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強束縛模型における 多体電子状態の第2量子化表現 ガラムカリ 和 1

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発表の流れ 1.1次元系の強束縛模型 1-1.強束縛模型のハミルトニアン 1-2.ブラケット記号の説明 1-3.ハミルトニアンの対角化 2.多粒子系の記述と第2量子化 2-1.多粒子系の記述方法 2-2.生成消滅演算子 3.強束縛模型上の多電子状態 3-1.第2量子化でのハミルトニアンの対角化 3-2.その他の例 4.まとめ 2

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1.1次元系の強束縛模型 3

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強束縛模型(1粒子) 1 2 3 4 底での状態 1電子 周期ポテンシャル () |3⟩ 周期境界条件 4 本当は0じゃないけど 近似して0にする

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強束縛模型(1粒子) 1 2 3 4 とびうつり積分 5 = 2 2 + 本当は0じゃないけど 近似して0にする 小さいとする

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強束縛近似(1粒子) この系のハミルトニアン 1粒子系という意味 6

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ブラケット記号 • ベクトルを次のように書く • 内積を次のように定義する。 7

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ブラケット記号 • 内積の左右の入れ換え • 2つのベクトルの線形結合 • 線形結合との内積 8

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ブラケット記号 • ブラ・ケットをさかさまにすると・・ • ⟩ 規格化された| は ⟩ | ۦ | の固有状態 9 ⟩ | = ⟩ |

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量子力学での状態の表し方 • 状態はベクトル| ⟩ で表される。 • 正規直交完全性を持つ基底{| ⟩ }で展開できる。 10 基底| ⟩ で表示した波動関数

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量子力学での状態の表し方 に を代入する 任意の| ⟩ について成立するから 11 任意の演算子は より と書ける。

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強束縛近似(1粒子) この系のハミルトニアン 1粒子系という意味 12

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(1)を対角化する 対角化すればエネルギー固有値が求まる。 13

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フーリエ変換(対角化の準備) (フーリエ変換) (逆フーリエ変換) (離散フーリエ変換) (逆離散フーリエ変換) 離散フーリエ変換 フーリエ変換 14

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フーリエ変換(対角化の準備) において より 離散フーリエ変換 (逆離散フーリエ変換) (離散フーリエ変換) 15

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(1)の対角化 ∵ ෍ = − (−′) = ,′ 複素共役をとってマイナスがつく 16

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(1)の対角化 17

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(1)を| ⟩ で書き換える 18 両辺のエルミート共役をとって

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(1)の対角化 2 cos = + − 19 フーリエ変換したことにより、ハミルトニアンが対角化された。

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対角化した(1)より固有値が分かる 固有状態のSch.eq ハミルトニアンの形を考えれば、すぐに求まる(対角化した目的) 強束縛近似でのエネルギー固有値 20 = 0 ⋮ 0 1 0

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2.多粒子系の記述と第2量子化 21

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多粒子系の記述 1.粒子の区別ができる場合 と| ⟩ の内積 番目の粒子の状態が| ⟩ の粒子状態 (粒子状態) 22

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多粒子系の記述 2.粒子の区別ができない場合 ≔ ቊ +1 (boson) −1 (fermion) 規格化 例. | ⟩ , | ⟩ をそれぞれ1粒子状態とする。ボゾンなら 23

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多粒子系の記述 2.粒子の区別ができない場合 ≔ ቊ +1 (boson) −1 (fermion) 規格化 例. | ⟩ , | ⟩ をそれぞれ1粒子状態とする。フェルミオンなら 24 Pauliの排他原理 (2つのフェルミ粒子は同じ状態を占めれない)

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多粒子系の記述 二つの粒子状態の内積 2.粒子の区別ができない場合 ただし任意の × の行列に対し − でディターミナント + でパーマネント 25

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証明 ۦ | 1 , ⋯ , ⟩ 1 , ⋯ , = 1 ! ෍ ෍ ฬ ർ(1) ⋯ ฬ ർ() ൫ ൯ ห ൿ (1) ⋯ ห ൿ () = 1 ! ෍ ෍ (1) (1) ⋯ = 1 ! ෍ ෍ 1 (−1(1)) ⋯ (−1()) = 1 ! ෍ ෍ −1 1 (−1(1)) ⋯ −1 = 1 ! ෍ ෍ 1 (1) ⋯ = ෍ 1 (1) ⋯ 各内積をPで並び替える = = − = −( ) = − ζ− = − ≔ − 26

