2024年度秋学期　統計学　第14回　分布についての仮説を検証する－仮説検定（１） (2025. 1. 8)

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関西大学総合情報学部浅野　晃統計学 2024年度秋学期第14回分布についての仮説を検証する ― 仮説検定（１）

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仮説検定

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仮説検定の考え方は，単純

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃くじのあたり確率 3 「夏祭り，夜店のくじに当たりなし　　　露天商の男を逮捕」（朝日新聞大阪版2013年7月29日）

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃くじのあたり確率 3 「夏祭り，夜店のくじに当たりなし　　　露天商の男を逮捕」（朝日新聞大阪版2013年7月29日）「１万円以上をつぎ込んだ男性が不審に思い、府警に相談。２８日に露店を家宅捜索し、当たりがないことを確認した」

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃半分当たるというくじへの疑問 4 「半分の確率で当たる」というくじを 10回ひいても，１回も当たらなかった運が悪いのか？それとも「半分の確率で当たる」というのがウソか？ https://illpop.com/png_season/dec01_a07.htm どちらが正しいともいえない。

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃こう考える 5 警察みたいに全部のくじを調べられないなら，仮に，本当に「確率1/2で当たる」とするそのとき， 10回ひいて1回も当たらない確率は， (1/2)10=1/1024

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃こう考える 6 本当に「確率1/2で当たる」なら， 10回ひいて1回も当たらない確率は1/1024（約0.001）それでも「確率1/2で当たる」を信じるのは，確率0.001でしか起きないことが，いま目の前で起きていると信じるのと同じ

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃こう考える 7 確率0.001でしか起きないことが，いま目の前で起きていると信じる

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃こう考える 7 確率0.001でしか起きないことが，いま目の前で起きていると信じるそりゃちょっと無理がありませんか？

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃こう考える 7 確率0.001でしか起きないことが，いま目の前で起きていると信じるそりゃちょっと無理がありませんか？というわけで，「確率1/2で当たる」はウソ，と考えるほうが自然

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃こう考える 7 確率0.001でしか起きないことが，いま目の前で起きていると信じるそりゃちょっと無理がありませんか？というわけで，「確率1/2で当たる」はウソ，と考えるほうが自然これが［仮説検定］

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復習：t分布と区間推定

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃正規分布の場合の区間推定 9 例題標本をとりだすサイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団（受験者全体）母平均 μ 母平均の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布と仮定する母分散がわかっているものとする σ2 （説明の都合です）標本平均 ¯ X

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃正規分布の場合の区間推定 10 考え方標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう正規分布 N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散がになる 1/n 正規分布 N(μ, σ2/n) ［性質２］正規分布の［性質１］により ¯ X Z = ¯ X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0,1)

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃正規分布の場合の区間推定 11 例題標本をとりだすサイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団（受験者全体）母平均 μ 母平均の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布と仮定する母分散がわか σ2 標本平均 ¯ X らないので，

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃正規分布の場合の区間推定 11 例題標本をとりだすサイズ X1 , X2 , …, Xn n 母集団（受験者全体）母平均 μ 母平均の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布と仮定する母分散がわか σ2 標本平均 ¯ X らないので，不偏分散で代用 s2

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 12 は t = ¯ X − µ s2/n t統計量

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 12 は t = ¯ X − µ s2/n 自由度の t分布にしたがう (n − 1) t統計量

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 12 は t(n − 1) t = ¯ X − µ s2/n 自由度の t分布にしたがう (n − 1) t統計量

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 12 は t(n − 1) t = ¯ X − µ s2/n 自由度の t分布にしたがう (n − 1) t統計量（「スチューデントのt分布」という）

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 12 は t(n − 1) t = ¯ X − µ s2/n 自由度の t分布にしたがう (n − 1) t統計量（「スチューデントのt分布」という）発見者ウィリアム・ゴセットのペンネーム

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 13 は自由度の t分布にしたがう (n − 1) の確率密度関数 t(n − 1) t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 13 この区間に入っている確率=95%とするとは自由度の t分布にしたがう (n − 1) の確率密度関数 t(n − 1) が t = ¯ X − µ s2/n t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 13 この区間に入っている確率=95%とするとは自由度の t分布にしたがう (n − 1) の確率密度関数 t(n − 1) が面積=95% t = ¯ X − µ s2/n t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 13 この区間に入っている確率=95%とするとは自由度の t分布にしたがう (n − 1) の確率密度関数 t(n − 1) が面積=95% 境界の値はいくら？ t = ¯ X − µ s2/n t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 14 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%）

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 14 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%）境界の値は自由度によってちがうので

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 14 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%）境界の値は自由度によってちがうので t0.025 (n − 1) としておく

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 14 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%）境界の値は自由度によってちがうので t0.025 (n − 1) としておく［上側2.5%点］

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 15 この区間に入っている確率=95% が面積=95% t = ¯ X − µ s2/n t(n − 1)

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 15 この区間に入っている確率=95% が面積=95% t = ¯ X − µ s2/n t0.025 (n − 1) t(n − 1)

