私を SKI に連れてって

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ࢲΛ SKI ʹ࿈Εͯͬͯ 201x年m月d日第3回 OUCC LT会のつもりだったけど長すぎてボツ

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͓લ୭ͬͯਓͷͨΊͷ すしす Twitter: @susisu2413 GitHub: susisu

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ຊ೔ͷ༧ఆ λ計算入門 SKIコンビネータ入門 Lazy K の紹介

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λܭࢉೖ໳

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λܭࢉͱ͸ "計算"を関数とその適用でモデル化したもの関数型言語の理論的基盤ここでは型無しλ計算を紹介します型付きもあるんだよ

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λࣜ 変数 a, b, c, ..., x, y, z, ... λ抽象 λx.x, λx.λy.(x y), ... 関数適用 (f x)

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λࣜ λx.λy.* は λx y.* と略記する関数適用の括弧は曖昧でない場合は省略する x y = (x y) 関数適用は左結合 f x y = ((f x) y)

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α-ม׵ λ抽象の束縛変数名は重要ではない例えば λx.x = λy.y 束縛変数名を別の名前に置き換える操作をα-変換と呼ぶ α-変換で同じλ式にできるなら等価

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β-؆໿ 要はただの関数適用の評価 λ抽象内部の束縛変数を全て引数で置き換える例えば (λx.f x) y = f y β-簡約で同じλ式にできるなら等価

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η-ม׵ どんな引数に対しても同じ結果になるならば、それらは同じといってもいいよね (外延的等価性) 例えば f = λx.f x これらの間の変換をη-変換と呼ぶ η-変換で同じλ式にできるなら等価

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Quiz 1. λx.x y = λy.y y ? 2. (λx.λx.x y) y = λy.y y ? 3. λx.x = (λx y z.x z (y z)) (λx y.x) (λx y.x) ?

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Answer 1. No 2. No 3. Yes

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λܭࢉ λ式と変換・簡約の規則をまとめて λ計算と呼ぶ λ計算はチューリング完全どんな手続き (プログラム) もλ式で表現できる

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Q. Ͳ͏ܭࢉ͢Δͷ 入力 x が与えられるとする手続きを表すλ式 p をうまく選べば、例えば y = p x で出力が得られる y を変換・簡約すれば解読できそう

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Q. ਺஋ͱ͔Ͳ͏͢Δͷ 数値がなければ、λ式を使えばいいじゃない真理値がなければ、λ式を使えばリストがなければ、λ式を

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Church਺ λ式で自然数を表わすひとつの方法

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Church਺ 0 := λf x.x 1 := λf x.f x 2 := λf x.f (f x) ...

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Church਺ 次の自然数を求める関数 Succ Succ := λn f x.f (n f x) 足し算 Add Add := λa b f x.a f (b f x) 掛け算はどうなるか考えてみよう

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Church਺ 掛け算 Mul Mul := λa b f x.a (b f) x

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Church਺ 前の自然数を求める関数 Pred Pred := λn f x. n (λg h.h (g f)) (λy.x) (λy.y) ただし Pred 0 = 0 キリがないのでこれ以上はやめる

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Churchਅཧ஋ True := λx y.x False := λx y.y If := λp x y.p x y = λp.p

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Churchਅཧ஋ AND, OR, NOT And := λp q.p q False Or := λp q.p True q Not := λp.p False True

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ड़ޠͷྫ Church数 n が 0 かどうか調べる 0 = λf x.x だった IsZero := λn. n (λx.False) True だんだんとプログラムが書ける気がしてきませんか？

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Churchର リストや木構造は対 (pair) の連鎖で表現できる [1, 2, 3] = (1, (2, (3, 空))) 対をλ式で表現できればいいよね

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Churchର 対をつくる関数 Cons Cons := λx y c.c x y かんたん！べんり！

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Churchର 対の前後を取り出す関数 Car, Cdr Car := λp.p (λx y.x) Cdr := λp.p (λx y.y)

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Churchର 空 (リストの終端) は？好きなものを使えば良い False が一般的っぽい？

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Quiz 入力 x が 2 つのChurch数 a, b の Church対で与えられる出力 y = p x が、a = 0 なら y = b、それ以外なら y = a * b となる p を書いてみよう Succ などこれまでに定義したものは使ってもよい

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Answer 例: λx.IsZero (Car x) (Cdr x) (Mul (Car x) (Cdr x))

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܁Γฦ͠ॲཧ 繰り返し処理を関数で表現したい時は、再帰的な関数を書けばいい f(0) = 1, f(n) = n * f(n - 1) けれどλ計算では"再帰的な定義"ができないので、単純には書けない

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ؔ਺ͷෆಈ఺ 関数 f に対して、f x = x となるような x を f の不動点と呼ぶ

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Fix 関数 f を引数にとり、その不動点を返す関数 Fix が存在したとする Fix f = f (Fix f) f = λx n. IsZero n True (x (Pred n)) Fix f n は n 回の空ループになる

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Fix Fix があれば、繰り返し処理を表現することが出来るこのような関数 Fix をなんとかλ式だけで表現できないか？

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Fix できる！ Fix := λf.(λx.f (x x)) (λx.f (x x)) 実際に Fix f = f (Fix f) となるか確かめてみるとよいです

