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書くネタがCoqしかない upcamp 2012 にて

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自己紹介 • http://qnighy.github.com/ を参照 • いちねんせい • 2008プログラミング組

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やりたいこと • 数学の証明を自然言語で書かなければいけ ないのは理不尽！ • →Principia Mathematica 1+1の証明 (Wikipediaより) ここまで80ページ強の議論が必要

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やりたいこと • 今だったらこれをコンピューターでやれるよね • ↑正しさの検証も自動でできる！ • ↑あわよくば、証明の一部は自動化

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目次 • Coqとは何か • Coqの根底にある理論 • Coqで何ができるのか • Coqをはじめる

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Coqとは何か • 純粋関数型プログラミング言語＆定理証明 言語 • 静的型付け • OCamlの影響を受ける • OCamlで実装されている • OCamlの製造元 INRIA が開発している • 名前は計算機科学者 Thierry Coqandに由来 すると思われる

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Coqの特徴 • 停止する保証のあるプログラムしか書けない (再帰の記述に関する制限) • 証明モード (対話的にプログラムを組み立てるモード)

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コード例 • Karatsuba 乗算のコード • このあと停止性証明が続く

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コード例 • マージソートと停止性証明

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Coqの特徴 • 停止する保証のあるプログラムしか書けない • (再帰の記述に関する制限) • →プログラムの正当性証明に用いられる

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コード例 • プログラムの正当性証明 • (anarchy proof 30: Certified Compiler)

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Coqの特徴 • 停止する保証のあるプログラムしか書けない • (再帰の記述に関する制限) • →プログラムの正当性証明に用いられる • →数学の定理の証明に用いられる

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コード例 • Glivenkoの定理の証明

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コード例 • √2は無理数であることの証明 • (anarchy proof 6: Sqrt 2)

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Coqの根底にある理論 • Coqにおける「証明」とは？ • → Curry-Howard 対応 証明 ： 命題 プログラム ： 型

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Coqの根底にある理論 • Curry-Howard対応の例 • 含意(AならばB): 関数 A -> B (Haskell) • 連言(AかつB): ペア pair (C++) • 選言(AまたはB): Either A B (Haskell) • 矛盾(⊥): 到達不能型 Nothing (Scala) • 否定(Aでない): A -> ⊥

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Coqの根底にある理論 • では、こういうコードは？ • Definition A : False := A. • Aが定義できたら、矛盾が導けてしまう。 • ↑ 無限ループの禁止

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Coqの根底にある理論 • Coqは停止するプログラムしか書けない • これをどう保証するか？ • _人人 人人人人人人_ > 型システムの出番 < ￣Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y￣

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Coqの根底にある理論 • 停止性を保証する型システム • Simply Typed Lambda Calculus • ↓ +polymorphism (型に依存した値) • ↓ +type operators (型に依存した型) • ↓ +dependent types (値に依存した型) • Calculus of Constructions

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Coqの根底にある理論 • Calculus of Constructions (CoC) • ↓ + 再帰等 • Calculus of Inductive Constructions (CIC) • このCICをCoqでは用いている • CICと集合論のZFCは互換 ( CIC(i)→ZFC(i-2), ZFC(i)→CIC(i+1) )

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Coqで何ができるの？ • 数学サイド • 有名なのは – ゲーデルの不完全性定理の証明 (公理系が多層化するので、形式的な言語で書い たほうが議論しやすいと思われる) – 四色問題の証明 (四色問題は数学的証明部とコンピューターによ る探索部に別れる。Coqではこれを有機的に結合 できるため、証明の信頼性が高まる)

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Coqで何ができるの？ • プログラミングサイド • プログラムを証明するという試みもいくつか行 われている – Coq自体でプログラムを書く→他の言語へ出力 – C言語プログラムの証明：Frama-Cプラグイン – Javaプログラムの証明: Krakatoa – 独自の言語Why3MLで書いたプログラムの証明 • Zとかに比べるとまだ発展途上かも

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Coqで何ができるの？ •というより

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Coqで何ができるの？ •証明ができると

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Coqで何ができるの？ •幸せになります (主に自己肯定感が得られる)

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Coqをはじめる •

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Coqをはじめる • 日本語資料が少ない • コミュニティーが大きくない • 最後に、いくつかの参考資料を紹介して終わ ります

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Coqの資料 • http://coq.inria.fr/ – Coq公式サイト • プログラミング Coq – 女子大生によるCoqプログラミング入門 • anarchy proof – 証明ジャッジ 練習用に使える • あとは面倒くさいのでここを見て

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コミュニティー • 名古屋にいろいろあるらしい – Coq Party, Proof Summit …

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本 • 本(英語) – Coq’art • Coqの本らしい – TAPL • 型理論の本

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おわり •