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情報処理工学 第5回 藤田 一寿 公立小松大学保健医療学部臨床工学科

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論理演算

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論理演算 • 1(真)か0(偽)の2つの値(真偽値)に対して行う演算 • 1か0だからといって2進数とは違う. • コンピュータは論理演算を用いて計算を行っている. • コンピュータの処理をより理解するため論理演算を学ぶ. • 1か0かは,電気回路ではスイッチのオンオフ,電流が流れる流れ ない,電圧が高い低いなどに対応していると考えられる.

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論理演算の種類 • 論理積,AND • 掛け算,かつ,に対応 • 論理和,OR • 足し算,または,に対応 • 否定,NOT • ではない • NAND(ナンド) • NOR(ノア) • 排他的論理和,XOR(エックスオア)

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論理積ANDと論理式 • 掛け算に相当する計算 • 集合においては積集合(かつ)に相当する • 例 • 0・0 = 0 • 0・1 = 0 • 1・0 = 0 • 1・1 = 1 • 変数Aと変数Bの論理積の結果が変数Yとなる場合は • A・B = Y • と書ける.このように論理演算を代数式で表現したものを論理式と 言う.

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論理積ANDと真理値表 • A・B = Yは代数式ではあるが,それぞれの代数が0か1の値しか取 らないので計算の全パターンを書ける. • A・B = Y • 0・0 = 0 • 0・1 = 0 • 1・0 = 0 • 1・1 = 1 • 上記の計算を表で表したものを真理値表という. A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 ANDの真理値表

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論理積ANDとベン図 • 論理積は集合においては積集合に相当する. • A ⋅ BはAかつBに相当(Aに含まれかつBにも含まれる) • 集合はベン図を用いて表すことができる. • ベン図は論理演算を視覚的に理解する手助けとなる事がある. • A=1(真)とは集合Aに含まれることを意味する. • A ⋅ B = 1は,集合では「AかつBが真である」に相当する. • ベン図においてAかつBが真である部分はAとBが重なる部分である. ベン図

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論理和OR • 足し算に相当する計算 • 集合においては和集合(または)に相当する • 例 • 0+0 = 0 • 0+1 = 1 • 1+0 = 1 • 1+1 = 1 • 変数Aと変数Bの論理和の結果が変数Yとなる場合は • A+B = Y • と論理式で表せる. ORの真理値表 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

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論理和ORとベン図 • 論理和は集合においては和集合に相当する. • A+BはAまたはBに相当 • Aに含まれるか,または,Bに含まれるか • A + B = 1は,集合では「AまたはBが真である」に相当する. • ベン図においてAまたはBが真である部分はAとBすべての領域であ る.

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否定NOT • 1(真)の否定は0(偽),0(偽)の否定は1(真) • 集合において,補集合に相当する.Aではない. • 変数Aの否定の結果が変数Yとなる場合は • と書ける. ҧ 𝐴 = 1はAが偽である ことに相当する. ベン図においてAが偽 である部分はAの外の 領域である. A Y 0 1 1 0 NOTの真理値表

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NAND • 論理積(AND演算)を否定したもの. • と表せる. A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 NANDの真理値表 A ⋅ B = 1に対応するベン図

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NOR • 論理和(OR)を否定したもの. • と表せる. A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 NORの真理値表 A + B = 1に対応するベン図

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排他的論理和XOR • 右下の真理値表に示すような演算を排他的論理和(XOR, exclusive OR)と呼ぶ. • 入力が同じなら0(偽)を出力し,入力が異なれば1(真)を出力 する. • 論理式では𝐴⨁𝐵 = 𝑌と表せる. A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 XORの真理値表 A⨁B = 1に対応するベン図

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真理値表を作る

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論理式から真理値表を求める A B Y

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論理式から真理値表を求める A B Y 0 0 0 1 1 0 1 1 まず入力A・Bを埋める.

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論理式から真理値表を求める A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 この論理式はXOR 論理式に値を代入して,Yを計算する.