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 15 この区間に入っている確率=95% が面積=95% t = ¯ X − µ s2/n t0.025 (n − 1) −t0.025 (n − 1) t(n − 1)

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 16 がとの間に入っている確率が95% −t0.025 (n − 1) t0.025 (n − 1) t = ¯ X − µ s2/n

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 16 式で書くとがとの間に入っている確率が95% −t0.025 (n − 1) t0.025 (n − 1) t = ¯ X − µ s2/n

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 16 式で書くとがとの間に入っている確率が95% −t0.025 (n − 1) t0.025 (n − 1) t = ¯ X − µ s2/n P −t0.025(n − 1) ¯ X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 16 式で書くとがとの間に入っている確率が95% −t0.025 (n − 1) t0.025 (n − 1) の式に直すと μ t = ¯ X − µ s2/n P −t0.025(n − 1) ¯ X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 16 式で書くとがとの間に入っている確率が95% −t0.025 (n − 1) t0.025 (n − 1) の式に直すと μ t = ¯ X − µ s2/n P −t0.025(n − 1) ¯ X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃前回のテキストの例題 17 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃前回のテキストの例題 17 標本平均=50 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃前回のテキストの例題 17 標本平均=50 不偏分散=25 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃前回のテキストの例題 17 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃前回のテキストの例題 17 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 t0.025 (10 − 1) = 2.262 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃前回のテキストの例題 17 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯ X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯ X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 t0.025 (10 − 1) = 2.262 の95% 信頼区間の下限 μ の95% 信頼区間の上限 μ で，信頼区間を求めるのは，今日の本題ではありません。

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t分布と検定

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布と検定：例題 19 10人の実験協力者に，薬Aを与えた場合と薬Bを与えた場合とで，それぞれある検査を行うと，その結果の数値は次の表の通りとなりました。このとき，薬Bは，薬Aよりも，検査の数値を高くする働きがあるといえるでしょうか？実験協力者番号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 薬 A 60 65 50 70 80 40 30 80 50 60 薬 B 64 63 48 75 83 38 32 83 53 66

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布と検定：例題 20 問題は，それぞれの実験協力者について，薬Aと薬Bで数値がどう変化しているか。各実験協力者について，（薬Bでの数値） – （薬Aでの数値）を求める実験協力者番号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 薬 A 60 65 50 70 80 40 30 80 50 60 薬 B 64 63 48 75 83 38 32 83 53 66 差 4 −2 −2 5 3 −2 2 3 3 6

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布と検定：例題 21 差の平均値について「薬Bでの数値のほうが高い」か？薬Bでの数値のほうが高い（＋）薬Aでの数値のほうが高い（–）どちらの実験協力者もいる実験協力者番号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 薬 A 60 65 50 70 80 40 30 80 50 60 薬 B 64 63 48 75 83 38 32 83 53 66 差 4 −2 −2 5 3 −2 2 3 3 6

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃「本質的な差」 22 10人の実験協力者について，差の平均値は +2 薬Bでの数値のほうが高いその差は，偶然生じたものではなく「本質的な」差なのか？「本質的」とは？実験協力者番号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 薬 A 60 65 50 70 80 40 30 80 50 60 薬 B 64 63 48 75 83 38 32 83 53 66 差 4 −2 −2 5 3 −2 2 3 3 6 仮に全人類が薬を飲んだとしても薬Bでの数値のほうが高い

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃検定で考える 23 1. 母集団（ここでは，世界のすべての患者）についてはつまり，「本質的な差はない」という仮説を設定する。「薬Aと薬Bでの差」の平均は0 と仮説を設定する。

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃検定で考える 24 2. 実験協力者は，母集団から無作為抽出された， 10人からなる標本と考える。 1.「母集団（ここでは，世界のすべての患者）については『薬Aと薬Bでの差』の平均は0」と仮説を設定する。　つまり，「本質的な差はない」という仮説を設定する。

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃検定で考える 25 2. 実験協力者は，母集団から無作為抽出された，10人からなる標本と考える。 1.「母集団（ここでは，世界のすべての患者）については『薬Aと薬Bでの差』の平均は0」と仮説を設定する。　つまり，「本質的な差はない」という仮説を設定する。 3. 実験協力者10人での「薬Aと薬Bでの差」の平均値を求める。

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃検定で考える 26 2. 実験協力者は，母集団から無作為抽出された，10人からなる標本と考える。 3. 実験協力者10人での「薬Aと薬Bでの差」の平均値を求める。 1.「母集団（ここでは，世界のすべての患者）については『薬Aと薬Bでの差』の平均は0」と仮説を設定する。　つまり，「本質的な差はない」という仮説を設定する。 4. 実験協力者10人について求められた「薬Aと薬Bでの差」が，「本質的な差はない」はずの母集団から無作為抽出されたときに偶然生じる確率を求める。

