NumPyとSciPyの使い方 / Python NumPy

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1 31 NumPyとSciPyの使い方プログラミング基礎同演習慶應義塾大学理工学部物理情報工学科渡辺

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2 31 NumPyとSciPyの使い方

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3 31 多次元配列を高速に扱うためのモジュール配列指向 (Array Oriented Computing) 裏でLAPACKというライブラリを呼んでいる LAPACKはBLASというライブラリ上に構築されている BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) LAPACK (Linear Algebra PACKage) NumPy (Numeric Python)

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4 31 ベクトルや行列同士の演算ルーチンをまとめたものこれがないと数値計算ができない新しいCPUでは、専用のBLASライブラリが必要(BLAS職人) Level 1 ベクトル同士の演算 = + Level 2 ベクトルと行列の演算 = x = ・ Level 3 行列と行列の演算 = x Basic Linear Algebra Subprograms

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5 31 Linear Algebra PACKage BLASをビルディングブロックとして線形代数の問題を解くパッケージ連立一次方程式最小二乗法固有値問題特異値問題 https://www.r-ccs.riken.jp/wp-content/uploads/2019/05/nakata190523.pdf 線形代数演算ライブラリBLAS とLAPACKの基礎と実践 (中田真秀) 𝐴𝑥 = 𝑏 min 𝑏 − 𝐴𝑥 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 𝑋 = 𝑈Σ𝑉† 今回の課題

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6 31 もともとは線形代数の問題を解くパッケージ (現在はLAPACKが広く使われている) LINPACKは主にベンチマークとして使われている LINPACKベンチマーク・巨大な連立一次方程式を解くベンチマーク・Top500というスパコンのランキングに用いられる・Top500は年に二回開催される LINPACK

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7 31 地球シミュレータ京コンピュータ富岳合計 1位 500位

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8 31 線形代数はとても大事 NumPy/SciPyがあるからPythonを使うという人がいるくらい、線形代数、行列計算は数値計算においてとても重要数値計算に限らず、理工系全ての分野に線形代数が現れる線形代数は真面目に勉強しておきましょう

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9 31 import numpy as np まずNumPyをインポート np.arrayにPythonのリストを渡すとNumPy配列になる data = np.array([1,2,3]) data 1 2 3 A Visual Intro to NumPy and Data Representation (https://jalammar.github.io/visual-numpy/) np.array([[1,2],[3,4]]) data 1 2 3 4

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10 31 A Visual Intro to NumPy and Data Representation (https://jalammar.github.io/visual-numpy/) np.zeros(3) 0 0 0 0 0 0 0 np.zeros((2,2)) np.ones(3) 1 1 1 1 1 1 1 np.ones((2,2)) np.zerosで要素が全てゼロ、np.onesで要素が全て1の NumPy配列を作ることができる「形」はタプルで指定

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11 31 data = np.arange(8) 連番の一次元配列を作るにはnp.arangeを使う 0 1 2 3 4 5 6 7

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12 31 NumPy配列は、メモリ上では一次元配列として格納 np.array([[1,2],[3,4]]) data 1 2 3 4 メモリ 1 2 3 4 data (2,2) NumPy配列の「形」は、shapeで得ることができる data.shape #=> (2,2)

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13 31 a = np.arange(8) 0 1 2 3 4 5 6 7 b = a.reshape((2,4)) 0 1 2 3 4 5 6 7 c = a.reshape((2,2,2)) 4 5 6 7 0 1 2 3 2 4

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14 31 同じ形(shape)のNumPy配列同士は四則演算ができる 0 1 2 1 1 1 + = 1 2 3 0 1 2 3 ※ 演算は要素ごとになることに注意 0 1 2 3 x = 0 1 4 9

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15 31 NumPy配列にスカラー量を演算できる 0 1 2 1 + = 1 2 3 0 1 2 1 + = 1 1 0 1 2 2 x = 0 2 4 0 1 2 2 x = 2 2

