線形代数難しいよね 2012/06/27 なつたん

線形代数難しいよね  行列の計算自体は分かるんけど、「だから 何？」感が強い  対角化、固有値  計算方法は分かるけど、僕のプログラムで出番有る の？  LU分解とか・・・  ここまで勉強しても、全く同じ気持ち

だから何？の例  アフィン変換  変換前の座標をX、変換後をYとして以下の式で表現でき る  Y = A・X + B  回転の場合  こんなの行列使わなくても、図書けば分かるよね？  回転の前後に平行移動が入っても、行列使わずに順番に計算し たら簡単だよね？

画像フィルターの行列表現  ガウシアンフィルターの例  画像処理の教科書に載っている。3x3 ガウシアン フィルターの行列表現   これを画像処理にどう使うの？

よくある間違い  16x16ピクセルの画像データを 16x16の2次元行列Xに入っているとする と・・・。Y = A・X なので、Yも16x16の行列で表せて、かけたらよくね？ Y Y ・・・ Y Y Y ・・・ Y ： ： Y Y ・・・ Y = 16 1 1 2 1 2 4 2 1 2 1  X X ・・・ X X X ・・・ X ： ： X X ・・・ X 0,0 0,1 0,15 1,0 1,1 1,15 15,0 15,1 15,15 0,0 0,1 0,15 1,0 1,1 1,15 15,0 15,1 15,15 出力画像 フィルター 入力画像 → 行列の次元が合ってないので計算出来ない

さっきの正解 Y Y ： Y Y ： Y = 16 1 4 2 0 0 0 ・・・ 0 2 1 0 0 0 ・・・ 0 0 0 0 0 0 2 4 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 : : 1 2 1 0 0 2 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 2 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 2 4 2 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 2 4 2 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 4 0 0 1 2 1 0 : 0 0 0 0 0 ・・・ 0 0 0 0 0 0 ・・・ 0 0 0 0 4 2 X X ： X X ： X 0,0 0,1 0,15 1,0 15,15 0,0 0,1 0,15 1,0 15,15 256x256の行列 （境界処理適当） 1次元配列 1次元配列 Y = aX + bに対応するガウシアンフィルターの行列表現は、斜めに3本の線が入るような 疎行列（無茶大きい）

良くある実装 /* 境界処理適当 */ for(y=0;y<15;y++) { for(x=0;x<15;x++) { dst[y][x] = ( src[y-1][x-1] + 2 * src[y-1][x] + src[y-1][x+1] + 2 * src[y][x-1] + 4 * src[y][x] + 2 * src[y][x+1] + src[y+1][x-1] + 2 * src[y+1][x] + src[y+1][x+1] ) / 16; } } さっきの巨大な行列、全然出てこない＞＜ 本当は、端っこの処理が難しかったり、ビットシフト使ったり、計算結果再利用 したり、並列化したりするよ！

問題点 Y Y ： Y Y ： Y = 16 1 4 2 0 0 0 ・・・ 0 2 1 0 0 0 ・・・ 0 0 0 0 0 0 2 4 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 : : 1 2 1 0 0 2 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 2 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 2 4 2 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 2 4 2 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 4 0 0 1 2 1 0 : 0 0 0 0 0 ・・・ 0 0 0 0 0 0 ・・・ 0 0 0 0 4 2 X X ： X X ： X  0,0 0,1 0,15 1,0 15,15 0,0 0,1 0,15 1,0 15,15 /* 境界処理適当 */ for(y=0;y<15;y++) { for(x=0;x<15;x++) { dst[y][x] = ( src[y-1][x-1] + 2 * src[y-1][x] + src[y-1][x+1] + 2 * src[y][x-1] + 4 * src[y][x] + 2 * src[y][x+1] + src[y+1][x-1] + 2 * src[y+1][x] + src[y+1][x+1] ) / 16; } } 線形代数の教科書に添ったガウシ アンフィルターの実装 画像処理の教科書にでてくるガウシ アンフィルターの実装 このギャップが大きすぎるので何とかして欲しい