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情報処理工学 第５回 藤田 一寿 公立小松大学保健医療学部臨床工学科

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論理演算

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論理演算 • 1（真）か0（偽）の2つの値（真偽値）に対して行う演算 • 1か0だからといって2進数とは違う． • コンピュータは論理演算を用いて計算を行っている． • コンピュータの処理をより理解するため論理演算を学ぶ． • 1か0かは，電気回路ではスイッチのオンオフ，電流が流れる流れ ない，電圧が高い低いなどに対応していると考えられる．

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論理演算の種類 • 論理積，AND • 掛け算，かつ，に対応 • 論理和，OR • 足し算，または，に対応 • 否定，NOT • ではない • NAND（ナンド） • NOR（ノア） • 排他的論理和，XOR（エックスオア）

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論理積ANDと論理式 • 掛け算に相当する計算 • 集合においては積集合（かつ）に相当する • 例 • 0・0 = 0 • 0・1 = 0 • 1・0 = 0 • 1・1 = 1 • 変数Aと変数Bの論理積の結果が変数Yとなる場合は • A・B = Y • と書ける．このように論理演算を代数式で表現したものを論理式と 言う．

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論理積ANDと真理値表 • A・B = Yは代数式ではあるが，それぞれの代数が0か1の値しか取 らないので計算の全パターンを書ける． • A・B = Y • 0・0 = 0 • 0・1 = 0 • 1・0 = 0 • 1・1 = 1 • 上記の計算を表で表したものを真理値表という． A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 ANDの真理値表

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論理積ANDとベン図 • 論理積は集合においては積集合に相当する． • A ⋅ BはAかつBに相当（Aに含まれかつBにも含まれる） • 集合はベン図を用いて表すことができる． • ベン図は論理演算を視覚的に理解する手助けとなる事がある． • A=1（真）とは集合Aに含まれることを意味する． • A ⋅ B = 1は，集合では「AかつBが真である」に相当する． • ベン図においてAかつBが真である部分はAとBが重なる部分である． ベン図

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論理和OR • 足し算に相当する計算 • 集合においては和集合（または）に相当する • 例 • 0+0 = 0 • 0+1 = 1 • 1+0 = 1 • 1+1 = 1 • 変数Aと変数Bの論理和の結果が変数Yとなる場合は • A+B = Y • と論理式で表せる． ORの真理値表 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

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論理和ORとベン図 • 論理和は集合においては和集合に相当する． • A+BはAまたはBに相当 • Aに含まれるか，または，Bに含まれるか • A + B = 1は，集合では「AまたはBが真である」に相当する． • ベン図においてAまたはBが真である部分はAとBすべての領域であ る．

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否定NOT • 1（真）の否定は0（偽），0（偽）の否定は1（真） • 集合において，補集合に相当する．Aではない． • 変数Aの否定の結果が変数Yとなる場合は • と書ける． ҧ 𝐴 = 1はAが偽である ことに相当する． ベン図においてAが偽 である部分はAの外の 領域である． A Y 0 1 1 0 NOTの真理値表

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NAND • 論理積（AND演算）を否定したもの． • と表せる． A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 NANDの真理値表 A ⋅ B = 1に対応するベン図

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NOR • 論理和（OR）を否定したもの． • と表せる． A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 NORの真理値表 A + B = 1に対応するベン図

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排他的論理和XOR • 右下の真理値表に示すような演算を排他的論理和（XOR， exclusive OR）と呼ぶ． • 入力が同じなら0（偽）を出力し，入力が異なれば1（真）を出力 する． • 論理式では𝐴⨁𝐵 = 𝑌と表せる． A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 XORの真理値表 A⨁B = 1に対応するベン図

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真理値表を作る

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論理式から真理値表を求める A B Y

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論理式から真理値表を求める A B Y 0 0 0 1 1 0 1 1 まず入力A・Bを埋める．

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論理式から真理値表を求める A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 この論理式はXOR 論理式に値を代入して，Yを計算する．

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演習 • 次の論理式の真理値表をかけ． (3) (1) Y = ഥ A + B (2) Y = A ⋅ B + ҧ 𝐴 ⋅ ത 𝐵 (3) Y = A ⋅ B ⋅ 𝐶 + 𝐴 ⋅ ҧ 𝐶