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多粒子系の演算子 (1) 1粒子状態にのみ作用する演算子 粒子すべてにわたる(1)の和を表す演算子 | ⟩ = | ⟩ 1 , ⋯ , = ห ⟩ 1 × | ⟩ 2 × ⋯ × | ⟩ 任意の粒子状態 | ⟩ = (1)| ⟩ 1 × ہ ⟩ 2 × ⋯ × | ⟩ +| ⟩ 1 ×(1)ہ ⟩ 2 × ⋯ × | ⟩ + ⋯ +| ⟩ 1 ×ہ ⟩ 2 × ⋯ × (1)| ⟩ 27

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多粒子系の演算子 | ⟩ が固有値 をもつ(1)の固有状態なら | ⟩ = (1 + 2 + ⋯ + )| ⟩ (1)が1粒子運動量演算子なら、は全運動量演算子 (1)が1粒子ハミルトニアンなら、は全エネルギー演算子 (1)が1粒子状態に対する単位演算子ならは粒子数演算子 例 28

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(1) = | ⟩ ۦ | の場合 (1) = | ⟩ ۦ | の場合 | ⟩ = | ⟩ ۦ| ⟩ 1 × ہ ⟩ 2 × ⋯ × | ⟩ +| ⟩ 1 ×| ⟩ ۦہ ⟩ 2 × ⋯ × | ⟩ + ⋯ +| ⟩ 1 ×ہ ⟩ 2 × ⋯ × | ⟩ ۦ| ⟩ = ۦ | ⟩ 1 | ⟩ × | ⟩ 2 × ⋯ × | ⟩ +ۦ | ⟩ 2 | ⟩ 1 × | ⟩ × ⋯ × | ⟩ + ⋯ +ۦ | ⟩ | ⟩ × | ⟩ 2 × ⋯ × | ⟩ 29

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(1) = | ⟩ ۦ | の場合 | ⟩ = ۦ | ⟩ 1 | ⟩ , 2 , ⋯ , +ۦ | ⟩ 2 | ⟩ 1 , , 3 , ⋯ , + ⋯ +ۦ | ⟩ ห1 , 2 , ⋯ , ൿ −1, = ෍ =1 ห ൿ 1 , ⋯ , −1, , +1 , ⋯ これを考えるのは結構大変

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生成消滅演算子 • 生成消滅演算子 全エネルギーなどの演算子を簡単に表せる。 † | ⟩ 1 , 2 , ⋯ , = |, ⟩ 1 , 2 , ⋯ , | ⟩ は任意の1粒子状態 | ⟩ に対する生成・消滅演算子† , の定義 † のエルミート共役 が消滅演算子 生成演算子 31

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の作用 生成演算子は粒子状態を + 1 粒子状態に変える(明らか)。 消滅演算子は粒子状態を − 1 粒子状態に変えることを示す。 1 , ⋯ , −1 () 1 , ⋯ , = 1, ⋯ , † 1 , ⋯ , −1 ∗ = 1 , ⋯ , , 1 , ⋯ , −1 ∗ = 1 1 1 ⋯ 1 −1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ −1 ∗ 32

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の作用 = 1 1 1 ⋯ 1 −1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ −1 ∗ = ෍ =1 −1 1 1 ⋯ 1 −1 ⋮ ⋮ −1 1 ⋯ −1 −1 +1 1 ⋯ −1 −1 ⋮ ⋮ 1 ⋯ 1 −1 ∗ = ෍ =1 −1 ∗ 1 , ⋯ −1, +1 , ⋯ 1 , ⋯ −1 ∗ 余因子展開 33

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の作用 = ෍ =1 −1 ∗ 1 , ⋯ −1, +1 , ⋯ 1 , ⋯ −1 ∗ = ෍ =1 −1 1 , ⋯ , −1 1 , ⋯ −1, +1 , ⋯ 1 , ⋯ , −1 () 1 , ⋯ , = ෍ =1 −1 1 , ⋯ , −1 1 , ⋯ , −1, +1 , ⋯ よって が言えたから、 | ⟩ 1 , ⋯ , = ෍ =1 −1 ห ൿ 1 , ⋯ , −1, +1 , ⋯ ( − )粒子状態の和を表している。 34

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生成消滅演算子 生成演算子 消滅演算子 | ⟩ 1 , ⋯ , = ෍ =1 −1 ห ൿ 1 , ⋯ , −1, +1 , ⋯ † | ⟩ 1 , 2 , ⋯ , = |, ⟩ 1 , 2 , ⋯ , 生成・消滅演算子の作用 35

