1 双対問題の導出 2023-09-08 第59回NearMe技術勉強会 Yuta OKAMOTO

2 目次 1. 前回までの内容・今回のゴール 2. 前提知識 3. 双対問題の導出 4. 主問題と双対問題の間に成り立つ定理 5. 次回予告

3 1.前回までの内容・今回のゴール ● 前回までの内容 ○ 双対問題とは何か ■ 主問題と双対問題は鏡像のような関係 ■ うれしい関係が成り立つ ● 今回のゴール ○ 双対問題の簡単な導出をマスター

4 2.前提知識 ● 線形計画問題 • 今回は線形な最適化問題の双対問題について説明 • 目的関数（最大化させたいもの）も制約条件（守るべきルー ル）も線形なもの 最適化問題 非線形 線形

5 2.前提知識 ● 双対問題についてふわっと理解: ○ 元々考えていた最適化問題を主問題とすると，主問題のペ アになるような問題が存在する． P D 主問題 双対問題 双対関係

6 2.前提知識 ● 以下の関係性がある． ○ 一方の目的関数の値が，もう一方の下界を与える ○ 一方が最適解を持つならばもう一方も最適解を持ち，それ らは一致する ○ 一方が非有界ならば，もう一方は実行不能である ■ ※「一方が実行不能ならばもう一方は非有界」は言えな い

7 2.前提知識 ● 上界と下界 opt obj val

8 3.双対問題の導出 P D http://www.me.titech.ac.jp/~mizu_lab/text/PDF-LP/LP2-dual.pdf

9 3.双対問題の導出 - 最大流問題と最小カット問題 https://scmopt.github.io/opt100/10maxflow.html

10 3.双対問題の導出 - 最大流問題と最小カット問題 P D

11 3.双対問題の導出 - 最大流問題と最小カット問題 以下のノートブックを使って，システマチックに導出した場合でも目的 関数値が一致することを確認する https://gist.github.com/yutaokamoto/2902973186e0584837e6dfcd 6b59b2c6

12 4.次回予告 ● 双対問題導出のちゃんとした説明 ● 双対定理と相補性条件について

13 出典 ● Log Opt.「最大流問題」（2023年1月29日）『opt100』． https://scmopt.github.io/opt100/10maxflow.html#%E6%9C%80%E5%A4 %A7%E6%B5%81%E5%95%8F%E9%A1%8C%EF%BC%88maximum-f low-problem%EF%BC%89（参照 2023年9月8日） ● 水野眞治「双対問題と双対定理」（2013年2月9日）『学習用テキスト 線形計画 法 (2)』．http://www.me.titech.ac.jp/~mizu_lab/text/PDF-LP/LP2-dual.pdf （参照 2023年9月8日）

14 Thank you