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演習 • 次の論理式の真理値表をかけ． (3) (1) Y = ഥ A + B (2) Y = A ⋅ B + ҧ 𝐴 ⋅ ത 𝐵 (3) Y = A ⋅ B ⋅ 𝐶 + 𝐴 ⋅ ҧ 𝐶

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ベン図を使う

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演習 • 次の論理式をベン図で表わせ．ただし，論理式が真となる部分を塗 りつぶせ．

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演習 • 次の論理式をベン図で表わせ．ただし，論理式が真となる部分を塗 りつぶせ．

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演習 • 次の論理式をベン図で表わせ．ただし，論理式が真となる部分を塗 りつぶせ． = ベン図の足し算は塗られた部分が足し合わされる．

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演習 • 次のベン図が表す論理式を示せ．

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演習 • 次のベン図が表す論理式を示せ． + 𝐴 + 𝐵 + 𝐴 ⋅ 𝐵

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論理演算

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論理演算の公理・定理 覚える必要なし．言いたいことは2点のみ． • 論理演算は，交換則が成り立つ．つまり，中学校で習った 数学が使える． • ここまでのスライドの内容を理解していれば自明なことば かり．

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復習がてら，いくつか確認してみる 𝐴 ⋅ 1 = 𝐴 𝐴 ⋅ 0 = 0 𝐴 + 0 = 𝐴 𝐴 + 1 = 1 論理和 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 論理積 𝐴 + ҧ 𝐴 = 1 𝐴 ⋅ ҧ 𝐴 = 0

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ド・モルガンの定理 全体の否定が個別の否定に変わり，かつ和と積が入れ替わる．

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ド・モルガンの定理をベン図で確認 ＝ ・ ベン図の掛け算は塗られた部分のうち重複する部分が残る．

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演習 • の計算をベン図で確認せよ．

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演習 • の計算をベン図で確認せよ．

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論理式の簡単化 • 論理式をより短い簡単な形にすることを簡単化という． • 次の論理式を簡単化してみる． 𝐴 + 𝐵 ⋅ 𝐴 + 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐴 + 𝐴 ⋅ 𝐶 + 𝐴 ⋅ 𝐵 + B ⋅ 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐵 ⋅ 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 ⋅ 𝐶 ・ 𝐴 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

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演習 • 次の論理式を簡単にせよ．

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演習 • 次の論理式を簡単にせよ．

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演習 • 次の論理式で誤っているのはどれか（第30回ME2種）． 1. 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐴 ⋅ 𝐶 2. 𝐴 + 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 3. 𝐴 + ҧ 𝐴 = 1 4. 𝐴 ⋅ 𝐵 = ҧ 𝐴 + ത 𝐵 5. 𝐴 + ത 𝐵 = ҧ 𝐴 ⋅ 𝐵

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演習 • 次の論理式で誤っているのはどれか（第30回ME2種）． 1. 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐴 ⋅ 𝐶 2. 𝐴 + 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 3. 𝐴 + ҧ 𝐴 = 1 4. 𝐴 ⋅ 𝐵 = ҧ 𝐴 + ത 𝐵 5. 𝐴 + ത 𝐵 = ҧ 𝐴 ⋅ 𝐵 1. 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐴 ⋅ 𝐶 2. 𝐴 + 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 1 + B = A 3. 𝐴 + ҧ 𝐴 = 1 4. 𝐴 ⋅ 𝐵 = ҧ 𝐴 + ത 𝐵 5. 𝐴 + ത 𝐵これ以上簡単にできない

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演習 • 次のベン図が表す論理式を答えよ． ただし，図中の網掛け部分が 論理値の 1 を表す．第33回臨床工学技士国家試験改

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演習 • 次のベン図が表す論理式を答えよ． ただし，図中の網掛け部分が 論理値の 1 を表す．第33回臨床工学技士国家試験改 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ⋅ ത 𝐵 ⋅ ҧ 𝐶 𝐴 ⋅ 𝐵 ⋅ ҧ 𝐶 + 𝐴 ⋅ ത 𝐵 ⋅ 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐵 ⋅ ҧ 𝐶 + ത 𝐵 ⋅ 𝐶 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐴 ⋅ 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐶 ҧ 𝐴 ⋅ 𝐵 + ҧ 𝐴 ⋅ 𝐶 = ҧ 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐶 ത 𝐵 ⋅ ҧ 𝐶 = 𝐵 + 𝐶