0 双対問題について 2023-07-28 第54回NearMe技術勉強会 Yuta Okamoto

1 目次 1. はじめに 2. 前回までの内容・今回のゴール 3. 前提知識 4. 双対問題とは 5. 主問題と双対問題の関係性 6. 次回予告

2 1.はじめに ● アイスブレイク ○ 問題です． ■ 見た目がそっくりな双子の姉妹がいる。片方は正直者、もう一方は嘘つき。 ■ 姉妹のどちらが正直者かわからない。 ■ 今、目の前に姉妹のうちの一人が立っている。 ■ はい/いいえで答えられる単文の質問を一つだけ聞ける。 ■ 何と聞けば、彼女が姉か妹かを見極められるか？

3 2.前回までの内容・今回のゴール ● 前回までの内容 ○ グラフの工夫でさまざまな条件を表現できること ■ 盛り込みたい条件をノードやエッジを使ってうまくで表すところ が肝 ● 今回のゴール ○ 双対問題ってなんなのか理解する

4 3.前提知識 ● 線形計画問題 ○ 今回は線形な最適化問題の双対問題について説明 ○ 目的関数（最大化させたいもの）も制約条件（守るべきルー ル）も線形なもの 最適化問題 非線形 線形

5 4.双対問題とは ● 元々考えていた最適化問題を主問題とすると，主問題のペアに なるような問題が存在する． P D 主問題 双対問題 双対関係

6 4.前提知識 ● 補足 ○ 双対問題は非線形な最適化問題には存在しませんか？ ■ するらしいですが，私はよく知りません󰢛 ○ 双対問題はいつ頃発見されましたか？ ■ 結構前です．厳密な証明はAlbert W. Tuckerらが1948年 に発表したらしい．

7 4.双対問題とは ● 補足 ○ 双対問題はどうやって手に入りますか？ ■ 主問題から導出できます．次回の詳しく説明します！ ○ 主問題を解けばいいのになんでわざわざ双対問題なんか考 えるんでしょうか？ ■ 主問題を解くよりも簡単に主問題の答えを手に入れられる からです．あとは大域最適解であることの証拠になるから です．

8 5.主問題と双対問題の関係性 ● 以下の関係性がある． ○ 一方の目的関数の値が，もう一方の下界を与える ○ 一方が最適解を持つならばもう一方も最適解を持ち，それら は一致する ○ 一方が非有界ならば，もう一方は実行不能である ■ ※「一方が実行不能ならばもう一方は非有界」は言えない

9 5.主問題と双対問題の関係性 ● 図でイメージを掴んでみる． opt obj val

10 5.主問題と双対問題の関係性 ● 具体例でイメージを掴んでみる ○ 最大流問題 & 最小カット問題 https://gist.github.com/yutaokamoto/2cb866df 13a56a045cf3a8655a3ad827

11 6.次回予告 ● 主問題から双対問題を導出する （ワークショップ的なやつを予定）

12 出典 ● 「双対問題」（2020年4月30日（木）13:49 UTCの版）『ウィキペディア日本語版』． https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E5%95%8F%E9 %A1%8C（参照 2023年7月27日） ● Log Opt.「最大流問題」（2023年1月29日）『opt100』． https://scmopt.github.io/opt100/10maxflow.html#%E6%9C%80%E5%A4%A 7%E6%B5%81%E5%95%8F%E9%A1%8C%EF%BC%88maximum-flow-pr oblem%EF%BC%89（参照 2023年7月28日）

13 Thank you