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λܭࢉͷ·ͱΊ λ計算は、計算を関数とその適用でモデル化したものチューリング完全数値も真理値もリストもλ式で表現できる繰り返し処理だってできちゃう

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SKIίϯϏωʔλೖ໳

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ίϯϏωʔλܭࢉͱ͸ ! 高階関数 (コンビネータ) を用いて計算を行う λ計算と同じく、簡約が存在 (P x y z ...) = E 簡約の結果 E は、コンビネータ P の定義による

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ίϯϏωʔλͷྫ B x y z = x (y z) C x y z = x z y W x y = x y y

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ίϯϏωʔλͷྫ S x y z = x z (y z) K x y = x I x = x 実は I = S K K とも書ける

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SKIίϯϏωʔλܭࢉ S、K、I の 3 つのコンビネータを、 "基底"として用いる他のコンビネータは S、K、I の組み合わせで表現するスキーとは関係がない

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SKI ͰԿ͕Ͱ͖Δ͔ SKIコンビネータ計算はチューリング完全 λ抽象と相互に変換することができる SKI→λ は自明 λ→SKI については Wikipedia の「コンビネータ論理」のページを見るとよいかも

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SKI ͰChurch਺ 0 := KI 1 := I 2 := S(S(KS)K)I ... Succ := S(S(KS)K)

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SKI ͰChurchਅཧ஋ True := K False := KI If := I

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SKI ͰChurchର Cons := S(S(KS)(S(KK)(S(KS) (S(K(SI))K))))(KK) 笑っちゃうよね

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SKI ͰFix (Y) Fix よりも、不動点コンビネータ Y と呼ぶことが多い (きがする) Y := SSK(S(K(SS(S(SSK))))K)

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Quiz Church数の掛け算、足し算を SKI で書いてみよう足し算の方が難しくなるはず

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Answer Mul = S(KS)K Add = S(KS)(S(K(S(KS))) (S(KK)))

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SKI ͷ·ͱΊ S, K, I という 3 つのコンビネータと適用だけで計算をするチューリング完全 λ抽象と相互に変換できるデータも表せるし、繰り返し処理もできる

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ͩΜͩΜࣗ෼ͷ SKI ྗ͕ͲΕ΄Ͳͷ΋ͷ͔ ͔֬Ίͨ͘ͳ͖ͬͯ·ͨ͠ΑͶʁ

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Lazy K

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͜͜Ζ Ն໨ᕸੴ

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lਫ਼ਆతʹ޲্৺ͷͳ͍΋ͷ͸അࣛͩz

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lਫ਼ਆతʹ޲্৺ͷͳ͍΋ͷ͸അࣛͩz Eager K

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Lazy K ͱ͸ SKIコンビネータ計算をベースにした言語遅延評価、故に Lazy 対義語: Eager, Strict こころの K とは関係がない

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஗ԆධՁ 結果に必要のない部分を評価 (計算) しないための仕組み例えば K x y = x の y は必要ないので、評価を省略したい

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஗ԆධՁ ほとんどのプログラミング言語では、引数は適用の前に評価される Lazy K では、引数はそれ自身が関数として適用に使われるまで評価が遅延される (使わなければ評価されない) これによって、Yコンビネータによる停止するループや、無限の長さをもつリストが実現できる

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ೖྗ 入力は文字コードをChurch数で表現したものの、Church対によるリストで与えられる入力の終端はChurch数 256 256 = SII(SII(S(S(KS)K)I)) ただし"リストの終端"ではない

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ग़ྗ 入力 X とプログラム P に対して、出力は Y = P X 出力も文字コードをChurch数で表現したものの、Church対によるリスト出力の終端も 256 以上のChurch数

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ه๏ Lazy K には 4 つの記法があるコンビネータ計算 …… S(KI)I unlambda …… ``s`kii Iota …… * と i だけ Jot …… 0 と 1 だけ

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ه๏ ͦͷଞ 空白、改行は無視される # の後は改行までコメント空ファイルは I

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Lazy K ॲཧܥ http://esoteric.sange.fi/essie2/ download/lazy-k.zip Windows 用のバイナリ同梱 GCC でコンパイルするときは lazy.cpp にパッチを当てる https://gist.github.com/ susisu/831e06af2ddee14938c8

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Lazy K ॲཧܥ 実行はファイルから、または -e で直接プログラムを指定 $ lazy $ lazy -e

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Lazy K ॲཧܥ ためしになにか動かしてみる $ lazy eg/calc.lazy $ lazy -e SKK 中身を見るともっとたのしい SKI を組み合わせて、君だけの最強プログラムを作ろう！

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Lazy K ͷҋ͸ਂ͍

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ࢀߟจݙ 大体 Wikipedia を読めばいいと思うラムダ計算コンビネータ論理 SKIコンビネータ計算不動点コンビネータ

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ࢀߟจݙ The Lazy K Programming Language https://tromp.github.io/cl/lazy- k.html ↑の日本語訳 http://legacy.e.tir.jp/wiliki?%CB %DD%CC%F5%3A%A5%D7%A5%ED %A5%B0%A5%E9%A5%DF %A5%F3%A5%B0%B8%C0%B8%ECLazy_K