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃検定で考える 27 2. 実験協力者は，母集団から無作為抽出された，10人からなる標本と考える。 3. 実験協力者10人での「薬Aと薬Bでの差」の平均値を求める。 1.「母集団（ここでは，世界のすべての患者）については『薬Aと薬Bでの差』の平均は0」と仮説を設定する。　つまり，「本質的な差はない」という仮説を設定する。 4. 実験協力者10人について求められた「薬Aと薬Bでの差」が，「本質的な差はない」はずの母集団から無作為抽出されたときに偶然生じる確率を求める。 5.その確率が小さければ，「こんな差が偶然生じるとは思わない」と考える。すなわち，「本質的な差はない」という当初の仮説は誤りと結論する。

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃検定で考える 28 この論理を仮説検定（検定）という 2. 実験協力者は，母集団から無作為抽出された，10人からなる標本と考える。 3. 実験協力者10人での「薬Aと薬Bでの差」の平均値を求める。 1.「母集団（ここでは，世界のすべての患者）については『薬Aと薬Bでの差』の平均は0」と仮説を設定する。　つまり，「本質的な差はない」という仮説を設定する。 4. 実験協力者10人について求められた「薬Aと薬Bでの差」が，「本質的な差はない」はずの母集団から無作為抽出されたときに偶然生じる確率を求める。 5.その確率が小さければ，「こんな差が偶然生じるとは思わない」と考える。すなわち，「本質的な差はない」という当初の仮説は誤りと結論する。

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃例題に検定で答える 29 母集団全体での「薬Aと薬Bでの差」は，平均 μ の正規分布にしたがうと考える薬Bでの数値のほうが「本質的に」高いか？標本サイズを（例題では10）標本平均を（例題では，10人の実験協力者における差の平均値で，+2）不偏分散を（例題では，10人の実験協力者についての不偏分散で，8.89） n ¯ X s2 t = X − µ s2 n t統計量は，自由度(n–1)のt分布にしたがう実験協力者番号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 薬 A 60 65 50 70 80 40 30 80 50 60 薬 B 64 63 48 75 83 38 32 83 53 66 差 4 −2 −2 5 3 −2 2 3 3 6

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃例題に検定で答える 30 薬Bでの数値のほうが「本質的に」高いか？標本サイズを（例題では10）標本平均を（例題では，10人の実験協力者における差の平均値で，+2）不偏分散を（例題では，10人の実験協力者についての不偏分散で，8.89） n ¯ X s2 t = X − µ s2 n t統計量は，自由度(n–1)のt分布にしたがう「母集団については『薬Aと薬Bでの差』の平均は0」という仮説 μ = 0 → 実験協力者番号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 薬 A 60 65 50 70 80 40 30 80 50 60 薬 B 64 63 48 75 83 38 32 83 53 66 差 4 −2 −2 5 3 −2 2 3 3 6

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃例題に検定で答える 31 標本サイズを（例題では10）標本平均を（例題では，10人の実験協力者における差の平均値で，+2）不偏分散を（例題では，10人の実験協力者についての不偏分散で，8.89） n ¯ X S2 このとき，t統計量は仮説より，μ= 0 t = ¯ X − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t統計量= +2.121 の意味 32 自由度(10-1)のt分布の上側5%点仮説が正しいとするとき，t統計量 t = ¯ X − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t 確率密度 t0.05 (10 – 1) = +1.8331 μ = 0 が正しいとすると t = +2.121 t(10 – 1) t統計量がグレーの領域に入る確率は5% t統計量がこんなに大きな値になる確率は 5% μ＝０

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃仮説は間違っている，と考える 33 そんな小さな確率でしか起きないはずのことが起きているのは不自然仮説が正しいとするとき，t統計量 t = ¯ X − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t統計量がこんなに大きな値になる確率は5% 仮説が間違っていると考える μ＝０

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃では，どういう結論なら 34 仮説が正しいとするとき，t統計量 t = ¯ X − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t 確率密度 t0.05 (10 – 1) = +1.8331 μ = 0 が正しいとすると t = +2.121 t(10 – 1) t統計量がグレーの領域に入る確率は5% t統計量がこんなに大きな値になる確率は 5% μ＝０

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃仮説は間違っている，と考える 35 本当は，μはもっと大きいと考える仮説が正しいとするとき，t統計量 t = ¯ X − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t統計量がこんなに大きな値になる確率は5% 仮説が間違っていると考える μ＝０ μ>０薬Bでの数値のほうが高い，と考える

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検定の言葉💬💬

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃検定の言葉 37 本当は，μはもっと大きいと考える仮説が正しいとするとき，t統計量 t = ¯ X − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t統計量がこんなに大きな値になる確率は5% 仮説が間違っていると考える μ＝０ μ>０薬Bでの数値のほうが高い，と考える［帰無仮説］ H0: μ= 0

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38 2024年度秋学期　統計学／　関西大学総合情報学部　浅野　晃検定の言葉 38 仮説が正しいとするとき，t統計量 t = ¯ X − μ s2 n = 2 − 0 8.89 10 = + 2.121 t 確率密度 t0.05 (10 – 1) = +1.8331 μ = 0 が正しいとすると t = +2.121 t(10 – 1) t統計量がグレーの領域に入る確率は5% t統計量がこんなに大きな値になる確率は 5% μ＝０