Tweet
Tweet

Slide 1

Slide 1 text

関西大学総合情報学部 浅野　晃 応用数学（解析） 2024年度春学期 第２部・基本的な微分方程式 ／ 第6回 変数分離形の変形

Slide 2

Slide 2 text

No content

Slide 3

Slide 3 text

変数分離形（復習）🤔🤔

Slide 4

Slide 4 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 変数分離形 3 一般には 両辺それぞれを 積分すると g(x)x′ = f(t) とすると x′ = dx dt g(x)dx = f(t)dt g(x)dx = f(t)dt + C 一般解に含まれる積分定数 C は， 初期値を代入して定まり，特殊解が得られる 今日は，変形によって変数分離形に持ち込める方程式です

Slide 5

Slide 5 text

No content

Slide 6

Slide 6 text

１．同次形🤔🤔

Slide 7

Slide 7 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ).

Slide 8

Slide 8 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている

Slide 9

Slide 9 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　

Slide 10

Slide 10 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　この両辺を微分

Slide 11

Slide 11 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u この両辺を微分

Slide 12

Slide 12 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u この両辺を微分 積の微分

Slide 13

Slide 13 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u この両辺を微分 積の微分

Slide 14

Slide 14 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u この両辺を微分 積の微分

Slide 15

Slide 15 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u よって この両辺を微分 積の微分

Slide 16

Slide 16 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u よって t du dt + u = f(u) この両辺を微分 積の微分

Slide 17

Slide 17 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u よって t du dt + u = f(u) 1 f(u) − u du = 1 t dt この両辺を微分 積の微分

Slide 18

Slide 18 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には 変数分離形になった dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u よって t du dt + u = f(u) 1 f(u) − u du = 1 t dt この両辺を微分 積の微分

Slide 19

Slide 19 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次関数 6 M(x, t) M(ut, t) = tkM(u, 1) 関数 が k 次の同次関数であるとは の形になっていること

Slide 20

Slide 20 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次関数 6 M(x, t) M(ut, t) = tkM(u, 1) 関数 が k 次の同次関数であるとは の形になっていること tk をくくり出せる

Slide 21

Slide 21 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次関数 6 M(x, t) M(ut, t) = tkM(u, 1) 関数 が k 次の同次関数であるとは の形になっていること 微分方程式が M, N がどちらも k 次の同次関数なら，x = ut とおいて ( , ) dx dt = M(x, t) N(x, t) の形で tk をくくり出せる

Slide 22

Slide 22 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次関数 6 M(x, t) M(ut, t) = tkM(u, 1) 関数 が k 次の同次関数であるとは の形になっていること 微分方程式が M, N がどちらも k 次の同次関数なら，x = ut とおいて ( , ) dx dt = M(x, t) N(x, t) の形で tk をくくり出せる dx dt = M(x, t) N(x, t) = tkM(u, 1) tkN(u, 1) = M(u, 1) N(u, 1) = M(x t , 1) N(x t , 1)

Slide 23

Slide 23 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次関数 6 前ページの形になる M(x, t) M(ut, t) = tkM(u, 1) 関数 が k 次の同次関数であるとは の形になっていること 微分方程式が M, N がどちらも k 次の同次関数なら，x = ut とおいて ( , ) dx dt = M(x, t) N(x, t) の形で tk をくくり出せる dx dt = M(x, t) N(x, t) = tkM(u, 1) tkN(u, 1) = M(u, 1) N(u, 1) = M(x t , 1) N(x t , 1)

Slide 24

Slide 24 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x

Slide 25

Slide 25 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 分母分子を t でわると dx dt = 1 − x t 1 + x t

Slide 26

Slide 26 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 分母分子を t でわると dx dt = 1 − x t 1 + x t 【同次形】

Slide 27

Slide 27 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 分母分子を t でわると dx dt = 1 − x t 1 + x t 【同次形】 とおくと x t = u x = ut より dx dt = t du dt + u

Slide 28

Slide 28 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 分母分子を t でわると dx dt = 1 − x t 1 + x t 【同次形】 とおくと x t = u x = ut より dx dt = t du dt + u よって t du dt + u = 1 − u 1 + u

Slide 29

Slide 29 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 分母分子を t でわると dx dt = 1 − x t 1 + x t 【同次形】 とおくと x t = u x = ut より dx dt = t du dt + u よって t du dt + u = 1 − u 1 + u 1 1−u 1+u − u du = 1 t dt

Slide 30

Slide 30 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 分母分子を t でわると dx dt = 1 − x t 1 + x t 【同次形】 とおくと x t = u x = ut より dx dt = t du dt + u よって t du dt + u = 1 − u 1 + u 1 1−u 1+u − u du = 1 t dt t と u を分離

