Tokyo.R #96 theory of probability

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@kilometer00 2022.01.29 確率論の基礎 95th #TokyoR

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Who！？誰だ？

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Who！？名前：三村 @kilometer 職業：ポスドク (こうがくはくし) 専⾨：⾏動神経科学(霊⻑類) 脳イメージング医療システム⼯学 R歴： ~ 10年ぐらい流⾏: むし社

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宣伝!!（書籍の翻訳に参加しました。）

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𝑋 ~ 𝑁(µ = 0, σ = 1) 「確率変数𝑋 は正規分布𝑁(0,1)に従う」を完全に理解しよう。【今⽇の⽬標】

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よく⾒る式（正規分布といえばコレ） 𝑝 𝑥 = 1 2πσ! exp −(𝑥 − µ)! 2σ!

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よく⾒る式（正規分布といえばコレ） 𝑝 𝑥 = 1 2πσ! exp −(𝑥 − µ)! 2σ! 標準偏差σ 平均µ

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よく⾒る式（正規分布といえばコレ） 𝑝 𝑥 = 1 2πσ! exp −(𝑥 − µ)! 2σ! 標準偏差σ 平均µ あなたはだあれ？

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Norm_p <- function(x, mu = 0, sigma = 1){ p <- (1 / sqrt(2 * pi * sigma^2)) * exp(- (x - mu)^2 / (2 * sigma^2)) return(p) } よく⾒る式を計算する関数を作る

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よく⾒る式を計算する library(package = "tidyverse") dat <- seq(from = -4, to = 4, by = 0.1) %>% data.frame(x = .) %>% mutate(p = Norm_p(x)) # ここで計算してる

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よく⾒る式を可視化する library(package = "tidyverse") dat <- seq(from = -4, to = 4, by = 0.1) %>% data.frame(x = .) %>% mutate(p = Norm_p(x)) # ここで計算してる ggplot(data = dat) + aes(x = x, y = p) + geom_path(color = "magenta")

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よく⾒る式＝よく⾒るグラフだった

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よく⾒る式＝よく⾒るグラフだったあなたはだあれ？

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よく⾒る式＝よく⾒るグラフだったあなたはだあれ？ 𝒙 = 𝟎の確率は約𝟎. 𝟒??

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よく⾒る式＝よく⾒るグラフだったあなたはだあれ？ 𝒙 = 𝟎の確率は約𝟎. 𝟒 ではなくて

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よく⾒る式＝よく⾒るグラフだったあなたはだあれ？ 𝒙 = 𝟎の確率はゼロ

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よく⾒る式＝よく⾒るグラフだったあなたはだあれ？ 𝒙 = 𝟎の確率はゼロ

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写像理解【今⽇の地図】

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初⼿：写像

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集合𝑋 集合𝑌 要素𝑥 要素𝑦 写像 𝑓: 𝑋 → 𝑌もしくは𝑓: 𝑥 ⟼ 𝑦 （始集合・定義域）（終集合・終域）【写像】ある集合の要素を他の集合のただ1つの要素に対応づける規則

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地図空間⽣物種名空間名空間⾦銭価値空間 (円) ⾦銭価値空間 (ドル) コーヒー ¥290 $2.53 [緯度, 経度] Homo sapiens 実存写像写像写像写像写像写像情報【写像】ある集合の要素を他の集合のただ1つの要素に対応づける規則

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𝑓: 𝑥 ↦ 𝑦 もしくは 𝑓 𝑥 = 𝑦 𝑥 = 2 𝑦 = 8 𝑋 𝑌 【写像】ある集合の要素を他の集合のただ1つの要素に対応づける規則関数は写像

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑃 確率は特殊な枠組みを持った写像

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑃 【確率𝑝 】ある事象ωについて写像𝑃により対応づけられた集合[𝟎, 𝟏]の中のただ1つの実数(0 ≤ 𝑝 ≤ 1) 確率は特殊な枠組みを持った写像

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写像理解確率測度事象族事象【今⽇の地図】

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へのへのへももへのへのへのもへサイコロ

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⾯ 1 : へ⾯ 2 : の⾯ 3 : へ⾯ 4 : の⾯ 5 : も⾯ 6 : へ全事象 Ω へのも事象 ω 集合[1,0] 確率 𝑝 1 2 1 3 1 6 写像 𝑃 もへのへのへのもへサイコロ