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16 31 from scipy import linalg import numpy as np まずはインポートする linalg.eighでエルミート行列の固有値、固有ベクトルを求める a = np.array([[1,2],[2,1]]) w, v = linalg.eigh(a) 1 2 2 1 a w 3 -1 行列固有値 1 -1 v固有ベクトル (※) 1 1 ※実際には正規化されたベクトルが得られる

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17 31 シュレーディンガー方程式の固有値問題行列の低ランク近似による画像圧縮 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 𝑋 = 𝑈Σ𝑉†

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18 31 目標差分化により、シュレーディンガー方程式が行列の固有値問題に帰着することを確認 • 固有値が基底状態のエネルギーとして得られる • 基底状態の波動関数が対応する固有ベクトルとして得られる

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19 31 𝑣 ℎ 山の高さを超えられない初速古典系の場合山を登りきれずに 100%跳ね返される量子系の場合ほとんど跳ね返されるが… 低確率ですり抜ける

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20 31 電子をエネルギー障壁で閉じ込める (井戸型ポテンシャル) 電子の存在確率が障壁の外に少しだけ染み出す −ℏ2 2𝑚 𝑑2 𝑑𝑥2 + 𝑉 𝑥 𝜓 𝑥 = 𝐸𝜓(𝑥) 電子の存在確率は以下のシュレーディンガー方程式の解として求まる

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21 31 −ℏ2 2𝑚 𝑑2 𝑑𝑥2 + 𝑉 𝑥 𝜓 𝑥 = 𝐸𝜓(𝑥) シュレーディンガー方程式 𝜓 𝑥 離散化 𝑣𝑖 連続的な関数離散的なベクトル

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22 31 𝑑2𝜓 𝑑𝑥2 ∼ 𝑣𝑖+1 −2𝑣𝑖 +𝑣𝑖−1 「微分」は「差分」で近似できる −ℏ2 2𝑚 𝑑2 𝑑𝑥2 + 𝑉 𝑥 𝜓 𝑥 = 𝐸𝜓(𝑥) 𝐻 Ԧ 𝑣 = 𝜆 Ԧ 𝑣 離散化シュレーディンガー方程式行列の固有値問題固有値：電子のエネルギー固有ベクトル：電子の存在確率

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23 31 電子の存在確率が障壁の外に少しだけ染み出す E 0 -5 閉じ込め効果により少しエネルギーが高くなる井戸型ポテンシャルに閉じ込められた電子が・障壁の外に少し染み出すこと・閉じ込めによりエネルギーが少し高くなることを確認する

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24 31 目標モノクロ画像は「行列」とみなすことができる行列を特異値分解し、低ランク近似により近似行列を作る

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25 31 m行k列の行列と k行n列の行列の積はm行n列になる (3, 4) (4, 5) (3, 5) X = (3, 4) (4, 5) (3, 5)

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26 31 m行k列の行列と k行n列の行列の積はm行n列になる kを小さくとると、大きな行列を細い行列の積で近似できる ≒ x m n m k k n 要素数mn 要素数mk 要素数kn k << m, n なら mn >> k(m+n)

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27 31 𝑋 = 𝑈Σ𝑉† x x = 𝑋 𝑈 𝑉† Σ Σ 特異値(対角行列) Singular Value Decomposition, SVD 𝑈 𝑉† ユニタリ行列(正方行列)

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28 31 x x = 𝑋 𝑈 𝑉† Σ 𝑈 Σ x Σ𝑉† = こことここだけ使って再構成 ෨ 𝑋 = x 𝑈 Σ Σ𝑉†

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29 31 モノクロ画像は、行列とみなすことができる 25 68 59 12 高さh、幅wのモノクロ画像は各要素0から255のh行w列の行列

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30 31 インターネットから画像をダウンロード画像をモノクロ化行列とみなして低ランク近似近似された画像 ෨ 𝑋 = x 𝑈 Σ Σ𝑉†

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31 31 インターネットから画像をダウンロード画像をモノクロ化行列とみなして低ランク近似近似された画像 ෨ 𝑋 = x 𝑈 Σ Σ𝑉†