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演算子を生成消滅演算子で書きなおす 36 † | ⟩ 1 , ⋯ , = ෍ =1 −1 † ห ൿ 1 , ⋯ , −1, +1 , ⋯ = ෍ =1 −1 ห ൿ , 1 , ⋯ , −1, +1 , ⋯ | ⟩ 1 , ⋯ , = ෍ =1 −1 ห ൿ 1 , ⋯ , −1, +1 , ⋯ 消滅演算子

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演算子を生成消滅演算子で書きなおす † | ⟩ 1 , ⋯ , = ෍ =1 −1 ห ൿ , 1 , ⋯ , −1, +1 , ⋯ 37 −1ห, ൿ 1 , ⋯ , −1, +1 , ⋯ = ห ൿ 1 , ⋯ , −1, , +1 , ⋯ 粒子状態における対称性

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演算子を生成消滅演算子で書きなおす † | ⟩ 1 , ⋯ , = ෍ =1 ห ൿ 1 , ⋯ , −1, , +1 , ⋯ 38

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(1) = | ⟩ ۦ | の場合 | ⟩ = ۦ | ⟩ 1 | ⟩ , 2 , ⋯ , +ۦ | ⟩ 2 | ⟩ 1 , , 3 , ⋯ , + ⋯ +ۦ | ⟩ ห1 , 2 , ⋯ , ൿ −1, = ෍ =1 ห ൿ 1 , ⋯ , −1, , +1 , ⋯ これを考えるのは結構大変 = † | ⟩ 1 , ⋯ ,

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(1) = | ⟩ ۦ | の場合 結論 | ⟩ = † | ⟩ 1粒子に作用する(1) = | ⟩ ۦ | が与えられたとき、 全粒子に作用するが生成消滅演算子で表された。 40

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より一般に (1) = | ⟩ ۦ | + | ⟩ ۦ | の場合 | ⟩ = † | ⟩ + † | ⟩ (1) = | ⟩ ۦ | の場合 :複素数 | ⟩ = † | ⟩ 線形性より次の2つも言える 41

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交換関係 任意の粒子状態に を作用させる。 42 ≔ ቊ +1 (boson) −1 (fermion)

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交換関係 両辺をエルミート共役をとってζで割る 43 (反)交換子 , − ≔ − 生成消滅演算子の交換関係

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交換関係 • 次に を考える 44 消滅演算子 | ⟩ 1 , ⋯ , = ෍ =1 −1 ห ൿ 1 , ⋯ , −1, +1 , ⋯

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交換関係 • を考える 45 † 2 1 | ⟩ 1 , ⋯ , = ෍ =1 −1 1 † 2 ห ൿ 1 , ⋯ , −1, +1 , ⋯ = ෍ =1 −1 1 ห ൿ 2 , 1 , ⋯ , −1, +1 , ⋯ 消滅演算子 | ⟩ 1 , ⋯ , = ෍ =1 −1 ห ൿ 1 , ⋯ , −1, +1 , ⋯

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交換関係 • を考える 46 † 2 1 | ⟩ 1 , ⋯ , = ෍ =1 −1 1 ห ൿ 2 , 1 , ⋯ , −1, +1 , ⋯ 両辺にをかけて から引く

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交換関係 47 生成消滅演算子の交換関係 が求まる

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強束縛模型上の多電子状態 48

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演算子の定義 † 底の基底状態 を生成する † 2 波数2 の状態 を生成する それぞれ消滅演算子は生成演算子のエルミート共役 49

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強束縛近似(多粒子系) この系のハミルトニアン 第2量子化表記 生成消滅演算子を用いた表記 で を思い出して 50

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次の目標 (1) 第二量子化 フーリエ変換 (1) (対角化) (対角化) フーリエ変換 51 今後、青で書かれたハミルトニアンは対角化されてることを意味する

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をフーリエ変換 (1)の第二量子化 52

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基底の変換 のとき 波数 底の番号 離散フーリエ変換 (離散フーリエ変換) (逆離散フーリエ変換) 53

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基底の変換(演算子のフーリエ変換) よって 54

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のフーリエ変換 これをフーリエ変換する 道具はそろったので 55

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のフーリエ変換 ෍ = − (−′) = ,′ 56

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のフーリエ変換 57 ∵ ෍ = − (−′) = ,′

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のフーリエ変換 よって、(1)を第二量子化した後にフーリエ変換したは となる。 58

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次の目標 (1) 第二量子化 フーリエ変換 (1) (対角化) (対角化) 第二量子化 59 のフーリエ変換と(1)の第二量子化したは一致する?