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⾯ 1 : へ⾯ 2 : の⾯ 3 : へ⾯ 4 : の⾯ 5 : も⾯ 6 : へ全事象 Ω へのも事象族 𝓕 事象 ω 集合[1,0] 確率 𝑝 1 2 1 3 1 6 写像 𝑃 もへのへのへのもへサイコロ

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事象族 ℱ

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Encode Apple （Real） Apple （Information） Decode

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Apple Encode Fruit Red 1 (image) Real Information

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Apple Encode Fruit Red 1 (image) Real Information channel

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⾯ 1 : へ⾯ 2 : の⾯ 3 : へ⾯ 4 : の⾯ 5 : も⾯ 6 : へ全事象 Ω へのも事象族 𝓕 事象 ω 集合[1,0] 確率 𝑝 1 2 1 3 1 6 写像 𝑃 もへのへのへのもへサイコロ

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事象族 ℱは写像のchannel

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事象族𝓕が満たすべき譲れない５条件 1. 事象族ℱは全事象Ωの部分集合である ℱ ⊆ Ω 2. 空集合∅と全事象Ωは事象族ℱの要素である ∅, Ω ∈ ℱ 3. 事象族ℱは空集合∅であってはならない ℱ ≠ ∅ 4. 事象ωを要素に持つ時、その余事象) ωも要素である ω ∈ ℱ ⇒ ) ω ∈ ℱ 5. 要素同⼠の和集合も要素である ℱ = 𝜔!, . . . , 𝜔" ⇒ . #$! 𝜔# ∈ ℱ

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑃: ℱ → [0,1] 事象族 ℱ 事象族ℱが譲れない５条件を満たす → σ-加法族ℱと呼ぶ（σ-加法性を満たす）

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑷: ℱ → [0,1] 写像 𝑷が満たすべき譲れない３条件 σ-加法族 ℱ

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑷: ℱ → [0,1] 写像 𝑷が満たすべき譲れない３条件 1. 写像𝑃: ℱ → [0,1]もしくは𝑃: ω ⊆ Ω ↦ 𝑝 ∈ [0,1] σ-加法族 ℱ

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑷: ℱ → [0,1] 写像 𝑷が満たすべき譲れない３条件 1. 写像𝑃: ℱ → [0,1]もしくは𝑃: ω ⊆ Ω ↦ 𝑝 ∈ [0,1] 2. 全事象の確率𝑃(Ω) = 1 σ-加法族 ℱ

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑷: ℱ → [0,1] 写像 𝑷が満たすべき譲れない３条件 1. 写像𝑃: ℱ → [0,1]もしくは𝑃: ω ⊆ Ω ↦ 𝑝 ∈ [0,1] 2. 全事象の確率𝑃(Ω) = 1 3. 可算加法性を満たす σ-加法族 ℱ

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∀ ω= ∩ ω> = ∅ (𝑖 ≠ 𝑗) ⇒ 𝑃 - =?@ ω= = . =?@ 𝑃(ω= ) 可算加法性を満たす

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∀ ω= ∩ ω> = ∅ (𝑖 ≠ 𝑗) ⇒ 𝑃 - =?@ ω= = . =?@ 𝑃(ω= ) 互いに排反ならば、可算加法性を満たす

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可算加法性を満たす ∀ ω= ∩ ω> = ∅ (𝑖 ≠ 𝑗) ⇒ 𝑃 - =?@ ω= = . =?@ 𝑃(ω= ) 互いに排反ならば、和事象の確率は、事象の確率の和（σ-加法性とか完全加法性ともいうけど同じもの）

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑃: ℱ → [0,1] 写像 𝑃が満たすべき譲れない３条件事象族ℱが満たすべき譲れない５条件 σ-加法族 ℱ

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] σ-加法族 ℱ 写像 𝑃が譲れない３条件を満たす → 確率測度𝑃と呼ぶ事象族ℱが譲れない５条件を満たす → σ-加法族ℱと呼ぶ（σ-加法性を満たす）

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃 σ-加法族 ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 全事象𝛀: 起こりうる全ての事象を網羅した集合事象族𝓕: σ-加法性を満たし写像のchannelを規定する確率測度𝑷: 事象ωに対し確率𝑝を対応づける写像