Slide 31

Slide 31 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 分母分子を t でわると dx dt = 1 − x t 1 + x t 【同次形】 とおくと x t = u x = ut より dx dt = t du dt + u よって t du dt + u = 1 − u 1 + u 1 1−u 1+u − u du = 1 t dt u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt t と u を分離

Slide 32

Slide 32 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　

Slide 33

Slide 33 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　

Slide 34

Slide 34 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　

Slide 35

Slide 35 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 微分の関係に なっている

Slide 36

Slide 36 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている

Slide 37

Slide 37 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている

Slide 38

Slide 38 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C

Slide 39

Slide 39 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A

Slide 40

Slide 40 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A

Slide 41

Slide 41 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A

Slide 42

Slide 42 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A

Slide 43

Slide 43 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A 対数の和 → 真数の積

Slide 44

Slide 44 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A 対数の和 → 真数の積 対数の◯倍 → 真数の◯乗

Slide 45

Slide 45 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A 対数の和 → 真数の積 対数の◯倍 → 真数の◯乗 定数は任意なので，絶対値が外れる

Slide 46

Slide 46 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A 対数の和 → 真数の積 対数の◯倍 → 真数の◯乗 定数は任意なので，絶対値が外れる u = x t に戻すと x2 + 2tx − t2 = A

Slide 47

Slide 47 text

No content

Slide 48

Slide 48 text

２．１階線形🤔🤔

Slide 49

Slide 49 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 １階線形微分方程式 10 一般には の形になっているもの dx dt + P(t)x = Q(t)

Slide 50

Slide 50 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 １階線形微分方程式 10 一般には の形になっているもの dx dt + P(t)x = Q(t) とおくと，一般解は p(t) = exp P(t)dt x = 1 p(t) p(t)Q(t)dt + C

Slide 51

Slide 51 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 １階線形微分方程式 10 一般には の形になっているもの dx dt + P(t)x = Q(t) とおくと，一般解は p(t) = exp P(t)dt x = 1 p(t) p(t)Q(t)dt + C なぜならば (p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′ = exp P(t)dt ′ x + p(t)x′ = p(t)P(t)x + p(t)x′ = p(t) P(t)x + x′ = p(t)Q(t)

Slide 52

Slide 52 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 １階線形微分方程式 10 一般には の形になっているもの dx dt + P(t)x = Q(t) とおくと，一般解は p(t) = exp P(t)dt x = 1 p(t) p(t)Q(t)dt + C なぜならば (p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′ = exp P(t)dt ′ x + p(t)x′ = p(t)P(t)x + p(t)x′ = p(t) P(t)x + x′ = p(t)Q(t) 積の微分

Slide 53

Slide 53 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 １階線形微分方程式 10 一般には の形になっているもの dx dt + P(t)x = Q(t) とおくと，一般解は p(t) = exp P(t)dt x = 1 p(t) p(t)Q(t)dt + C なぜならば (p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′ = exp P(t)dt ′ x + p(t)x′ = p(t)P(t)x + p(t)x′ = p(t) P(t)x + x′ = p(t)Q(t) 積の微分 指数の合成関数の微分

Slide 54

Slide 54 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 １階線形微分方程式 10 一般には の形になっているもの dx dt + P(t)x = Q(t) とおくと，一般解は p(t) = exp P(t)dt x = 1 p(t) p(t)Q(t)dt + C なぜならば (p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′ = exp P(t)dt ′ x + p(t)x′ = p(t)P(t)x + p(t)x′ = p(t) P(t)x + x′ = p(t)Q(t) 積の微分 指数の合成関数の微分 p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって，両辺を積分して

Slide 55

Slide 55 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　

Slide 56

Slide 56 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると

Slide 57

Slide 57 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　

Slide 58

Slide 58 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 よって p(t) = exp P(t)dt とすると

Slide 59

Slide 59 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 よって p(t) = exp P(t)dt とすると p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 60

Slide 60 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 61

Slide 61 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 62

Slide 62 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 63

Slide 63 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 64

Slide 64 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 65

Slide 65 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 66

Slide 66 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 67

Slide 67 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 68

Slide 68 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 69

Slide 69 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 70

Slide 70 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 C3 C2 = C p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 71

Slide 71 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 etx = ettdt + C = ett − etdt + C = ett − et + C C3 C2 = C p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 72

Slide 72 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 etx = ettdt + C = ett − etdt + C = ett − et + C C3 C2 = C p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 73

Slide 73 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 etx = ettdt + C = ett − etdt + C = ett − et + C C3 C2 = C p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 74

Slide 74 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると 部分積分 = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 etx = ettdt + C = ett − etdt + C = ett − et + C C3 C2 = C p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 75