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(1)の第二量子化 (1) 第二量子化 † 2 , 2 は波数2 の状態を生成,消滅する 波数 60

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ここまでの確認 (1) 第二量子化 フーリエ変換 (1) (対角化) (対角化) 第二量子化 のフーリエ変換と(1)の第二量子化したは一致した! フーリエ変換 61

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3.強束縛模型上の多電子状態 62

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第2隣接ポテンシャルを加味した 強束縛近似 63

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第2隣接まで考えた強束縛近似 最隣接までの強束縛近似(1粒子) 第2隣接までの強束縛近似(1粒子) 普通は2 < 1 64

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第2隣接まで考えた強束縛近似 (1)をフーリエ変換する 65 離散フーリエ変換の定義式

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第2隣接まで考えた強束縛近似 同様に よって (1) 66

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第2隣接まで考えた強束縛近似 (1) よって 第2量子化すれば、 第2隣接まで考えた強束縛近似の第2量子化表現 67

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第2隣接まで考えた強束縛近似 (1) よって 対角化されているので、 第2隣接まで考えた強束縛近似の固有状態・固有値 = 0 ⋮ 0 1 0 ⋮ 0 68

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とびうつり積分が偶奇で異なる系 69

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とびうつり積分の値が偶奇で異なる系 : 偶数 最隣接のみ考える 70

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この系の1粒子ハミルトニアン とびうつりが偶奇で異なる系のハミルトニアン 71

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とびうつりが偶奇で異なる系のハミルトニアン この系のハミルトニアン エネルギー固有値を知りたい 72

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とびうつりが偶奇で異なるHの対角化 = ෍ =0 2−1 † 1 , † 2 0 − + ′ cos 2 − − ′ sin 2 − ′ sin 2 0 + + ′ cos 2 1 2 計算すると… エルミート行列を用いた2次形式 エルミート行列はユニタリー行列で対角化可能 ≔ 1 : = 2 , 2 : = 2 + 2 = 1, 0 0 2, † 73

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とびうつりが偶奇で異なるHの対角化 = ෍ =0 2 −1 † 1 , † 2 0 − + ′ cos 2 − − ′ sin 2 − ′ sin 2 0 + + ′ cos 2 1 2 = ෍ =0 2−1 † 1 , † 2 1, 0 0 2, † 1 2 = ෍ =0 2 −1 † 1 , † 2 1, 0 0 2, 1 2 = ෍ =0 2−1 1, † 1 1 + 2, † 2 2 † 1 , † 2 ≔ † 1 , † 2 1 2 ≔ † 1 2 線形な変換 74

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λ1, = E0 + 2 + ′2 + 2′ cos2 2 − sin2 2 C = 0 − + ′ cos 2 − − ′ sin 2 − ′ sin 2 0 + + ′ cos 2 λ2, = E0 − 2 + ′2 + 2′ cos2 2 − sin2 2 の固有値 とびうつりが偶奇で異なる場合のエネルギー 75

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とびうつりが偶奇で異なる場合のエネルギー = 100, 0 = 5, = ′ = 0.1 赤 1 青 2 ν = ′ で伝導体 76 E

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とびうつりが偶奇で異なる場合のエネルギー = 100, 0 = 5, = 0.2 , ′ = 0.1 赤 1 青 2 77 ν ≠ ′ でバントギャップ →バント絶縁体 E

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粒子の感じるポテンシャルが偶奇で異なる系 78

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ポテンシャルが偶奇で異なる系 : 偶数 最隣接のみ考える とびうつり積分は同じ 79

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この系の1粒子ハミルトニアン ポテンシャルが偶奇で異なるハミルトニアン 80

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この系のハミルトニアン ポテンシャルが偶奇で異なるハミルトニアン 81

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ポテンシャルが偶奇で異なるハミルトニアン = ෍ =0 2−1 † 1 , † 2 0 ′ + 0 2 − 2 cos 2 0 − 0 ′ 2 0 − 0 ′ 2 0 ′ + 0 2 + 2 cos 2 1 2 計算すると… この行列の固有値 1 : = 2 , 2 : = 2 + 2 1 2 0 ′ + 0 ± 1 4 0 ′ − 0 2 + 42 cos2 2 82

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これをグラフにすると = 100, 0 = 0 ′ = 5, = 0.1 83 E

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これをグラフにすると = 100, 0 = 5, 0 ′ = 5.1 = 0.1 84 E

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まとめ • 1粒子強束縛模型のハミルトニアンを対角化 し、エネルギー固有値と固有状態を求めた。 • 強束縛模型上の多電子状態のハミルトニア ンを生成消滅演算子で表した。 • その他の例として、第2隣接まで考えた場合 や、とびうつり積分が偶奇で異なる模型など も扱った。 85