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写像理解確率測度事象族事象【今⽇の地図】

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写像確率測度確率分布事象族確率変数事象理解【今⽇の地図】

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⾯ 1 : へ⾯ 2 : の⾯ 3 : へ⾯ 4 : の⾯ 5 : も⾯ 6 : へ全事象 Ω へのも事象族 ℱ 事象 ω 集合[1,0] 確率 𝑝 1 2 1 3 1 6 確率測度 𝑃 -1点 0点 -1点 0点 3点 -1点実数空間 𝑅 実現値 𝑥 写像 𝑋

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] σ-加法族 ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 実現値𝑥 写像 𝑿: 𝜴 → 𝑹

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] σ-加法族 ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 実現値𝑥 確率変数 𝑿: 𝜴 → 𝑹

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確率変数は写像【写像】ある集合の要素を他の集合のただ1つの要素に対応づける規則

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確率変数は写像全事象Ωの要素(事象ω)を確率空間𝒫[Ω, ℱ, 𝑃]の外側の実数集合𝑅のただ1つの要素(実現値𝑥)に対応づける規則全事象 Ω 実数集合 𝑅 事象 ω 実現値𝑥 確率変数 𝑋: ω ↦ 𝑥

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⾯ 1 : へ⾯ 2 : の⾯ 3 : へ⾯ 4 : の⾯ 5 : も⾯ 6 : へ全事象 Ω へのも事象族 ℱ 事象 ω 集合[1,0] 確率 𝑝 1 2 1 3 1 6 確率測度 𝑃 -1点 0点 -1点 0点 3点 -1点実数空間 𝑅 実現値 𝑥 確率変数 𝑋

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] σ-加法族 ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 実現値𝑥 確率変数 𝑿: 𝜴 → 𝑹

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] σ-加法族 ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 実現値𝑥 確率変数 𝑿: 𝜴 → 𝑹 対応づけられる？

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 実現値𝑥 確率変数(写像) 𝑿: 𝜴 → 𝑹 逆写像 𝑿"𝟏: 𝒙 ∈ 𝑹 ↦ ω ∈ 𝓕 σ-加法族 ℱ

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全事象 Ω 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 実現値𝑥 確率変数(写像) 𝑋: 𝛺 → 𝑅 σ-加法族 ℱ 写像 𝒇: 𝒙 ↦ 𝒑 集合 [0,1] 𝑋!"

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 実現値𝑥 確率変数(写像) 𝑋: 𝛺 → 𝑅 𝑋!" 確率分布(写像) 𝒇: 𝒙 ↦ 𝒑 σ-加法族 ℱ

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確率分布は写像【写像】ある集合の要素を他の集合のただ1つの要素に対応づける規則

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確率分布は写像実数集合Rの要素(実現値𝑥)を集合[0,1]のただ1つの要素(確率𝑝)に対応づける規則実数集合 R 集合 [1,0] 実現値 𝑥 確率𝑝 確率分布 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑝

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確率分布は写像実数集合Rの要素(実現値𝑥)を集合[0,1]のただ1つの要素(確率𝑝)に対応づける規則実数集合 R 集合 [1,0] 実現値 𝑥 確率𝑝 確率分布 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑝 ただし、

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確率分布は写像実数集合Rの要素(実現値𝑥)を集合[0,1]のただ1つの要素(確率𝑝)に対応づける規則実数集合 R 集合 [1,0] 実現値 𝑥 確率𝑝 確率分布 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑝 ただし、channelの規定が必要

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Apple Encode Fruit Red 1 (image) Real Information channel

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確率分布は写像実数集合Rの要素(実現値𝑥)を集合[0,1]のただ1つの要素(確率𝑝)に対応づける規則実数集合 R 集合 [1,0] 確率𝑝 確率分布 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑝 ただし、channel(族ℬ)の規定が必要実現値𝑥 族 ℬ

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確率分布は写像実数集合 R 集合 [1,0] 確率𝑝 確率分布 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑝 実現値𝑥 族 ℬ 族ℬが満たすべき譲れない５条件 → ボレルσ-加法族ℬと呼ぶ実数集合上で定義されるσ-加法族をボレルσ-加法族と呼んで差し⽀えないが、測度論的に厳密な定義にはもう少し⽤語の導⼊が必要になる。ボレル集合族ともいう。

