A 1ª prova online 2017/2 Prof. Paulo Bordoni 

Mudança de regras: Para facilitar a vida de vocês, esta 1ª prova “online” deverá ser devolvida até as 24:00 h da próxima 2ª feira (dia 23/10). 

Todas as questões envolverão cálculos matriciais ou resolução de sistemas lineares. Sim Galileu, o conteúdo que foi dado em sala de aula, e que está nos conjuntos de transparências no site do curso: www.bordoni.info 

A 1ª questão envolverá normas vetoriais, matriciais e o número de condicionamento de uma matriz. Envolverá também o cálculo do produto de uma matriz por um vetor, a solução de um sistema linear, o cálculo do vetor erro, etc... Q1 

Por exemplo a matriz de Hilbert de ordem 4 é dada por: ℋ4 = 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/4 1/5 1/5 1/6 1/6 1/7 Uma matriz de Hilbert de ordem é uma matriz ℋ = ℎ cujos elementos são definidos por ℎ = 1 +−1 , = 1,2, … , = 1,2, … , Considere a definição abaixo: Q1 

Seja o número de letras que formam o nome completo do aluno que compõe o seu grupo = 1 , 2 , … , . Q1 A ordem da matriz de Hilbert ℋ do seu grupo será = max , ∈ se 10 ≤ ≤ 16. Senão faça = 13 14. 

Calcule as normas ℋ 1 , ℋ 2 , ℋ ∞ e os números de condicionamento de ℋ nessas normas. Q1 A 1ª questão será constituída de várias partes. O Mestre está informando a 1ª e 2ª partes dela. 

Usando o número de condicionamento estimem o número de casas decimais perdidas ao resolver um sistema linear ℋ = . Q1 Vocês já mostraram como! A 3ª parte da Q1: 

Construam um vetor ∗ = 1 ∗, 2 ∗, … , ∗ cujos elementos ∗ > 1 possuam uma casa decimal não-nula após a vírgula e calculem = ℋ ∗. Em seguida resolvam o sistema linear ℋ = , calculem o resíduo Δ = − ∗ e as normas Δ 1 , Δ 2 , … , Δ ∞ . Finalmente confiram e justifiquem as discrepâncias (deveríamos ter Δ ≅ 0) à luz dos resultados da transparência anterior. Q1 Diga quais são as últimas partes da Q1 Mestre. 

A 2ª questão envolverá a leitura de dados de um arquivo de nome Dados.txt algumas formatações desses dados para construir matrizes , , , etc. Envolverá também a criação vetores , , , etc e a solução de sistemas de equações lineares = , = , = , etc, construídos com essas matrizes e vetores. Q2 

Usando a função . . ( ) sorteiem um número inteiro positivo com 500 ≤ ≤ 1000. Em seguida gerem um vetor = de tamanho usando a função . . ( ). A partir desse vetor , construam um outro vetor ′ multiplicando seus elementos por 10 e considerando apenas 1 dígito decimal após a vírgula. Salvem esse vetor num arquivo de nome Dados.txt. 

Leiam o arquivo Dados.txt e construam a maior matriz quadrada possível com eles. Denominem por a matriz obtida a partir dessa matriz lida multiplicando seus elementos diagonais por 5. Obtenham as fatorações e de . Em seguida construam 3 vetores , , e resolvam os seis sistemas lineares = , = e = e ′ = , ′ = e ′ = usando as duas fatorações. Calculem os resíduos Δ = − ′, Δ = − ′ e Δ = − ′ e expliquem as discrepâncias, se houverem. 

Considerem o número obtido na 1ª questão e seja = . (/5). Construam a maior matriz com uma diagonal principal, sobre-diagonais e ′ = . (/2) sub- diagonais. Por exemplo, se = 16 então = . Τ 16. 5 = . 3,2 = 3 e ′ = . ( Τ 3. 2) = 2 . Portanto se o arquivo Dados.txt possuir 625 elementos teremos Τ 625 1 + 3 + 2 = Τ 625 6 = 104.1666 … e o tamanho da diagonal de será 104. Assim a 1ª sobre diagonal e a 1ª sub diagonal terão 103 elementos as 2ªs sobre e sub terão 102 e a 3ª sobre diagonal 101. O total de elementos não-nulos de será: 104 + 2 ∗ 103 + 2 ∗ 102 + 101 = 615 < 625 

Bem simples! Vocês deverão ler o arquivo Dados.txt e construir a matriz pegando os 1ºs 104 elementos para a sua diagonal, os próximos 103 de Dados.txt para a 1ª sobre diagonal os 103 seguintes para a 1ª sub diagonal e assim por diante (alternando sobre e sub diagonais). 

Finalmente construam um vetor com 104 elementos (o número de elementos da diagonal de ) e resolvam o sistema linear = da forma mais apropriada. Atenção Surfista apressado, uma escolha errada anula a questão! 

A última parte da questão 2 envolve a criação de uma matriz simétrica e possivelmente positiva definida, a partir da matriz . A matriz terá como elementos diagonais os valores absolutos dos elementos da diagonal de e suas sub diagonais e sobre diagonais serão iguais às sub diagonais de . Seja b o vetor da transparência anterior. Resolva o sistema linear = usando a fatoração mais apropriada possível. Atenção Surfista apressado, uma escolha errada anula a questão! 

As 3ª e 4ª questões são problema de engenharia civil (pontes) e elétrica. Q3 

2 3 4 5 6 7 1 8 9 Considere a treliça estaticamente determinada da figura acima. Atribuindo valores a , , (módulo e inclinação) e aos ângulos , , em radianos, determine os valores de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Q3 

O circuito ao lado é conhecido como ponte de Wheatstone. Nele , representam as resistências e as correntes e a voltagem aplicada. As equações que governam o sistema são obtidas a partir das Leis de Kirchoff. Escolha valores para a voltagem e para as resistências e determine o valor das correntes. Faça isso para pelo menos 3 conjuntos distintos de valores de voltagem e resistências. Q4 

Devolvam a prova para meu endereço: [email protected]. O valor das questões é o da tabela: • Q1 – 3.5 • Q2 – 3.5 • Q3 – 2,0 • Q4 – 1.0 

Tchau, boa prova, e até a próxima.