Slide 75 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると 部分積分 = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 etx = ettdt + C = ett − etdt + C = ett − et + C C3 C2 = C x = t − 1 + Ce−t よって p(t) = exp 1dt 　 　

Slide 76

Slide 76 text

No content

Slide 77

Slide 77 text

２′．ベルヌーイの微分方程式🤔🤔

Slide 78

Slide 78 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には の形 dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1)

Slide 79

Slide 79 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には の形 dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1)

Slide 80

Slide 80 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には の形 dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n

Slide 81

Slide 81 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n

Slide 82

Slide 82 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1

Slide 83

Slide 83 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1

Slide 84

Slide 84 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1 log u = (1 − n) log x

Slide 85

Slide 85 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 両辺を微分する dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1 log u = (1 − n) log x

Slide 86

Slide 86 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 両辺を微分する dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1 log u = (1 − n) log x u′ u = (1 − n) x′ x

Slide 87

Slide 87 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 両辺を微分する dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1 log u = (1 − n) log x u′ u = (1 − n) x′ x 代入

Slide 88

Slide 88 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 両辺を微分する dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1 log u = (1 − n) log x u′ u = (1 − n) x′ x 1 1 − n u′ u + P(t) = Q(t) 1 u u′ + (1 − n)P(t)u = (1 − n)Q(t) 代入

Slide 89

Slide 89 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 両辺を微分する dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1 log u = (1 − n) log x u′ u = (1 − n) x′ x 1 1 − n u′ u + P(t) = Q(t) 1 u u′ + (1 − n)P(t)u = (1 − n)Q(t) 代入

Slide 90

Slide 90 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 両辺を微分する dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1 log u = (1 − n) log x u′ u = (1 − n) x′ x 1 1 − n u′ u + P(t) = Q(t) 1 u u′ + (1 − n)P(t)u = (1 − n)Q(t) 代入 １階線形

Slide 91

Slide 91 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2

Slide 92

Slide 92 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1

Slide 93

Slide 93 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x

Slide 94

Slide 94 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x 両辺を で微分すると t u′ u = − x′ x

Slide 95

Slide 95 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x 両辺を で微分すると t u′ u = − x′ x 両辺を で割ると x x′ x + t = tx 　 　

Slide 96

Slide 96 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x 両辺を で微分すると t u′ u = − x′ x 両辺を で割ると x x′ x + t = tx 　 　

Slide 97

Slide 97 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x 両辺を で微分すると t u′ u = − x′ x 両辺を で割ると x x′ x + t = tx 　 　 − u′ u + t = t u

Slide 98

Slide 98 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x 両辺を で微分すると t u′ u = − x′ x 両辺を で割ると x x′ x + t = tx 　 　 − u′ u + t = t u 倍 −u

Slide 99

Slide 99 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x 両辺を で微分すると t u′ u = − x′ x 両辺を で割ると x x′ x + t = tx 　 　 − u′ u + t = t u u′ − tu = −t 倍 −u

Slide 100

Slide 100 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x 両辺を で微分すると t u′ u = − x′ x 両辺を で割ると x x′ x + t = tx 　 　 − u′ u + t = t u u′ − tu = −t 倍 −u 1階線形

Slide 101

Slide 101 text

No content

Slide 102

Slide 102 text

演習問題の解説🤔🤔

Slide 103

Slide 103 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1) 16 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t 与式の右辺の分母分子を で割ると， となるので， 同次形の微分方程式 t x′ = x t − 1 2

Slide 104

Slide 104 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1) 16 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t 与式の右辺の分母分子を で割ると， となるので， 同次形の微分方程式 t x′ = x t − 1 2 とおくと x t = u

Slide 105

Slide 105 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1) 16 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t 与式の右辺の分母分子を で割ると， となるので， 同次形の微分方程式 t x′ = x t − 1 2 とおくと x t = u dx dt = u − 1 2

Slide 106

Slide 106 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1) 16 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t 与式の右辺の分母分子を で割ると， となるので， 同次形の微分方程式 t x′ = x t − 1 2 とおくと x t = u dx dt = u − 1 2 なので x = ut dx dt = t du dt + u

Slide 107

Slide 107 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1) 16 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t 与式の右辺の分母分子を で割ると， となるので， 同次形の微分方程式 t x′ = x t − 1 2 とおくと x t = u dx dt = u − 1 2 なので x = ut dx dt = t du dt + u t du dt + u = u − 1 2

Slide 108

Slide 108 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 17 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より なので t du dt + u = u − 1 2 t du dt = − u + 1 2

Slide 109

Slide 109 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 17 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より なので t du dt + u = u − 1 2 t du dt = − u + 1 2 と変数分離できる du u + 1 = − dt 2t