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] 事象族 ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数空間 𝑅 実現値𝑥 確率変数(写像) 𝑋: 𝛺 → 𝑅 𝑋!" 確率分布(写像) 𝒇: 𝓑 → [𝟎, 𝟏] ボレルσ-加法族ℬ

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⾯ 1 : へ⾯ 2 : の⾯ 3 : へ⾯ 4 : の⾯ 5 : も⾯ 6 : へ全事象 Ω 集合[1,0] 確率 𝑝 1 2 1 3 1 6 確率分布 𝑓 -1点 0点 -1点 0点 3点 -1点実数空間 𝑅 実現値 𝑥 確率変数 𝑋 -1点 0点 3点事象族 ℬ

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1. 写像という概念を導⼊しました 2. 確率測度と定義しました 3. 確率空間を定義しました 4. 実数空間（実現値）を導⼊しました 5. 実数空間と確率空間を写像で結びました確率変数：事象から実現値への写像確率分布：実現値から確率への写像現在位置の確認これにより「実現値に対する確率」を考えることが出来るようになりました。（ヨシッ！）

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ふーん（それで？）

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それでですね、

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] σ-加法族ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 確率変数𝑋 𝑋!" 確率分布 𝑓: ℬ → [0,1] 実現値𝑥 ボレルσ-加法族ℬ

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃 σ-加法族 ℱ 確率空間𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 集合 [0,1] 実現値 𝑥 確率𝑝 確率分布 𝑓 ボレルσ-加法族 ℬ

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お前はもう、（ご唱和ください）

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お前はもう、確率空間だ。

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実数集合 R 集合 [0,1] 実現値𝑥 確率𝑝 確率分布 𝑓 σ-加法族 ℬ 確率空間 𝒳[𝑅, ℬ, 𝑓] 全事象𝐑: 起こりうる全ての事象を網羅した集合事象族𝓑: σ-加法性を満たし写像のchannelを規定する確率分布𝒇: 実現値𝑥に対し確率𝑝を対応づける写像

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全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] 事象族 ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数空間 𝑅 確率変数𝑋 𝑋!" 確率分布 𝑓: ℬ → [0,1] 確率空間 𝒳[𝑅, ℬ, 𝑃] 実現値𝑥 族ℬ

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確率分布𝑓が実数𝑥を確率𝑝に対応づける確率空間𝒳[𝑅, ℬ, 𝑓]

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確率空間𝒳[𝑅, ℬ, 𝑓] 確率変数𝑋による事象ωの実現値確率分布𝑓が実数𝑥を確率𝑝に対応づける

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確率空間𝒳[𝑅, ℬ, 𝑓] 確率変数𝑋による事象ωの実現値確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 確率分布𝑓が実数𝑥を確率𝑝に対応づける

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確率変数𝑋による実現値𝑥は確率分布𝑓に従って確率𝑝に対応づけられる

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確率変数𝑋による実現値𝑥は確率分布𝑓に従って確率𝑝に対応づけられる確率変数𝑋による実現値𝑥は確率分布𝑓に従って確率𝑝に対応づけられるう

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𝑋 ~ 𝑁(0, 1) 「確率変数𝑋 は正規分布𝑁(0,1)に従う」確率変数𝑋による実現値𝑥は正規分布𝑁に従って確率𝑝 に対応づけられる

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宿題あなたはだあれ？ 𝒙 = 𝟎の確率はゼロ

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写像確率測度確率分布事象族確率変数理解【今⽇の地図】

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写像確率測度確率分布確率密度事象族確率変数理解連続確率【今⽇の地図】

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確率分布𝑓を可視化する 𝑝 = 𝑓 𝑥

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・必ず1つの⾯が出る・⾯は均等に出る・各⾯には数値(実現値𝑥)が1つ書かれている・ 𝑥 ∈ seq(form = 0, to = 1, length = N) ・確率分布𝑓: 𝑥 ⟼ 𝑝すなわち𝑓 𝑥 = 𝑝とする理想的なN⾯体サイコロ

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理想的なN⾯体サイコロ 𝑝$ = 𝑓 𝑥$ = 1 6 𝑖 ∈ {1, 2, … , 6}

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理想的なN⾯体サイコロ 𝑝$ = 𝑓 𝑥$ = 1 15 𝑖 ∈ {1, 2, … , 15}

