
C
6
32
8
13
t
T
t
t
T
+
+
D
D
C
4
2
11
t
t
T
+