Slide 110

Slide 110 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 17 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より なので t du dt + u = u − 1 2 t du dt = − u + 1 2 と変数分離できる du u + 1 = − dt 2t 両辺を積分すると ∫ du u + 1 = − 1 2 ∫ dt t

Slide 111

Slide 111 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 18 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より ∫ du u + 1 = − 1 2 ∫ dt t （ は定数） log|u + 1| = − 1 2 log|t| + C C

Slide 112

Slide 112 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 18 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より ∫ du u + 1 = − 1 2 ∫ dt t （ は定数） log|u + 1| = − 1 2 log|t| + C C と表せる log|t|−1 2

Slide 113

Slide 113 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 18 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より ∫ du u + 1 = − 1 2 ∫ dt t （ は定数） log|u + 1| = − 1 2 log|t| + C C と表せる log eC と表せる log|t|−1 2

Slide 114

Slide 114 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 18 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より ∫ du u + 1 = − 1 2 ∫ dt t （ は定数） log|u + 1| = − 1 2 log|t| + C C と表せる log eC u + 1 = ± eC |t|−1 2 と表せる log|t|−1 2

Slide 115

Slide 115 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 18 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より ∫ du u + 1 = − 1 2 ∫ dt t （ は定数） log|u + 1| = − 1 2 log|t| + C C と表せる log eC u + 1 = ± eC |t|−1 2 と表せる log|t|−1 2 とおくと ±eC = A u + 1 = A|t|− 1 2

Slide 116

Slide 116 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 19 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より u + 1 = A|t|− 1 2 u = − 1 + A 1 |t|

Slide 117

Slide 117 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 19 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より u + 1 = A|t|− 1 2 u = − 1 + A 1 |t| とおいていたので，これを代入すると u = x t x t = − 1 + A 1 |t|

Slide 118

Slide 118 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 19 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より u + 1 = A|t|− 1 2 u = − 1 + A 1 |t| とおいていたので，これを代入すると u = x t x t = − 1 + A 1 |t| すなわち，一般解は x = − t + A |t|

Slide 119

Slide 119 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(2) 20 の一般解を求めよ tx′ − x = 1 与式より x′ − x t = 1 t 1階線形方程式の一般形 にあてはめると x′ + P(t)x = Q(t) P(t) = − 1 t , Q(t) = 1 t

Slide 120

Slide 120 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(2) 20 の一般解を求めよ tx′ − x = 1 与式より x′ − x t = 1 t 1階線形方程式の一般形 にあてはめると x′ + P(t)x = Q(t) P(t) = − 1 t , Q(t) = 1 t

Slide 121

Slide 121 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(2) 20 の一般解を求めよ tx′ − x = 1 与式より x′ − x t = 1 t 1階線形方程式の一般形 にあてはめると x′ + P(t)x = Q(t) P(t) = − 1 t , Q(t) = 1 t とおくと， p(t) = exp ∫ P(t)dt

Slide 122

Slide 122 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(2) 20 の一般解を求めよ tx′ − x = 1 与式より x′ − x t = 1 t 1階線形方程式の一般形 にあてはめると x′ + P(t)x = Q(t) P(t) = − 1 t , Q(t) = 1 t とおくと， p(t) = exp ∫ P(t)dt p(t) = exp(− 1 t dt) = exp(− log t + C1) = exp(log t−1) + C1) = exp(log t−1) exp(C1) = C2 1 t （ は定数） C1 , C2

Slide 123

Slide 123 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(2)（続き） 21 の一般解を求めよ tx′ − x = 1 となることから （ は定数） p(t)x = ∫ p(t)Q(t)dt + C C より Q(t) = 1 t

Slide 124

Slide 124 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(2)（続き） 21 の一般解を求めよ tx′ − x = 1 となることから （ は定数） p(t)x = ∫ p(t)Q(t)dt + C C （ は定数） C3 , C4 , C より Q(t) = 1 t C2 1 t x = C2 1 t · 1 t dt + C3 1 t x = 1 t2 dt + C4 1 t x = − 1 t + C x = −1 + Ct

Slide 125

Slide 125 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(2)（続き） 21 の一般解を求めよ tx′ − x = 1 となることから （ は定数） p(t)x = ∫ p(t)Q(t)dt + C C （ は定数） C3 , C4 , C より Q(t) = 1 t C2 1 t x = C2 1 t · 1 t dt + C3 1 t x = 1 t2 dt + C4 1 t x = − 1 t + C x = −1 + Ct すなわち，一般解は x = − 1 + Ct

Slide 126

Slide 126 text

19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 22 同次形 １階線形 ベルヌーイ