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理想的なN⾯体サイコロ 𝑖 ∈ {1, 2, … , ∞} 𝑝$ = 𝑓 𝑥$ = 1 ∞

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理想的なN⾯体サイコロ 𝑝$ = 𝑓 𝑥$ = 1 ∞ = 0 𝑖 ∈ {1, 2, … , ∞} 𝑥$ ∈ [0,1] この区間に含まれる実数全体

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連続確率分布𝑓 実現値𝑥に対し確率𝑝を対応づける写像のうち 𝑥が連続した1つの区間[𝑎, 𝑏]で定義されるもの。ただし(𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑏)を満たす。

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連続確率分布𝑓 実現値𝑥に対し確率𝑝を対応づける写像のうち 𝑥が連続した1つの区間[𝑎, 𝑏]で定義されるもの。ただし(𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑏)を満たす。特定の実現値𝑥# に対する確率𝑝# は必ず0になる。 𝑝$ = 𝑓 𝑥$ = 1 ∞ = 0

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確率𝑝# は実現値𝑥# の⽣じやすさを表す数値 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]だと全ての𝑥# について𝑝# = 0 従って「どの⾯も出ない」「必ず1つの⾯が出る」（定義）⽭盾

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実数集合 𝑅 集合 [0,1] 実現値 𝑥 確率𝑝 確率分布 𝒇: ℬ → [0,1] 確率分布 𝒇が満たすべき譲れない３条件 1. 写像𝑓: ℬ → [0,1] 2.全事象の確率𝑓(𝑅) = 1 3. 可算加法性を満たす σ-加法族 ℬ

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実数集合 𝑅 集合 [0,1] 実現値 𝑥 確率𝑝 確率分布 𝒇: ℬ → [0,1] 確率分布 𝒇が満たすべき譲れない３条件より σ-加法族 ℬ 𝑓 𝑅 = 0 !" " 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

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理想的なN⾯体サイコロ 𝑝$ = 𝑓 𝑥$ = 1 ∞ = 0 コレの積分が1 𝑓 𝑅 = O "% % 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

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そうだ、累積確率を考えよう

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𝐹 𝑥 = 2 !" # 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 = 4 ##$# 𝑓(𝑥% ) 累積確率𝐹 連続確率分布𝑓について離散確率分布𝑓について

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𝑓 𝑥 𝐹 𝑥 確率分布累積確率

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𝐹 𝑥 = 5 PQ R 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 連続確率分布𝑓について 𝑓 𝑥 = 1 ∞ 無限に⼩さい数を⾜し上げている累積確率𝑭は𝒙の定義域内で微分可能確率分布累積確率

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微分可能？よろしい、ならば微分しよう。

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𝐹 𝑥 = 5 PQ R 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 1 ∞ 確率分布累積確率 f 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 確率密度連続確率分布𝑓について

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確率分布 𝑓 𝑥 累積確率 𝐹 𝑥 確率密度 f 𝑥

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確率分布 𝑓 𝑥 累積確率 𝐹 𝑥 確率密度 f 𝑥 𝑝 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = ? ! " 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ? ! " f 𝑥 𝑑𝑥 a b a b

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𝐹 𝑥 = 5 PQ R 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 1 ∞ 確率分布累積確率 f 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 確率密度例外なく定式化できない 𝑓 𝑥 こっちで定式化する連続確率分布𝑓について

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正規分布の確率密度f f 𝑥 = 1 2πσU exp −(𝑥 − µ)U 2σU 例のあの式！

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確率分布𝑓 𝑥 累積確率𝐹 𝑥 確率密度f 𝑥 正規分布⼀様分布

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例のグラフは正規分布の確率密度fを表す Q. あなたはだあれ？ 𝒙 = 𝟎の確率𝑝はゼロ A. 確率密度

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写像確率測度確率分布確率密度事象族確率変数正規分布連続確率事象【今⽇の地図】

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確率分布を取り扱うための関数 in R

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確率分布関数 𝑓 𝑥 𝐹 𝑥 f 𝑥 確率分布関数確率分布関数確率質量関数 (実現値が離散量なのを強調したい?) 累積確率分布関数累積確率分布関数累積確率分布関数累積確率分布関数確率密度分布関数確率密度分布関数呼び⽅いろいろ問題累積確率分布関数 (他にもあるかも) 確率密度分布関数

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