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演習 • 次の論理式の真理値表をかけ. (3) (1) Y = ഥ A + B (2) Y = A ⋅ B + ҧ 𝐴 ⋅ ത 𝐵 (3) Y = A ⋅ B ⋅ 𝐶 + 𝐴 ⋅ ҧ 𝐶

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演習 • 次の論理式の真理値表をかけ. (3) (1) Y = ഥ A + B (2) Y = A ⋅ B + ҧ 𝐴 ⋅ ത 𝐵 (3) Y = A ⋅ B ⋅ 𝐶 + 𝐴 ⋅ ҧ 𝐶

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ベン図を使う

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演習 • 次の論理式をベン図で表わせ.ただし,論理式が真となる部分を塗 りつぶせ.

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演習 • 次の論理式をベン図で表わせ.ただし,論理式が真となる部分を塗 りつぶせ.

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演習 • 次の論理式をベン図で表わせ.ただし,論理式が真となる部分を塗 りつぶせ. = ベン図の足し算は塗られた部分が足し合わされる.

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演習 • 次のベン図が表す論理式を示せ.

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演習 • 次のベン図が表す論理式を示せ. + 𝐴 + 𝐵 + 𝐴 ⋅ 𝐵

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論理演算

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論理演算の公理・定理 覚える必要なし.言いたいことは2点のみ. • 論理演算は,交換則が成り立つ.つまり,中学校で習った 数学が使える. • ここまでのスライドの内容を理解していれば自明なことば かり.

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復習がてら,いくつか確認してみる 𝐴 ⋅ 1 = 𝐴 𝐴 ⋅ 0 = 0 𝐴 + 0 = 𝐴 𝐴 + 1 = 1 論理和 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 論理積 𝐴 + ҧ 𝐴 = 1 𝐴 ⋅ ҧ 𝐴 = 0

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ド・モルガンの定理 全体の否定が個別の否定に変わり,かつ和と積が入れ替わる.

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ド・モルガンの定理をベン図で確認 = ・ ベン図の掛け算は塗られた部分のうち重複する部分が残る.

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演習 • の計算をベン図で確認せよ.

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演習 • の計算をベン図で確認せよ.

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論理式の簡単化 • 論理式をより短い簡単な形にすることを簡単化という. • 次の論理式を簡単化してみる. 𝐴 + 𝐵 ⋅ 𝐴 + 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐴 + 𝐴 ⋅ 𝐶 + 𝐴 ⋅ 𝐵 + B ⋅ 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐵 ⋅ 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 ⋅ 𝐶 ・ 𝐴 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

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演習 • 次の論理式を簡単にせよ.

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演習 • 次の論理式を簡単にせよ.

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演習 • 次の論理式で誤っているのはどれか(第30回ME2種). 1. 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐴 ⋅ 𝐶 2. 𝐴 + 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 3. 𝐴 + ҧ 𝐴 = 1 4. 𝐴 ⋅ 𝐵 = ҧ 𝐴 + ത 𝐵 5. 𝐴 + ത 𝐵 = ҧ 𝐴 ⋅ 𝐵

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演習 • 次の論理式で誤っているのはどれか(第30回ME2種). 1. 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐴 ⋅ 𝐶 2. 𝐴 + 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 3. 𝐴 + ҧ 𝐴 = 1 4. 𝐴 ⋅ 𝐵 = ҧ 𝐴 + ത 𝐵 5. 𝐴 + ത 𝐵 = ҧ 𝐴 ⋅ 𝐵 1. 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐴 ⋅ 𝐶 2. 𝐴 + 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 1 + B = A 3. 𝐴 + ҧ 𝐴 = 1 4. 𝐴 ⋅ 𝐵 = ҧ 𝐴 + ത 𝐵 5. 𝐴 + ത 𝐵これ以上簡単にできない

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演習 • 次のベン図が表す論理式を答えよ. ただし,図中の網掛け部分が 論理値の 1 を表す.第33回臨床工学技士国家試験改

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演習 • 次のベン図が表す論理式を答えよ. ただし,図中の網掛け部分が 論理値の 1 を表す.第33回臨床工学技士国家試験改 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ⋅ ത 𝐵 ⋅ ҧ 𝐶 𝐴 ⋅ 𝐵 ⋅ ҧ 𝐶 + 𝐴 ⋅ ത 𝐵 ⋅ 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐵 ⋅ ҧ 𝐶 + ത 𝐵 ⋅ 𝐶 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐴 ⋅ 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐶 ҧ 𝐴 ⋅ 𝐵 + ҧ 𝐴 ⋅ 𝐶 = ҧ 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐶 ത 𝐵 ⋅ ҧ 𝐶 = 𝐵 + 𝐶