勉強会 紹介論文

今日読むもの Reconstructing Patterns of Information Diffusion from Incomplete Observations – By Flavio Chierichetti, Jon Kleinberg, David Liben-Nowell オンライン上で広まっている情報の伝染を調べる話 情報の広がりを木として扱い、全体は観測できないが 部分的なパスをいくつか観測できるケースを考える ⇒ 部分的な観測から構築した木の性質を調べる ⇒ 元の木のサイズを推定する (※ Rights to all the images belong to their respective owners)

情報伝染の木構造の構築 [Liben-Nowell & Klenberg 2008] と同様、嘆願書（名前を連 ねてコピーメールを転送するチェーンメール）の広がりの パターンを木としてモデル化 一部の人が公開した署名リストから木を作る 何度受け取ったとしてもコピーするのは一度だけと仮定

http://petitions.cs.cornell.edu/

部分的に観測する木を で扱う • 各ノードは Root までのパスを確率 δ > 0 で晒す – 観測されたパスにより部分木 T’ ⊆ T を構築 • 木 T から δ-sampling によりできる木の全体を T_δ 確率δで晒す

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糸っぽい… 不思議

観測したパスから再構築した木 T’ はとても糸のような奇 妙な木 (94% が single child node) 1. どうしてこのような糸っぽい木になったのか δ-sampling と single child fraction の関係を形式的に調べる 2. オリジナルの木 T のサイズ（ノード数）を推定したい T’ T

観測したパスから再構築した木 T’ はとても糸のような奇 妙な木 (94% が single child node) 1. どうしてこのような糸っぽい木になったのか δ-sampling と single child fraction の関係を形式的に調べる 2. オリジナルの木 T のサイズ（ノード数）を推定したい T’ T 1. δ-sampling した木 Tδ に対してδ→ 0 としたとき Single Child fraction が 1 に収束することを証明 2. δの普遍推定量を導出してオリジナルの木のサイズ n 推定

① [Golub & Jackson 2010] Galton-Watson branching process でシュミレーションして single child fraction が大きくなることを示した [Chierichetti+ 2011] (this paper) Bounded-degree tree を仮定して, 小さい δ で δ-sampling すると single child fraction が大きくなることを示した 結果 (this paper) • となるような関数 を考える • T は最大 k の子ノードを持つとする (degree bounded) • の single child fraction は

• |T| = n, max(deg) = k • 木のノードを３つのタイプに分ける – branching node (1人以上の子持ち) – Leave – Single child node • 内の葉がすべて expose した node するケース を考えると の leave の数は大きくても δn • Branching node は O(δn) … max(deg) = k • Leave と branching node の他は single child node 互いを制約する

• Leave … O(δn) / Branching node … O(δn) • [Th2.1] のノード数は高い確率で – のサイズは O(δn) を超えるので single-child node の割合は →

② 元の木のサイズを推定をする V = V(Tδ) L ⊆ V … set of its leaves E ⊆ V ... set of its nodes that were exposed |V – L| … leave 以外. 大きいと縦長 大きくなるとδ小さくなり糸っぽい (①) ¥hat{δ} は普遍推定量となる (Lemma 3.1)

Iraq-War protest chain 18,119 signers → approximately 173,000 signers

（あとで Full version 読んで証明を加えてスライド Update します…） • 実世界で観測された木の奇妙な特徴（糸っぽい 木）に対する数学的な説明を与えた • 観測された木を未知の木（オリジナル）の性質 を予測するために使った • 実世界の chain letter のデータセットではじめて signer の数を推定した